अवकल समीकरण
- चरघातांकी वृद्धि/क्षय
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- अर्ध-आयु
- k = ln 2 / t½
- न्यूटन का शीतलन नियम
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- समाकलन गुणक
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- मिश्रण टैंक
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
अवकल समीकरण: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
समाकल
- घात नियम
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- निश्चित समाकल
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- सामान्य समाकल
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- वक्रों के बीच का क्षेत्रफल
- ∫ab (f − g) dx
विधि
- जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
- घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और ex, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
- जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
- निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।
अवकलज
- घात नियम
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- गुणनफल नियम
- (uv)′ = u′v + uv′
- भागफल नियम
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- शृंखला नियम
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- सामान्य अवकलज
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
विधि
- संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
- x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
- जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
- सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।
संख्यात्मक विधियाँ
- द्विभाजन
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- न्यूटन–रैफ़्सन
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- रैखिक अंतर्वेशन
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- समलंब नियम
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- सिम्पसन नियम (n सम)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- समलंब त्रुटि सीमा
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- यूलर
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ह्यून
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
विधि
- मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
- सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
- समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
- ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
2अभ्यास प्रश्न
1.अवकल समीकरणमध्यम
6 °C पर सोडा का एक कैन फ़्रिज से निकालकर 29 °C वाले कमरे में लाया जाता है। 8 min के बाद इसका तापमान 15 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 9 °C तक पहुँचता है?
T0 = 6 °CTa = 29 °CT(8) = 15 °CT = 9 °C
t = min
2.अवकल समीकरणकठिन
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 2y/x = 2 को y(1) = 0 के साथ हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।
y′ + 2y/x = 2y(1) = 0
y(2) =
3.समाकलमध्यम
I = ∫02 ex dx का मान निकालें।
f(x) = ex[0, 2]
I =
4.समाकलकठिन
y = 2x2 और y = 3x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।
y = 2x2y = 3x
A =
5.अवकलजमध्यम
मान लें f(x) = ln(x2 + 5)। f′(−1) ज्ञात करें।
f(x) = ln(x2 + 5)x = −1
f′(−1) =
6.अवकलजकठिन
f(x) = 3x2 + x − 5 की x = −1 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।
f(x) = 3x2 + x − 5x = −1
b =
7.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
n = 2 पट्टियों के साथ समलंब नियम से ∫01 sin(x²) dx का सन्निकटन करें। T दें।
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2
T =
8.संख्यात्मक विधियाँकठिन
y′ = e−ty, y(0) = 0 के लिए h = 0.5 के साथ मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) का एक चरण लें। y₁ ≈ y(0.5) ज्ञात करें।
y′ = e−tyy(0) = 0h = 0.5
y1 =
3विलयन
1.अवकल समीकरण
उत्तर: t = 2.252 min
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
शीतलन स्थिरांक
k = ln(-23/-14)/8 = 0.06205 min⁻¹
लक्ष्य तक पहुँचने का समय
t = ln(-23/(−20))/0.06205 = 2.252 min
उत्तर
t = 2.252 min
2.अवकल समीकरण
उत्तर: y(2) = 1.167
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
समाकलन गुणक
μ = e∫2/x dx = x2
समाकलन करें
(x2y)′ = 2x2 → x2y = 2x3/3 + C
प्रारंभिक प्रतिबंध
0 = 2/3 + C → C = −0.6667
मान निकालें
y(2) = (2·23/3 + (−0.6667))/22 = 1.167
उत्तर
y(2) = 1.167
3.समाकल
उत्तर: I = 6.389
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
प्रतिअवकलज
F(x) = ex/1
सीमाओं पर मान निकालें
I = (e2 − 1)/1 = (7.389 − 1)/1 = 6.389
उत्तर
I = 6.389
4.समाकल
उत्तर: A = 1.125
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
प्रतिच्छेद बिंदु
2x2 = 3x → x = 0, x = 1.5
ऊपरी घटा निचले का समाकलन करें
A = [1.5x2 − 0.6667x3]01.5 = 1.125
उत्तर
A = 1.125
5.अवकलज
उत्तर: f′(−1) = −0.3333
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
लघुगणक के लिए शृंखला नियम
f′(x) = 2x/(x2 + 5)
मान रखें
f′(−1) = −2/6 = −0.3333
उत्तर
f′(−1) = −0.3333
6.अवकलज
उत्तर: b = −8
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
बिंदु और ढाल
f(−1) = −3
f′(x) = 6x + 1 → f′(−1) = −5
x = 0 पर स्पर्शरेखा
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−5)·(−1) = −8
उत्तर
b = −8
7.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: T = 0.3341
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
नोड और मान
h = 0.5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.247404 + 0.841471 = 1.336279
समलंब नियम
T = (0.5/2)·1.336279 = 0.3341
उत्तर
T = 0.3341
इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।
8.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: y1 = 0.4629
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
चार ढालें
k₁ = f(0, 0) = 1
k₂ = f(0.25, 0.25) = 0.939413
k₃ = f(0.25, 0.234853) = 0.942977
k₄ = f(0.5, 0.471489) = 0.789983
मिलाएँ
y₁ = 0 + (0.5/6)(1 + 2·0.939413 + 2·0.942977 + 0.789983) = 0.4629
उत्तर
y1 = 0.4629
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