गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान को उड़ान भरने के लिए 200 km/h की चाल चाहिए और उपयोगी रनवे 2400 m लंबा है। विराम से शुरू करते हुए, उसे कितना स्थिर त्वरण a चाहिए?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 2400 m

a = m/s²

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 10 s तक 2.5 m/s² से त्वरित होती है, फिर 15 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 3.5 m/s² से ब्रेक लगाती है। दोनों स्टॉपों के बीच कुल दूरी s ज्ञात कीजिए।

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 10 st₂ = 15 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 5.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 31 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 5.5 m/sd = 31 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

30° पर झुके रैंप पर एक 5 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 3 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। रैंप घर्षणरहित है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 3 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 40 m/s से क्षैतिज से 55° ऊपर 46 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 40 m/sθ = 55°x = 46 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 26 m/s से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 14 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 26 m/sθ = 60°h_roof = 14 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 110 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.6 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 110 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

एक 4 kg गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर 27.75 m की ऊँचाई पर विराम से छोड़ी जाती है और 7.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप से गुज़रती है। g = 9.81 m/s² लें। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर अभिलंब बल N_top ज्ञात कीजिए।

m = 4 kgh = 27.75 mR = 7.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 800 kg कार 2° की ढलान पर स्थिर 36 km/h से ऊपर चढ़ती है। वायु प्रतिरोध और लोटनिक प्रतिरोध मिलकर 200 N हैं। पहियों द्वारा दी जाने वाली आवश्यक शक्ति P, kW में ज्ञात कीजिए।

m = 800 kgθ = 2°F_r = 200 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 4 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.3) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 5 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 1.5 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

10 m/s से चल रहा 4.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.6 kg की एक गेंद 25 m/s से दीवार से टकराती है और 6 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 5 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.6 kgv_in = 25 m/sv_out = 6 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक शाफ़्ट 1700 rpm पर 16.5 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में बलाघूर्ण T ज्ञात कीजिए।

P = 16.5 kWn = 1700 rpm

T = N·m

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

8.5 kg द्रव्यमान और 1.9 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ अपने ऊपरी सिरे पर एक घर्षणरहित धुरी से विराम में लटकी है। 540 m/s से क्षैतिज चलती एक 40 g गोली धुरी से 1.71 m नीचे छड़ से टकराकर उसमें धँस जाती है। g = 9.81 m/s² लें। ऊर्ध्वाधर से वह अधिकतम कोण φ ज्ञात कीजिए जिस तक छड़ झूलती है।

M = 8.5 kgL = 1.9 mm = 40 gv = 540 m/sd = 1.71 mg = 9.81 m/s²

φ = °

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

एक पट्टा 80 mm की चालक घिरनी पर 2880 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1500 N और ढीली ओर 750 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 750 N

P = kW

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 30 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 15 दाँत हैं। रिंग गियर स्थिर रखा गया है और सन को 1500 rpm पर चलाया जाता है। प्लैनेट कैरियर की चाल n_c ज्ञात कीजिए।

N_s = 30N_p = 15n_s = 1500 rpm

n_c = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 0.4 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 0.4 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 30 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 0.3 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमान की अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 0.3 kgk = 30 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 200 kg द्रव्यमान 200 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 5060 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 200 kgk = 200 kN/mc = 5060 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 30 kN/m और k₂ = 100 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: a = 0.643 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v = 200/3.6 = 55.56 m/s

त्वरण

a = v²/(2s) = 55.56²/(2·2400) = 0.643 m/s²

उत्तर

a = 0.643 m/s²

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 589.3 m

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 2.5·10 = 25 m/s

हर चरण की दूरी

s₁ = ½·2.5·10² = 125 m

s₂ = 25·15 = 375 m

s₃ = 25²/(2·3.5) = 89.29 m

कुल दूरी

s = 125 + 375 + 89.29 = 589.3 m

उत्तर

s = 589.3 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.04974

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·31) = 0.4879 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4879/9.81 = 0.04974

उत्तर

μ = 0.04974

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 0.6131 m/s²

डोरी के साथ बल

m₂·g = 29.43 N

m₁·g·sin θ = 24.52 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

निकाय का त्वरण

a = (29.43 − 24.52 − 0)/8 = 0.6131 m/s²

उत्तर

a = 0.6131 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 45.98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 40·cos 55° = 22.94 m/s

t = x/v_x = 46/22.94 = 2.005 s

उस समय ऊँचाई

y = 32.77·2.005 − ½·9.81·2.005² = 45.98 m

उत्तर

y = 45.98 m

दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 50.04 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 13 m/s, v_y = 22.52 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

14 = 22.52·t − 4.905·t²

t = (22.52 + √(22.52² − 2·9.81·14))/9.81 = 3.849 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 13·3.849 = 50.04 m

उत्तर

x = 50.04 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 25.45 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·110) = 25.45 m/s

उत्तर

v_max = 25.45 m/s (91.6 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: N_top = 94.18 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

ऊर्जा संरक्षण से चाल

v² = 2·9.81·(27.75 − 2·7.5) = 250.2 m²/s²

बल

केंद्र की ओर धनात्मक है।

N = m·v²/R − m·g = 4·250.2/7.5 − 39.24 = 94.18 N

उत्तर

N_top = 94.18 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: P = 4.739 kW

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। शक्ति बल गुणा चाल है: P = F·v।

चालक बल

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 2° = 273.9 N

F = 273.9 + 200 = 473.9 N

शक्ति

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 473.9·10 = 4739 W = 4.739 kW

उत्तर

P = 4.739 kW

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 3.525 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 49.05·1.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.3·39.24·1.5 = 17.66 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 55.92 → v = √(2·55.92/9) = 3.525 m/s

उत्तर

v = 3.525 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 13.85 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (4.5 − 2)/(4.5 + 2)·10 = 3.846 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 2)·10 = 13.85 m/s

उत्तर

v′₂ = 13.85 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 3720 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.6·(6 + 25) = 18.6 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 18.6/0.005 = 3720 N

उत्तर

F_avg = 3720 N

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: T = 92.68 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

बलाघूर्ण

T = P/ω = 16500/178 = 92.68 N·m

उत्तर

T = 92.68 N·m

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: φ = 79.94 °

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

टक्कर के बाद जड़त्व आघूर्ण

I = M·L²/3 + m·d² = 8.5·1.9²/3 + 0.04·1.71² = 10.35 kg·m²

धुरी के परितः कोणीय संवेग

धुरी बल धुरी से होकर जाता है, इसलिए टक्कर के दौरान वहाँ उसका कोई आघूर्ण नहीं है।

m·v·d = I·ω → ω = 0.04·540·1.71/10.35 = 3.57 rad/s

झूलने के दौरान ऊर्जा

½·I·ω² = ½·10.35·3.57² = 65.94 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 79.89·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 65.94/79.89 = 0.1746 → φ = 79.94°

उत्तर

φ = 79.94°

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 9.048 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे की चाल

v = 12.06 m/s

शक्ति

P = (1500 − 750)·12.06 = 9048 W = 9.048 kW

उत्तर

P = 9.048 kW

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_c = 500 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·15 = 60

रिंग स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_r = 0 रखें और कैरियर की चाल के लिए हल करें।

(1500 − n_c)/(0 − n_c) = −60/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1500·30/90 = 500 rpm

उत्तर

n_c = 500 rpm

कैरियर सन की ही दिशा में घूमता है।

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 1.269 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(0.4/9.81) = 1.269 s

उत्तर

T = 1.269 s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 0.981 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 0.3·9.81/30 = 0.0981 m = A

अधिकतम चाल

चाल संतुलन पर सबसे अधिक होती है।

ω = √(30/0.3) = 10 rad/s

v_max = A·ω = 0.0981·10 = 0.981 m/s

उत्तर

v_max = 0.981 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.4

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·200) = 12649 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 5060/12649 = 0.4

उत्तर

ζ = 0.4

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 18.15 Hz

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 30 + 100 = 130 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(130000/10) = 114 rad/s

f_n = 114/(2π) = 18.15 Hz

उत्तर

f_n = 18.15 Hz

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