अवकल समीकरण
- चरघातांकी वृद्धि/क्षय
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- अर्ध-आयु
- k = ln 2 / t½
- न्यूटन का शीतलन नियम
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- समाकलन गुणक
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- मिश्रण टैंक
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
अवकल समीकरण: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
समाकल
- घात नियम
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- निश्चित समाकल
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- सामान्य समाकल
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- वक्रों के बीच का क्षेत्रफल
- ∫ab (f − g) dx
विधि
- जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
- घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और ex, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
- जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
- निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।
अवकलज
- घात नियम
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- गुणनफल नियम
- (uv)′ = u′v + uv′
- भागफल नियम
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- शृंखला नियम
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- सामान्य अवकलज
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
विधि
- संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
- x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
- जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
- सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।
संख्यात्मक विधियाँ
- द्विभाजन
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- न्यूटन–रैफ़्सन
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- रैखिक अंतर्वेशन
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- समलंब नियम
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- सिम्पसन नियम (n सम)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- समलंब त्रुटि सीमा
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- यूलर
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ह्यून
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
विधि
- मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
- सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
- समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
- ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
2अभ्यास प्रश्न
1.अवकल समीकरणमध्यम
y(0) = 1 और y′(0) = 4 के साथ y″ + 8y′ + 16y = 0 हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 1y′(0) = 4
y(1) =
2.अवकल समीकरणकठिन
एक टैंक में 1000 L जल है जिसमें 10 kg नमक घुला है। प्रति लीटर 0.05 kg नमक वाला लवणजल 20 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। 55 min के बाद टैंक में कितना नमक m है?
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0.05 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
3.समाकलमध्यम
I = ∫₀2 x·sin x dx का मान निकालिए (x रेडियन में)।
∫₀2 x·sin x dx
I =
4.समाकलकठिन
I = ∫₀3 x²·eˣ dx का मान निकालिए।
∫₀3 x²eˣ dx
I =
5.अवकलजमध्यम
मान लें f(x) = (2x + 5)5। f′(2) ज्ञात करें।
f(x) = (2x + 5)5x = 2
f′(2) =
6.अवकलजकठिन
मान लें f(x) = x3 + 1.5x2 − 6x − 1। स्थानीय निम्निष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।
f(x) = x3 + 1.5x2 − 6x − 1
x =
7.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
∫13 1/x dx का सन्निकटन सिम्पसन नियम से n = 2 के साथ करें और यथार्थ मान से तुलना करें। निरपेक्ष त्रुटि |E| = |S − I| ज्ञात करें।
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2
|E| =
8.संख्यात्मक विधियाँकठिन
y′ = y − t², y(0) = 3 के लिए h = 0.25 के साथ यूलर विधि से y5 ≈ y(1.25) आकलित करें।
y′ = y − t²y(0) = 3h = 0.25
y5 =
3विलयन
1.अवकल समीकरण
उत्तर: y(1) = 0.1648
द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।
द्विगुण मूल
(r + 4)² = 0 → r = −4
अचर
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 4A → B = 4 + 4 = 8
मान निकालें
y(1) = (1 + 8·1)·e−4 = 0.1648
उत्तर
y(1) = 0.1648
2.अवकल समीकरण
उत्तर: m = 36.69 kg
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
समीकरण बनाएँ
dm/dt = 20·0.05 − (20/1000)·m = 1 − 0.02·m
हल करें
समाकलन गुणक ert/V है; हल साम्य c·V की ओर जाता है।
m(t) = 50 + (−40)·e−t/50
t रखें
m(55) = 50 + (−40)·0.3329 = 36.69 kg
उत्तर
m = 36.69 kg
3.समाकल
उत्तर: I = 1.742
खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।
u और dv चुनें
u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x
प्रतिअवकलज
∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x
सीमाएँ
(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1.742
उत्तर
I = 1.742
4.समाकल
उत्तर: I = 98.43
खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।
पहला चरण
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
दूसरा चरण
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
सीमाएँ
20.09·(5) − 1·2 = 98.43
उत्तर
I = 98.43
5.अवकलज
उत्तर: f′(2) = 65610
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
शृंखला नियम
f′(x) = 5·(2x + 5)4·2
मान रखें
f′(2) = 5·94·2 = 65610
उत्तर
f′(2) = 65610
6.अवकलज
उत्तर: x = 1
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
अवकलज
f′(x) = 3x2 + 3x − 6 = 3·(x2 + x − 2)
f′(x) = 0 हल करें
x = −2 या x = 1
कौन-सा क्या है
f″(x) = 6x + 3: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।
f″(−2) = −9, f″(1) = 9
x = 1
उत्तर
x = 1
7.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: |E| = 0.0125
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
यथार्थ मान
I = 1.098612
सिम्पसन नियम
S = (1/3)·(1 + 4·0.5 + 0.333333) = 1.111111
त्रुटि
|E| = |1.111111 − 1.098612| = 0.0125
उत्तर
|E| = 0.0125
सापेक्ष त्रुटि: 1.138%।
8.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: y5 = 8.601
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
यूलर चरण
y₁ = 3 + 0.25·(3) = 3.75
y₂ = 3.75 + 0.25·(3.6875) = 4.671875
y₃ = 4.671875 + 0.25·(4.421875) = 5.777344
y₄ = 5.777344 + 0.25·(5.214844) = 7.081055
y₅ = 7.081055 + 0.25·(6.081055) = 8.601318
ग्राफ़
y5 = 8.601
उत्तर
y5 = 8.601
यथार्थ मान y(1.25) = 9.552843 है।
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