गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 20 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 3.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार को पकड़ने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v_car = 20 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 4.9 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।

t_total = 4.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

20 kg का एक गुटका क्षैतिज से 40° पर झुकी घर्षणरहित ढलान पर नीचे फिसलता है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 3.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 4 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। मेज़ घर्षणरहित है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 14 m/s से क्षैतिज से 60° ऊपर 12 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 14 m/sθ = 60°x = 12 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 10 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 19 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक 1800 kg कार 12 m/s से सड़क के एक उभार के शीर्ष पर से गुज़रती है। उभार का शीर्ष 20 m त्रिज्या का वृत्तीय चाप है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर सड़क द्वारा कार पर अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 1800 kgv = 12 m/sr = 20 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.वृत्तीय गतिकठिन

एक 4.5 kg गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर 34.2 m की ऊँचाई पर विराम से छोड़ी जाती है और 9 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप से गुज़रती है। g = 9.81 m/s² लें। लूप के तल पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर अभिलंब बल N_bottom ज्ञात कीजिए।

m = 4.5 kgh = 34.2 mR = 9 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

1 kg का एक गुटका क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर 12 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgθ = 40°μ = 0.4d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

0.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

17 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 19 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 3 kg टुकड़ा 46 m/s से आगे चलता रहता है। 16 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 19 kgu = 17 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 46 m/sm₂ = 16 kg

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.3 kg की एक गेंद 23 m/s से दीवार से टकराती है और 13 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 5 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.3 kgv_in = 23 m/sv_out = 13 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

19 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाला एक गतिपालक चक्र 3000 rpm पर घूमता है। एक ब्रेक 200 N·m का स्थिर घर्षण बलाघूर्ण लगाता है। इसे रुकने में कितना समय t लगता है?

I = 19 kg·m²n = 3000 rpmT_b = 200 N·m

t = s

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक एकसमान ठोस डिस्क (द्रव्यमान 34 kg, त्रिज्या 0.25 m) एक ऊर्ध्वाधर घर्षणरहित शाफ़्ट के परितः 400 rpm पर मुक्त रूप से घूमती है। 7 kg द्रव्यमान और समान त्रिज्या का एक पतला वलय शाफ़्ट पर केंद्रित करके विराम से उस पर गिराया जाता है, और दोनों जल्दी ही साथ घूमने लगते हैं। उनकी साझा चाल n₂ rpm में ज्ञात कीजिए।

M_disc = 34 kgM_ring = 7 kgR = 0.25 mn₁ = 400 rpm

n₂ = rpm

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1440 rpm पर एक 2.2 kW मोटर 2 स्टार्ट वाले वर्म को चलाती है। वर्म व्हील में 36 दाँत हैं और ड्राइव की दक्षता 55% है। व्हील शाफ़्ट पर निर्गम बलाघूर्ण T_w ज्ञात कीजिए।

z = 2N_w = 36n = 1440 rpmP = 2.2 kWη = 55%

T_w = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 315 mm की घिरनी को 120 mm की चालक घिरनी से, जो 1450 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 1200 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.35 है और कसी हुई ओर का तनाव 1500 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 120 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 315 mmC = 1200 mmμ = 0.35T₁ = 1500 N

P = kW

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 180 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 0.4 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 5 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.2 s पर उसका वेग v (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।

m = 0.4 kgk = 180 N/mA = 5 cmt = 0.2 s

v = m/s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 150 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 0.4 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। स्प्रिंग का अधिकतम खिंचाव x_max cm में ज्ञात कीजिए।

m = 0.4 kgk = 150 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

40 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 80 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.5 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 80 kgk = 40 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 5 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 30 kN/m और k₂ = 15 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 11.43 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·20/3.5 = 11.43 s

उत्तर

t = 11.43 s

उस क्षण पुलिस कार 2v = 40 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 103.7 m

समय के दो भाग

½·9.81·t₁² = 343·(4.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1681 = 0

गिरने का समय

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1681))/(2·4.905) = 4.598 s

गहराई

d = ½·9.81·4.598² = 103.7 m

उत्तर

d = 103.7 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 6.306 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

उत्तर

a = 6.306 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 18.31 N

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 0)/7.5 = 5.232 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·5.232 + 0 = 18.31 N

उत्तर

T = 18.31 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 6.37 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 14·cos 60° = 7 m/s

t = x/v_x = 12/7 = 1.714 s

उस समय ऊँचाई

y = 12.12·1.714 − ½·9.81·1.714² = 6.37 m

उत्तर

y = 6.37 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.348 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 45° = 13.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 45° = 13.44 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 10 + 13.44·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13.44 + √(180.5 + 196.2))/9.81 = 3.348 s

उत्तर

t = 3.348 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: N = 4698 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

शीर्ष पर बल

केंद्र की ओर (नीचे) धनात्मक है।

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9.81 − 1800·12²/20 = 17658 − 12960 = 4698 N

उत्तर

N = 4698 N

कार हल्की महसूस होती है: सड़क उसके भार से कम ऊपर धकेलती है।

8.वृत्तीय गति

उत्तर: N_bottom = 379.6 N

ऊर्जा संरक्षण से चाल

v² = 2·9.81·34.2 = 671 m²/s²

बल

केंद्र की ओर धनात्मक है।

N = m·v²/R + m·g = 4.5·671/9 + 44.15 = 379.6 N

उत्तर

N_bottom = 379.6 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 36.07 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 9.81·0.766 = 7.515 N

F = μN = 0.4·7.515 = 3.006 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 3.006·12 = 36.07 J

उत्तर

W_f = 36.07 J

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 20.06 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 4.905·(4.5 − 0.1·4) = 20.11 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 20.11 → x = √(2·20.11/1000) = 0.2006 m = 20.06 cm

उत्तर

x = 20.06 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 11.56 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 19·17 = 323 kg·m/s

बाद का संवेग

323 = 3·46 + 16·v′₂

v′₂ = (323 − 138)/16 = 11.56 m/s

उत्तर

v′₂ = 11.56 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 10.8 N·s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.3·(13 + 23) = 10.8 N·s

उत्तर

J = 10.8 N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: t = 29.85 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

मंदन और समय

α = T_b/I = 200/19 = 10.53 rad/s²

t = ω/α = 314.2/10.53 = 29.85 s

उत्तर

t = 29.85 s

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: n₂ = 283.3 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

जड़त्व आघूर्ण

I₁ = ½·34·0.25² = 1.063 kg·m²

I₂ = 7·0.25² = 0.4375 kg·m²

कोणीय संवेग संरक्षण

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 400·1.063/1.5 = 283.3 rpm

उत्तर

n₂ = 283.3 rpm

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_w = 144.4 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1440·2/36 = 80 rpm

निर्गत बलाघूर्ण

ω_w = 2π·80/60 = 8.378 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0.55·2200/8.378 = 144.4 N·m

उत्तर

T_w = 144.4 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 8.848 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 2.979 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^1.043 = 2.837, T₂ = 1500/2.837 = 528.8 N

शक्ति

P = (1500 − 528.8)·9.111 = 8.848 kW

उत्तर

P = 8.848 kW

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 0.9458 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(180/0.4) = 21.21 rad/s

ω·t = 21.21·0.2 = 4.243 rad

वेग

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.05·21.21·sin(4.243) = 0.9458 m/s

उत्तर

v = 0.9458 m/s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: x_max = 5.232 cm

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 0.4·9.81/150 = 0.02616 m = A

निम्नतम बिंदु

x_max = 2A = 0.05232 m = 5.232 cm

उत्तर

x_max = 5.232 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 3.082 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(40000/80) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.5²) = 3.082 Hz

उत्तर

f_d = 3.082 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 15.1 Hz

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 30 + 15 = 45 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(45000/5) = 94.87 rad/s

f_n = 94.87/(2π) = 15.1 Hz

उत्तर

f_n = 15.1 Hz

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