अवकल समीकरण
- चरघातांकी वृद्धि/क्षय
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- अर्ध-आयु
- k = ln 2 / t½
- न्यूटन का शीतलन नियम
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- समाकलन गुणक
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- मिश्रण टैंक
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
अवकल समीकरण: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
समाकल
- घात नियम
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- निश्चित समाकल
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- सामान्य समाकल
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- वक्रों के बीच का क्षेत्रफल
- ∫ab (f − g) dx
विधि
- जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
- घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और ex, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
- जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
- निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।
अवकलज
- घात नियम
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- गुणनफल नियम
- (uv)′ = u′v + uv′
- भागफल नियम
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- शृंखला नियम
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- सामान्य अवकलज
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
विधि
- संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
- x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
- जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
- सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।
संख्यात्मक विधियाँ
- द्विभाजन
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- न्यूटन–रैफ़्सन
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- रैखिक अंतर्वेशन
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- समलंब नियम
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- सिम्पसन नियम (n सम)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- समलंब त्रुटि सीमा
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- यूलर
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ह्यून
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
विधि
- मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
- सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
- समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
- ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
2अभ्यास प्रश्न
1.अवकल समीकरणमध्यम
y(0) = 3 और y′(0) = 0 के साथ y″ + 4y′ + 4y = 0 हल कीजिए। y(1.5) ज्ञात कीजिए।
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(1.5) =
2.अवकल समीकरणकठिन
y(0) = 10 और y′(0) = 0 (विराम से छोड़ा गया) के साथ y″ + y′ + 4.25y = 0 हल कीजिए। y(0.75) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।
y″ + y′ + 4.25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.75) =
3.समाकलमध्यम
x = 0 से x = 1 तक y = √(2x) के नीचे के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस (परवलयज) का आयतन V ज्ञात कीजिए।
y = √(2x)0 ≤ x ≤ 1
V =
4.समाकलकठिन
y = 0.5x2 और y = 4x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।
y = 0.5x2y = 4x
A =
5.अवकलजमध्यम
मान लें f(x) = ln(2x2 + 1)। f′(1) ज्ञात करें।
f(x) = ln(2x2 + 1)x = 1
f′(1) =
6.अवकलजकठिन
f(x) = 0.5x2 + x − 3 की x = −2 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।
f(x) = 0.5x2 + x − 3x = −2
b =
7.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
n = 6 पट्टियों के साथ सिम्पसन नियम से ∫01.5 e−x² dx का सन्निकटन करें। S दें।
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 1.5]n = 6
S =
8.संख्यात्मक विधियाँकठिन
y′ = y(2 − y), y(0) = 0.2 को यूलर विधि से चरण h = 0.5 के साथ t = 2 तक हल करें। यथार्थ हल y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t) है। वैश्विक त्रुटि |E| = |y(2) − y4| ज्ञात करें।
y′ = y(2 − y)y(0) = 0.2h = 0.5
|E| =
3विलयन
1.अवकल समीकरण
उत्तर: y(1.5) = 0.5974
द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।
द्विगुण मूल
(r + 2)² = 0 → r = −2
अचर
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 2A → B = 0 + 6 = 6
मान निकालें
y(1.5) = (3 + 6·1.5)·e−3 = 0.5974
उत्तर
y(1.5) = 0.5974
2.अवकल समीकरण
उत्तर: y(0.75) = 2.2
द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।
सम्मिश्र मूल
r = −0.5 ± 2j
अचर
A = 10, B = 0.5·10/2 = 2.5
मान निकालें
y(0.75) = e−0.375(10·cos 1.5 + 2.5·sin 1.5) = 2.2
उत्तर
y(0.75) = 2.2
3.समाकल
उत्तर: V = 3.142
घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।
चकती विधि
V = π∫₀1 2x dx
समाकलन करें
V = π·2·1²/2 = 3.142
उत्तर
V = 3.142
4.समाकल
उत्तर: A = 42.67
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
प्रतिच्छेद बिंदु
0.5x2 = 4x → x = 0, x = 8
ऊपरी घटा निचले का समाकलन करें
A = [2x2 − 0.1667x3]08 = 42.67
उत्तर
A = 42.67
5.अवकलज
उत्तर: f′(1) = 1.333
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
लघुगणक के लिए शृंखला नियम
f′(x) = 4x/(2x2 + 1)
मान रखें
f′(1) = 4/3 = 1.333
उत्तर
f′(1) = 1.333
6.अवकलज
उत्तर: b = −5
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
बिंदु और ढाल
f(−2) = −3
f′(x) = x + 1 → f′(−2) = −1
x = 0 पर स्पर्शरेखा
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−1)·(−2) = −5
उत्तर
b = −5
7.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: S = 0.8562
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
नोड और मान
h = 0.25
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0.939413 + 2·0.778801 + 4·0.569783 + 2·0.367879 + 4·0.209611 + 0.105399 = 10.273989
सिम्पसन नियम
S = (0.25/3)·10.273989 = 0.8562
उत्तर
S = 0.8562
इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।
8.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: |E| = 0.08758
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
यूलर चरण
y4 = 1.629396
यथार्थ मान
y(2) = 1.716973
वैश्विक त्रुटि
|E| = |1.716973 − 1.629396| = 0.08758
ग्राफ़
उत्तर
|E| = 0.08758
h को आधा करने पर यूलर विधि की त्रुटि लगभग आधी हो जाती है।
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