अवकल समीकरण
- चरघातांकी वृद्धि/क्षय
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- अर्ध-आयु
- k = ln 2 / t½
- न्यूटन का शीतलन नियम
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- समाकलन गुणक
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- मिश्रण टैंक
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
अवकल समीकरण: क्रैम पैक
सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 8 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
1सूत्र और विधियाँ
समाकल
- घात नियम
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- निश्चित समाकल
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- सामान्य समाकल
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- वक्रों के बीच का क्षेत्रफल
- ∫ab (f − g) dx
विधि
- जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
- घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और ex, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
- जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
- निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।
अवकलज
- घात नियम
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- गुणनफल नियम
- (uv)′ = u′v + uv′
- भागफल नियम
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- शृंखला नियम
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- सामान्य अवकलज
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
विधि
- संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
- x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
- जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
- सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।
संख्यात्मक विधियाँ
- द्विभाजन
- c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
- न्यूटन–रैफ़्सन
- xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
- रैखिक अंतर्वेशन
- y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
- समलंब नियम
- T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
- सिम्पसन नियम (n सम)
- S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
- समलंब त्रुटि सीमा
- |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
- यूलर
- yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
- ह्यून
- yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
- RK4
- yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
विधि
- मूल के लिए: द्विभाजन में चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या न्यूटन के लिए f और f′ निकालें, और पुनरावृत्तियों की सारणी में छह या अधिक अंक रखें।
- सारणी मान के लिए: दो पड़ोसी बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन करें।
- समाकल के लिए: h = (b − a)/n निकालें, हर नोड पर f सूचीबद्ध करें, भार लगाएँ (समलंब के लिए 1, 2, …, 2, 1; सम n वाले सिम्पसन के लिए 1, 4, 2, …, 4, 1) और h/2 या h/3 से गुणा करें।
- ODE के लिए: t₀ से yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (यूलर) या औसत ढाल (ह्यून) से चलें, हर चरण के लिए एक पंक्ति, जब तक माँगे गए t तक न पहुँचें।
2अभ्यास प्रश्न
1.अवकल समीकरणमध्यम
y(0) = 1 और y′(0) = -1 के साथ y″ + 4y′ + 4y = 0 हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = -1
y(1) =
2.अवकल समीकरणकठिन
एक टैंक में 400 L जल है जिसमें 10 kg नमक घुला है। प्रति लीटर 0.25 kg नमक वाला लवणजल 2 L/min पर अंदर आता है, और अच्छी तरह मिश्रित विलयन उसी दर से बाहर निकलता है। 65 min के बाद टैंक में कितना नमक m है?
V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0.25 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
3.समाकलमध्यम
I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx का मान निकालें।
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 1]
I =
4.समाकलकठिन
रेखा y = x और परवलय y = x² के बीच के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन V ज्ञात कीजिए।
y = xy = x²
V =
5.अवकलजमध्यम
मान लें f(x) = x2·e2x। f′(1.5) ज्ञात करें।
f(x) = x2·e2xx = 1.5
f′(1.5) =
6.अवकलजकठिन
मान लें f(x) = x3 − 7.5x2 + 12x + 1। स्थानीय निम्निष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।
f(x) = x3 − 7.5x2 + 12x + 1
x =
7.संख्यात्मक विधियाँमध्यम
n = 5 पट्टियों के साथ समलंब नियम से ∫01.5 1/(1 + x³) dx का सन्निकटन करें। T दें।
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1.5]n = 5
T =
8.संख्यात्मक विधियाँकठिन
y′ = −y, y(0) = 1 के लिए h = 0.5 के साथ यूलर विधि से y4 ≈ y(2) आकलित करें।
y′ = −yy(0) = 1h = 0.5
y4 =
3विलयन
1.अवकल समीकरण
उत्तर: y(1) = 0.2707
द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।
द्विगुण मूल
(r + 2)² = 0 → r = −2
अचर
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 2A → B = -1 + 2 = 1
मान निकालें
y(1) = (1 + 1·1)·e−2 = 0.2707
उत्तर
y(1) = 0.2707
2.अवकल समीकरण
उत्तर: m = 34.97 kg
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
समीकरण बनाएँ
dm/dt = 2·0.25 − (2/400)·m = 0.5 − 0.005·m
हल करें
समाकलन गुणक ert/V है; हल साम्य c·V की ओर जाता है।
m(t) = 100 + (−90)·e−t/200
t रखें
m(65) = 100 + (−90)·0.7225 = 34.97 kg
उत्तर
m = 34.97 kg
3.समाकल
उत्तर: I = 1.5
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
प्रतिस्थापन
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u1 du
समाकलन करें और मान निकालें
I = [u2/2]12 = (4 − 1)/2 = 1.5
उत्तर
I = 1.5
4.समाकल
उत्तर: V = 0.4189
घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।
प्रतिच्छेद बिंदु
1x = 1x² → x = 0, x = 1
वॉशर विधि
V = π∫₀1 ((1x)² − (1x²)²) dx
समाकलन करें
V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0.1333 = 0.4189
उत्तर
V = 0.4189
5.अवकलज
उत्तर: f′(1.5) = 150.6
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
गुणनफल नियम
f′(x) = u′v + uv′ = e2x·(2x + 2·x2)
मान रखें
f′(1.5) = 20.09·(3 + 4.5) = 150.6
उत्तर
f′(1.5) = 150.6
6.अवकलज
उत्तर: x = 4
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
अवकलज
f′(x) = 3x2 − 15x + 12 = 3·(x2 − 5x + 4)
f′(x) = 0 हल करें
x = 1 या x = 4
कौन-सा क्या है
f″(x) = 6x − 15: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।
f″(1) = −9, f″(4) = 9
x = 4
उत्तर
x = 4
7.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: T = 1.007
संख्यात्मक समाकलन: [a, b] को चौड़ाई h = (b − a)/n की n पट्टियों में बाँटें, जिनके नोड x₀ … xₙ हैं। समलंब नियम: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]। सिम्पसन नियम (n सम): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]। समलंब की त्रुटि h² की तरह घटती है (सीमा (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), सिम्पसन की h⁴ की तरह, इसलिए समान नोड्स के लिए सिम्पसन आमतौर पर कहीं अधिक सटीक होता है।
नोड और मान
h = 0.3
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0.97371 + 2·0.822368 + 2·0.578369 + 2·0.366569 + 0.228571 = 6.710604
समलंब नियम
T = (0.3/2)·6.710604 = 1.007
उत्तर
T = 1.007
इस समाकल का कोई प्राथमिक प्रतिअवकलज नहीं है, और ठीक ऐसी ही स्थिति में संख्यात्मक नियम की आवश्यकता होती है।
8.संख्यात्मक विधियाँ
उत्तर: y4 = 0.0625
y′ = f(t, y) का संख्यात्मक हल: यूलर विधि हर चरण के आरंभ की ढाल के अनुदिश चलती है: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)। ह्यून विधि (सुधारी हुई यूलर) आरंभ की ढाल और यूलर पूर्वानुमान पर ढाल का औसत लेती है: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂)। मौलिक रुंगे–कुट्टा विधि (RK4) चार ढालों को मिलाती है: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)। यूलर की वैश्विक त्रुटि h के समानुपाती है, ह्यून की h² के, RK4 की h⁴ के।
यूलर चरण
y₁ = 1 + 0.5·(−1) = 0.5
y₂ = 0.5 + 0.5·(−0.5) = 0.25
y₃ = 0.25 + 0.5·(−0.25) = 0.125
y₄ = 0.125 + 0.5·(−0.125) = 0.0625
ग्राफ़
y4 = 0.0625
उत्तर
y4 = 0.0625
यथार्थ मान y(2) = 0.135335 है।
ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations