अवकल समीकरण: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

संख्यात्मक विधियाँ

द्विभाजन: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
न्यूटन–रैफ़्सन: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
रैखिक अंतर्वेशन: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
समलंब त्रुटि सीमा: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
यूलर: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
ह्यून: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

विधि

मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।

2अभ्यास प्रश्न

1.अवकल समीकरणमध्यम

500 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 26 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 28 min के बाद इसका तापमान 297 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 148 °C तक पहुँचता है?

T₀ = 500 °CT_a = 26 °CT(28) = 297 °CT = 148 °C

t = min

2.अवकल समीकरणकठिन

एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + 2y′ + 17y = 170 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। उसकी पग अनुक्रिया का शिखर मान y_max ज्ञात कीजिए।

y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3.समाकलमध्यम

I = ∫₀² e^−0.5x dx का मान निकालें।

f(x) = e^−0.5x[0, 2]

I =

4.समाकलकठिन

रेखा y = 5x और परवलय y = 2x² के बीच के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन V ज्ञात कीजिए।

y = 5xy = 2x²

V =

5.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = x²·e^x। f′(1) ज्ञात करें।

f(x) = x²·e^xx = 1

f′(1) =

6.अवकलजकठिन

f(x) = 3x² + 3x + 2 की x = −2 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।

f(x) = 3x² + 3x + 2x = −2

b =

7.संख्यात्मक विधियाँमध्यम

n = 6 पट्टियों के साथ समलंब नियम से ∫₀³ √x·e^−x dx का सन्निकटन करें। T दें।

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 6

T =

8.संख्यात्मक विधियाँकठिन

y′ = e^−ty, y(0) = 0.5 के लिए h = 0.5 के साथ मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) का एक चरण लें। y₁ ≈ y(0.5) ज्ञात करें।

y′ = e^−tyy(0) = 0.5h = 0.5

y₁ =

3विलयन

1.अवकल समीकरण

उत्तर: t = 67.97 min

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन स्थिरांक

k = ln(474/271)/28 = 0.01997 min⁻¹

लक्ष्य तक पहुँचने का समय

t = ln(474/122)/0.01997 = 67.97 min

उत्तर

t = 67.97 min

2.अवकल समीकरण

उत्तर: y_max = 14.56

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

स्थिर मान और मूल

y_ss = 10, r = −1 ± 4j

प्रारंभिक मानों से अचर

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −2.5

शिखर

t = π/4 = 0.7854

y_max = 10·(1 + e^−1·π/4) = 14.56

उत्तर

y_max = 14.56

3.समाकल

उत्तर: I = 1.264

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिअवकलज

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

सीमाओं पर मान निकालें

I = (e⁻¹ − 1)/(−0.5) = (0.3679 − 1)/(−0.5) = 1.264

उत्तर

I = 1.264

4.समाकल

उत्तर: V = 163.6

घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।

प्रतिच्छेद बिंदु

5x = 2x² → x = 0, x = 2.5

वॉशर विधि

V = π∫₀^2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx

समाकलन करें

V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6

उत्तर

V = 163.6

5.अवकलज

उत्तर: f′(1) = 8.155

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल नियम

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

मान रखें

f′(1) = 2.718·(2 + 1) = 8.155

उत्तर

f′(1) = 8.155

6.अवकलज

उत्तर: b = −10

बिंदु और ढाल

f(−2) = 8

f′(x) = 6x + 3 → f′(−2) = −9

x = 0 पर स्पर्शरेखा

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 8 − (−9)·(−2) = −10

उत्तर

b = −10

7.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: T = 0.7172

संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।

नोड और मान

h = 0.5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.428882 + 2·0.367879 + 2·0.273278 + 2·0.191393 + 2·0.129788 + 0.0862337 = 2.868673

समलंब नियम

T = (0.5/2)·2.868673 = 0.7172

उत्तर

T = 0.7172

इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।

8.संख्यात्मक विधियाँ

उत्तर: y₁ = 0.9138

y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।

चार ढालें

k₁ = f(0, 0.5) = 1

k₂ = f(0.25, 0.75) = 0.829029

k₃ = f(0.25, 0.707257) = 0.837935

k₄ = f(0.5, 0.918968) = 0.63161

मिलाएँ

y₁ = 0.5 + (0.5/6)(1 + 2·0.829029 + 2·0.837935 + 0.63161) = 0.9138

उत्तर

y₁ = 0.9138

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