डेटा संरचना और एल्गोरिदम: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 6 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

ग्राफ़ सिद्धांत

हैंडशेक लेमा
Σ deg(v) = 2|E|
पूर्ण ग्राफ़
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
नियमित ग्राफ़
|E| = n·k/2
वृक्ष और वन
|E| = n − 1, |E| = n − c
वृक्ष के पत्ते
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
यूलर
परिपथ: सभी घात सम; पथ: ठीक 2 घात विषम
Kn में हैमिल्टन परिपथ
(n − 1)!/2
डाइक्स्ट्रा अद्यतन
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
लंबाई L की वॉक
(Mᴸ)ij

विधि

  1. हर शीर्ष की घात लिखें; घातों का योग कोरों की संख्या का दोगुना होता है।
  2. यूलर के प्रश्नों में जाँचें कि ग्राफ़ संबद्ध है और विषम घात वाले शीर्षों को गिनें।
  3. वृक्षों के लिए n − 1 कोरों और हैंडशेक लेमा का उपयोग करें।
  4. डाइक्स्ट्रा के लिए अस्थायी दूरियों की सारणी रखें और हर चक्र में सबसे छोटी दूरी वाले अनिर्धारित शीर्ष को निर्धारित करें।
  5. न्यूनतम स्पैनिंग ट्री के लिए कोरों को भार के अनुसार क्रमबद्ध करें और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़ दें (क्रुस्कल), या किसी प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाएँ (प्रिम)।

2अभ्यास प्रश्न

1.एल्गोरिदम और जटिलतामध्यम

रिकरेंस T(n) = 2T(n − 1) + O(1) का हल क्या है?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलताकठिन

बेलमैन–फ़ोर्ड एल्गोरिदम स्रोत से पहुँच योग्य ऋणात्मक-भार चक्र का पता कैसे लगाता है?

  1. AV − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है
  2. Bयह डाइकस्ट्रा का एल्गोरिदम दो बार चलाकर दोनों दूरी परिणामों की तुलना करता है
  3. Cयह डेप्थ-फ़र्स्ट सर्च से चक्र गिनता है
  4. Dयह जाँचता है कि क्या किसी किनारे का भार ऋणात्मक है
3.डेटा संरचनाएँमध्यम

ट्राई (प्रीफ़िक्स ट्री) विशेष रूप से किसके लिए कुशल है?

  1. Aसंख्याओं को क्रमबद्ध करने के लिए
  2. Bऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
  3. Cमैट्रिक्स संग्रहीत करने के लिए
  4. Dसबसे छोटे पथ खोजने के लिए
4.डेटा संरचनाएँकठिन

ब्लूम फ़िल्टर "क्या यह तत्व सेट में है?" का उत्तर किस प्रकार देता है?

  1. Aसंभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं
  2. Bहमेशा सटीक उत्तर
  3. Cसंभावित फ़ॉल्स नेगेटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स पॉज़िटिव नहीं
  4. Dकेवल संख्याओं के लिए उत्तर
5.ग्राफ़ सिद्धांतमध्यम

एक संबद्ध ग्राफ़ में 19 शीर्ष और 21 कोरें हैं। स्पैनिंग ट्री बचाने के लिए कितनी कोरें k हटानी होंगी?

|V| = 19|E| = 21
k =
6.ग्राफ़ सिद्धांतकठिन
13814715471211ABCDEFG

भारित ग्राफ़ में A से G तक के सबसे छोटे पथ की लंबाई d(G) डाइक्स्ट्रा के एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें।

प्रारंभ: Aअंत: G
d(G) =

3विलयन

1.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: D · O(2ⁿ)

यह उत्तर क्यों है

हर स्तर पर कॉलों की संख्या दोगुनी होती है और n स्तर हैं, इसलिए कुल लगभग 2ⁿ है, जैसे टावर्स ऑफ़ हनोई में।

उत्तर

D · O(2ⁿ)
2.एल्गोरिदम और जटिलता

उत्तर: A · V − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है

यह उत्तर क्यों है

सभी वास्तविक सबसे छोटी दूरियाँ V − 1 दौरों में मिल जाती हैं; यदि कोई किनारा अब भी सुधारा जा सके, तो ऋणात्मक चक्र अवश्य मौजूद है।

उत्तर

A · V − 1 दौरों के बाद यह जाँचता है कि क्या कोई किनारा अब भी रिलैक्स हो सकता है
3.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: B · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए

यह उत्तर क्यों है

ट्राई स्ट्रिंग्स को पथों के साथ अक्षरों के रूप में संग्रहीत करता है, इसलिए लुकअप और प्रीफ़िक्स क्वेरी में कुंजी की लंबाई के अनुपात में समय लगता है।

उत्तर

B · ऑटोकम्प्लीट जैसी प्रीफ़िक्स खोजों के लिए
4.डेटा संरचनाएँ

उत्तर: A · संभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं

यह उत्तर क्यों है

यदि किसी तत्व का कोई भी बिट 0 है, तो वह निश्चित रूप से अनुपस्थित है; यदि सभी 1 हैं, तो वह संभवतः मौजूद है। ब्लूम फ़िल्टर बहुत कम मेमोरी के बदले सटीकता का त्याग करते हैं।

उत्तर

A · संभावित फ़ॉल्स पॉज़िटिव के साथ, लेकिन कोई फ़ॉल्स नेगेटिव नहीं
5.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: k = 3

यूलर, हैमिल्टन और वृक्ष: संबद्ध ग्राफ़ में यूलर परिपथ (हर कोर एक बार, शुरुआत पर वापसी) तब होता है जब हर शीर्ष की घात सम हो, और परिपथ न होने वाला यूलर पथ तब जब ठीक दो शीर्षों की घात विषम हो; तब पथ एक विषम शीर्ष से दूसरे तक चलता है। हैमिल्टन परिपथ हर शीर्ष पर एक बार जाता है; Kn में ऐसे (n − 1)!/2 होते हैं। n शीर्षों वाले वृक्ष में n − 1 कोरें होती हैं, और m कोरों वाला संबद्ध ग्राफ़ m − n + 1 कोरें हटाने के बाद स्पैनिंग ट्री रखता है।

स्पैनिंग ट्री की कोरें

19 − 1 = 18

हटाई जाने वाली कोरें

k = 21 − 18 = 3

उत्तर

k = 3
6.ग्राफ़ सिद्धांत

उत्तर: d(G) = 25

सबसे छोटे पथ और स्पैनिंग ट्री: डाइक्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म हर चक्र में एक शीर्ष निर्धारित करता है: सबसे छोटी अस्थायी दूरी वाला अनिर्धारित शीर्ष। तब उसकी दूरी अंतिम होती है, और हर पड़ोसी v को d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)) मिलता है। क्रुस्कल का एल्गोरिथ्म कोरों को हल्की से भारी की ओर लेकर और चक्र बनाने वाली हर कोर छोड़कर न्यूनतम स्पैनिंग ट्री बनाता है; प्रिम का एल्गोरिथ्म प्रारंभिक शीर्ष से एक वृक्ष बढ़ाता है और हमेशा उससे बाहर जाने वाली सबसे हल्की कोर जोड़ता है। n शीर्षों के स्पैनिंग ट्री में n − 1 कोरें होती हैं।

डाइक्स्ट्रा चक्र-दर-चक्र

हर पंक्ति: निर्धारित शीर्ष, उसकी अंतिम दूरी, और वे पड़ोसी जिनकी दूरी सुधरती है।

A (0): B: 13, C: 8
C (8): E: 15
B (13): D: 27, G: 25
E (15): F: 22
F (22): D: 26
G (25)
D (26)

सबसे छोटा पथ

A → B → G
d(G) = 25

उत्तर

d(G) = 25

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