अवकल समीकरण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

2अभ्यास प्रश्न

1.अवकल समीकरणमध्यम

y(0) = 1 और y′(0) = 6 के साथ y″ + 5y′ + 4y = 0 हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 6

y(2) =

2.अवकल समीकरणकठिन

y(0) = 3 के साथ y′ + 2y = 3e^−t हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए।

y′ + 2y = 3e^−ty(0) = 3

y(1.5) =

3.समाकलमध्यम

I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx का मान निकालें।

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

4.समाकलकठिन

y = 2x² और y = x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।

y = 2x²y = x

A =

5.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = (4x + 5)⁴। f′(−1) ज्ञात करें।

f(x) = (4x + 5)⁴x = −1

f′(−1) =

6.अवकलजकठिन

f(x) = 2x² + 3x − 1 की x = 1 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।

f(x) = 2x² + 3x − 1x = 1

b =

7.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

किसी वाहन की चाल हर 1 s पर मापी जाती है (सारणी)। सिम्पसन नियम से t = 0 से t = 6 s तक तय की गई दूरी s आकलित करें।

h = 1 sn = 6

s = m

8.संख्यात्मक विधियाँकठिन

y′ = t² + y², y(0) = 0 के लिए h = 0.25 के साथ ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) से y₃ ≈ y(0.75) आकलित करें।

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0.25

y₃ =

3विलयन

1.अवकल समीकरण

उत्तर: y(2) = 0.4503

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

अभिलक्षणिक मूल

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

प्रारंभिक मानों से अचर

A + B = 1, −1A − 4B = 6

A = 3.333, B = −2.333

मान निकालें

y(2) = 3.333·e⁻² + (−2.333)·e⁻⁸ = 0.4503

उत्तर

y(2) = 0.4503

2.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1.5) = 0.6694

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

समाकलन गुणक

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 3e^t

व्यापक हल

y = 3/1·e^−t + C·e^−2t = 3·e^−t + C·e^−2t

प्रारंभिक प्रतिबंध

3 = 3 + C → C = 0

मान निकालें

y(1.5) = 3·0.2231 + 0·0.04979 = 0.6694

उत्तर

y(1.5) = 0.6694

3.समाकल

उत्तर: I = 156

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिस्थापन

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

समाकलन करें और मान निकालें

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

उत्तर

I = 156

4.समाकल

उत्तर: A = 0.04167

प्रतिच्छेद बिंदु

2x² = x → x = 0, x = 0.5

ऊपरी घटा निचले का समाकलन करें

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

उत्तर

A = 0.04167

5.अवकलज

उत्तर: f′(−1) = 16

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

शृंखला नियम

f′(x) = 4·(4x + 5)³·4

मान रखें

f′(−1) = 4·1³·4 = 16

उत्तर

f′(−1) = 16

6.अवकलज

उत्तर: b = −3

बिंदु और ढाल

f(1) = 4

f′(x) = 4x + 3 → f′(1) = 7

x = 0 पर स्पर्शरेखा

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − 7·1 = −3

उत्तर

b = −3

7.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: s = 56 m

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

भारित योग

9 + 4·7 + 2·7 + 4·9 + 2·8 + 4·13 + 13 = 168

सिम्पसन नियम

s = (1/3)·168 = 56 m

उत्तर

s = 56 m

8.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y₃ = 0.1503

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

ह्यून चरण

y₁ = 0 + (0.25/2)(0 + 0.0625) = 0.0078125

y₂ = 0.0078125 + (0.25/2)(0.062561 + 0.25055) = 0.0469514

y₃ = 0.0469514 + (0.25/2)(0.252204 + 0.574601) = 0.150302

ग्राफ़

y₃ = 0.1503

उत्तर

y₃ = 0.1503

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