अवकल समीकरण
- चरघातांकी वृद्धि/क्षय
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- अर्ध-आयु
- k = ln 2 / t½
- न्यूटन का शीतलन नियम
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- समाकलन गुणक
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- मिश्रण टैंक
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
अवकल समीकरण: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
समाकल
- घात नियम
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- निश्चित समाकल
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- सामान्य समाकल
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- वक्रों के बीच का क्षेत्रफल
- ∫ab (f − g) dx
विधि
- जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
- घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और ex, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
- जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
- निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।
अवकलज
- घात नियम
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- गुणनफल नियम
- (uv)′ = u′v + uv′
- भागफल नियम
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- शृंखला नियम
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- सामान्य अवकलज
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
विधि
- संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
- x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
- जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
- सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।
संख्यात्मक विधियाँ
- द्विभाजन
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- न्यूटन–रैफ़्सन
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- रैखिक अंतर्वेशन
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- समलंब नियम
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- सिम्पसन नियम (n सम)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- समलंब त्रुटि सीमा
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- यूलर
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ह्यून
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
विधि
- मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
- सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
- समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
- ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
2अभ्यास प्रश्न
1.अवकल समीकरणमध्यम
4 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 25 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 28 min के बाद इसका तापमान 23 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। स्थिरांक k min⁻¹ में ज्ञात कीजिए।
T0 = 4 °CTa = 25 °CT(28) = 23 °C
k = min⁻¹
2.अवकल समीकरणकठिन
एक टैंक में 200 L शुद्ध जल है। प्रति लीटर 0.1 kg नमक वाला लवणजल 4 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। कितने मिनट t बाद टैंक में 16 kg नमक होगा?
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0.1 kg/Lr = 4 L/min
t = min
3.समाकलमध्यम
I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx का मान निकालें।
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
4.समाकलकठिन
परवलय y = 4 − x² और x-अक्ष के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।
y = 4 − x²
A =
5.अवकलजमध्यम
मान लें f(x) = ln(2x2 + 2)। f′(2) ज्ञात करें।
f(x) = ln(2x2 + 2)x = 2
f′(2) =
6.अवकलजकठिन
मान लें f(x) = x3 + 9x2 + 24x − 1। स्थानीय उच्चिष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।
f(x) = x3 + 9x2 + 24x − 1
x =
7.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
n = 4 पट्टियों के साथ समलंब नियम से ∫02 sin(x²) dx का सन्निकटन करें। T दें।
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 2]n = 4
T =
8.संख्यात्मक विधियाँकठिन
y′ = cos t − y, y(0) = 2 के लिए h = 0.25 के साथ यूलर विधि से y4 ≈ y(1) आकलित करें।
y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0.25
y4 =
3विलयन
1.अवकल समीकरण
उत्तर: k = 0.08398 min⁻¹
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
तापमान अंतरों का अनुपात
e−28k = -2/-21
k के लिए हल करें
k = ln(-21/-2)/28 = 0.08398 min⁻¹
उत्तर
k = 0.08398 min⁻¹
2.अवकल समीकरण
उत्तर: t = 80.47 min
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
परिणाम
m(t) = 20 + (−20)·e−t/50
t के लिए हल करें
e−t/50 = (20 − 16)/(20 − 0) = 0.2
t = 50·ln(5) = 80.47 min
उत्तर
t = 80.47 min
3.समाकल
उत्तर: I = 3.75
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
प्रतिस्थापन
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du
समाकलन करें और मान निकालें
I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3.75
उत्तर
I = 3.75
4.समाकल
उत्तर: A = 10.67
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
शून्यक
4 − x² = 0 → x = ±2
समाकलन करें
A = [4x − x³/3]−22 = 5.333 − (−5.333) = 10.67
उत्तर
A = 10.67
5.अवकलज
उत्तर: f′(2) = 0.8
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
लघुगणक के लिए शृंखला नियम
f′(x) = 4x/(2x2 + 2)
मान रखें
f′(2) = 8/10 = 0.8
उत्तर
f′(2) = 0.8
6.अवकलज
उत्तर: x = −4
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
अवकलज
f′(x) = 3x2 + 18x + 24 = 3·(x2 + 6x + 8)
f′(x) = 0 हल करें
x = −4 या x = −2
कौन-सा क्या है
f″(x) = 6x + 18: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।
f″(−4) = −6, f″(−2) = 6
x = −4
उत्तर
x = −4
7.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: T = 0.7443
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
नोड और मान
h = 0.5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.247404 + 2·0.841471 + 2·0.778073 − 0.756802 = 2.977094
समलंब नियम
T = (0.5/2)·2.977094 = 0.7443
उत्तर
T = 0.7443
इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।
8.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: y4 = 1.222
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
यूलर चरण
y₁ = 2 + 0.25·(−1) = 1.75
y₂ = 1.75 + 0.25·(−0.781088) = 1.554728
y₃ = 1.554728 + 0.25·(−0.677146) = 1.385442
y₄ = 1.385442 + 0.25·(−0.653753) = 1.222004
ग्राफ़
y4 = 1.222
उत्तर
y4 = 1.222
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