डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

यह सिद्ध करने के लिए कि कोई निर्णय समस्या X NP-complete है, कौन-सी दो बातें दिखानी होंगी?

  1. AX, P में है, और X, SAT में रिड्यूस होती है
  2. BX, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
  3. CX, P की किसी समस्या में रिड्यूस होती है, और X, NP में है
  4. DX का कोई बहुपदी एल्गोरिदम नहीं है, और X निर्णेय है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

एक बाइनरी ट्री का रूट 1 है, जिसका बायाँ चाइल्ड 2 और दायाँ चाइल्ड 3 है; नोड 2 के चाइल्ड 4 (बायाँ) और 5 (दायाँ) हैं। प्रीऑर्डर ट्रैवर्सल क्या है?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C4 5 2 3 1
  4. D4 2 5 1 3
4.डेटा संरचनाएँकठिन

कुंजियाँ 5, 3, 8, 1 इसी क्रम में एक ख़ाली ऐरे-आधारित बाइनरी मिन-हीप में डाली जाती हैं। अंतिम ऐरे क्या है?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम
ABCDEFयूलर परिपथयूलर पथ, परिपथ नहींदोनों में से कुछ नहीं

क्या संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ है, परिपथ न होने वाला यूलर पथ है, या दोनों में से कुछ नहीं? अपना उत्तर क्लिक करें।

|V| = 6|E| = 7
  1. 1यूलर परिपथ
  2. 2यूलर पथ, परिपथ नहीं
  3. 3दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
516647201513ABCDEF

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है। उस कोर पर क्लिक करें जिसे वह कोर संख्या 4 के रूप में जोड़ता है; छोड़ी गई कोरें नहीं गिनी जातीं।

k = 4
  1. 1कोर AB
  2. 2कोर AC
  3. 3कोर BC
  4. 4कोर BD
  5. 5कोर CE
  6. 6कोर DE
  7. 7कोर DF
  8. 8कोर EF

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · O(n)

यह उत्तर क्यों है

n स्तर हैं जिनमें से हर एक में स्थिर कार्य है, जैसे किसी ऐरे के रिकर्सिव योग में।

उत्तर

C · O(n)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: B · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है

यह उत्तर क्यों है

NP में सदस्यता दिखाती है कि X, NP से कठिन नहीं है; किसी ज्ञात NP-complete समस्या से रिडक्शन दिखाता है कि X कम से कम पूरे NP जितनी कठिन है।

उत्तर

B · X, NP में है, और कोई ज्ञात NP-complete समस्या बहुपदी समय में X में रिड्यूस होती है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · 1 2 4 5 3

यह उत्तर क्यों है

प्रीऑर्डर 1, फिर उसका बायाँ सबट्री (2, 4, 5), फिर 3 देखता है; अन्य विकल्प इनऑर्डर, पोस्टऑर्डर और लेवल-ऑर्डर हैं।

उत्तर

A · 1 2 4 5 3
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · [1, 3, 8, 5]

यह उत्तर क्यों है

5, 3, 8 के बाद ऐरे [3, 5, 8] है; 1 इंडेक्स 3 पर जाता है, अपने पैरेंट 5 से और फिर 3 से स्वैप होता है, जिससे [1, 3, 8, 5] मिलता है।

उत्तर

B · [1, 3, 8, 5]
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: दोनों में से कुछ नहीं

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

घात

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 1

विषम शीर्ष

B, C, D, F → 4
दोनों में से कुछ नहीं

उत्तर

दोनों में से कुछ नहीं
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: कोर CE

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म

1. BD (4)
2. AB (5)
3. BC (6)
4. CE (7)
5. EF (13)

कोर संख्या 4

CE

उत्तर

कोर CE

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