डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

Big O में, जैसे O(log n) में, लघुगणक का आधार सामान्यतः क्यों छोड़ दिया जाता है?

  1. Aआधार केवल छोटे n के लिए मायने रखता है
  2. Bलघुगणक हमेशा पूर्णांकों में पूर्णांकित किए जाते हैं
  3. Cभिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं
  4. Dकंप्यूटर विज्ञान में सभी लघुगणकों का आधार 10 होता है, इसलिए वह निहित है
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

हैश टेबल में औसत लुकअप O(1) लेकिन वर्स्ट केस O(n) क्यों होता है?

  1. Aहैश फ़ंक्शन धीमे होते हैं
  2. Bऐरे में एक्सेस O(n) होता है
  3. Cकुंजियों को पहले सॉर्ट करना पड़ता है
  4. Dकई कुंजियाँ एक ही बकेट में टकरा (collide) सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

बाइनरी हीप को बिना किसी पॉइंटर के ऐरे में क्यों संग्रहीत किया जा सकता है?

  1. Aहीप में कभी 100 से अधिक तत्व नहीं होते
  2. Bहीप की सभी कुंजियाँ समान होती हैं
  3. Cऐरे अपने आप कुंजियों को सॉर्टेड क्रम में रखते हैं, इसलिए पॉइंटर की आवश्यकता नहीं होती
  4. Dयह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं
4.डेटा संरचनाएँकठिन

डबल हैशिंग मुख्य रूप से लीनियर प्रोबिंग की कौन-सी समस्या घटाती है?

  1. Aकिसी कुंजी का मान पढ़ने की O(n) लागत
  2. Bहैश फ़ंक्शन की आवश्यकता
  3. Cप्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं
  4. Dटेबल में कुंजियाँ संग्रहीत करने की आवश्यकता
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक वृक्ष में घात 4 वाले 3 शीर्ष है, और उसके बाकी सभी शीर्ष पत्ते (घात 1) हैं। उसमें कितने पत्ते L हैं?

3 × deg 4
L =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
ABCDEF

लंबाई 3 की कितनी वॉक A से E तक जाती हैं? वॉक में शीर्ष और कोरें दोहराई जा सकती हैं। संख्या को N कहें।

M = संलग्नता आव्यूहL = 3
N =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: C · भिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं

यह उत्तर क्यों है

आधार बदलने से लघुगणक एक स्थिरांक से गुणा हो जाता है, और Big O स्थिर गुणकों को अनदेखा करता है।

उत्तर

C · भिन्न आधारों वाले लघुगणक केवल एक स्थिर गुणक से भिन्न होते हैं
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · कई कुंजियाँ एक ही बकेट में टकरा (collide) सकती हैं

यह उत्तर क्यों है

अच्छे हैश फ़ंक्शन और लोड फ़ैक्टर के साथ बकेट औसतन छोटे रहते हैं; प्रतिकूल या खराब हैशिंग सभी कुंजियों को एक बकेट में डाल सकती है।

उत्तर

D · कई कुंजियाँ एक ही बकेट में टकरा (collide) सकती हैं
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: D · यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं

यह उत्तर क्यों है

पूर्णता का अर्थ है कोई अंतराल नहीं, इसलिए इंडेक्स i के चाइल्ड हमेशा 2i + 1 और 2i + 2 पर होते हैं।

उत्तर

D · यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री है, इसलिए स्थितियाँ सरल इंडेक्स सूत्रों का पालन करती हैं
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: C · प्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं

यह उत्तर क्यों है

लीनियर प्रोबिंग 1 के क़दम से चलती है, इसलिए भरी शृंखलाएँ बढ़ती और मिलती हैं; डबल हैशिंग क़दम के आकार के लिए दूसरा हैश उपयोग करती है ताकि अलग कुंजियाँ अलग अनुक्रम प्रोब करें।

उत्तर

C · प्राथमिक क्लस्टरिंग, जिसमें भरे स्लॉटों की लंबी शृंखलाएँ बनती हैं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: L = 8

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

वृक्ष के लिए हैंडशेक लेमा

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

उत्तर

L = 8

शॉर्टकट: L = 2 + Σ (d − 2), घात d ≥ 3 वाले शीर्षों पर।

6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: N = 1

घात: किसी शीर्ष की घात उससे मिलने वाली कोरों की संख्या है। हर कोर के दो सिरे होते हैं, इसलिए घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है: Σ deg(v) = 2|E| (हैंडशेक लेमा)। अतः विषम घात वाले शीर्षों की संख्या सम होती है। Kn में n(n − 1)/2 कोरें होती हैं, n शीर्षों पर k-नियमित ग्राफ़ में nk/2, और n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें।

संलग्नता आव्यूह

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

एक कदम और

(M³)AE = 2·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 + 1·0 + 0·1 = 1

उत्तर

N = 1

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