अवकल समीकरण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

2अभ्यास प्रश्न

1.अवकल समीकरणमध्यम

380 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 23 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.01 min⁻¹ के साथ 60 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।

T₀ = 380 °CT_a = 23 °Ck = 0.01 min⁻¹t = 60 min

T = °C

2.अवकल समीकरणकठिन

एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 4y′ + 13y = 65 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(1) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।

y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3.समाकलमध्यम

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx का मान निकालें।

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

4.समाकलकठिन

रेखा y = 6x और परवलय y = 3x² के बीच के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन V ज्ञात कीजिए।

y = 6xy = 3x²

V =

5.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = x·sin(3x), x रेडियन में। f′(0.5) ज्ञात करें।

f(x) = x·sin(3x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

6.अवकलजकठिन

मान लें f(x) = x³ − 7.5x² + 12x + 1। स्थानीय निम्निष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।

f(x) = x³ − 7.5x² + 12x + 1

x =

7.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

समलंब नियम ∫₀² sin x dx के लिए उपयोग किया गया है। त्रुटि अधिकतम (b − a)³·M/(12n²) है, जहाँ M = [0, 2] पर max|f″| है। पट्टियों की वह सबसे छोटी संख्या n ज्ञात करें जो त्रुटि को 1 × 10⁻⁵ से कम होना सुनिश्चित करे।

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.संख्यात्मक विधियाँकठिन

y′ = y(2 − y), y(0) = 1 के लिए h = 0.2 के साथ यूलर विधि से y₅ ≈ y(1) आकलित करें।

y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0.2

y₅ =

3विलयन

1.अवकल समीकरण

उत्तर: T = 218.9 °C

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन नियम का हल

T(t) = 23 + 357·e^−0.01t

t रखें

T(60) = 23 + 357·0.5488 = 218.9 °C

उत्तर

T = 218.9 °C

2.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1) = 5.606

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

स्थिर मान और मूल

y_ss = 5, r = −2 ± 3j

प्रारंभिक मानों से अचर

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −3.333

मान निकालें

y(1) = 5·(1 − e⁻²(cos 3 + 0.6667·sin 3)) = 5.606

उत्तर

y(1) = 5.606

3.समाकल

उत्तर: I = 2.333

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिस्थापन

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

समाकलन करें और मान निकालें

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2.333

उत्तर

I = 2.333

4.समाकल

उत्तर: V = 120.6

घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।

प्रतिच्छेद बिंदु

6x = 3x² → x = 0, x = 2

वॉशर विधि

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

समाकलन करें

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38.4 = 120.6

उत्तर

V = 120.6

5.अवकलज

उत्तर: f′(0.5) = 1.104

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल और शृंखला नियम

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

मान रखें

f′(0.5) = 0.9975 + 1.5·0.07074 = 1.104

उत्तर

f′(0.5) = 1.104

6.अवकलज

उत्तर: x = 4

अवकलज

f′(x) = 3x² − 15x + 12 = 3·(x² − 5x + 4)

f′(x) = 0 हल करें

x = 1 या x = 4

कौन-सा क्या है

f″(x) = 6x − 15: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।

f″(1) = −9, f″(4) = 9

x = 4

उत्तर

x = 4

7.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: n = 259

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

द्वितीय अवकलज की सीमा

M = |sin(π/2)| = 1

n ज्ञात करें

n² > 8·1/(12·1 × 10⁻⁵) = 66667

n > 258.2 → n = 259

उत्तर

n = 259

8.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y₅ = 1.801

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

यूलर चरण

y₁ = 1 + 0.2·(1) = 1.2

y₂ = 1.2 + 0.2·(0.96) = 1.392

y₃ = 1.392 + 0.2·(0.846336) = 1.561267

y₄ = 1.561267 + 0.2·(0.684979) = 1.698263

y₅ = 1.698263 + 0.2·(0.512429) = 1.800749

ग्राफ़

y₅ = 1.801

उत्तर

y₅ = 1.801

यथार्थ मान y(1) = 1.761594 है।

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