गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 25 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 4.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार को पकड़ने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v_car = 25 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 15 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 14 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 14 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 20 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 35° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 6 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 3.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 28 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 65 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 34 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 125 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.6 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 125 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.4 m लंबी डोरी से बँधी 1.7 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 3 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1.7 kgr = 1.4 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

10 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 19 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.25d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 5 kg गाड़ी 9 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 3 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर लगाया गया अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 9 mR = 3 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

12 m/s से चल रहा 0.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 0.5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.6 kg की एक गेंद 15 m/s से दीवार से टकराती है और 8 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 20 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.6 kgv_in = 15 m/sv_out = 8 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक मोटर 21 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाले एक गतिपालक चक्र को विराम से 16 s में 2600 rpm तक लाती है। हानियों को नगण्य मानते हुए उसके द्वारा दी गई औसत शक्ति P_avg kW में ज्ञात कीजिए।

I = 21 kg·m²n = 2600 rpmt = 16 s

P_avg = kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

3.5 kg द्रव्यमान का एक ठोस गोला 7.5 m/s से बिना फिसले लुढ़कता है। इसकी कुल गतिज ऊर्जा का कितना प्रतिशत p घूर्णी है?

m = 3.5 kgv = 7.5 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

एक पट्टा 100 mm की चालक घिरनी पर 1440 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1000 N और ढीली ओर 300 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 300 N

P = kW

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1500 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (40 दाँत) गियर B (60 दाँत) को चलाता है। गियर C (30 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (60 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1500 rpmA = 40B = 60C = 30D = 60

n_out = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 450 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 3 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 4 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 2 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 3 kgk = 450 N/mA = 4 cmx = 2 cm

v = m/s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 190 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 2.6 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमान की अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.6 kgk = 190 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

40 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 12 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.3 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 12 kgk = 40 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 20 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 100 kN/m और निचला k₂ = 100 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 11.11 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·25/4.5 = 11.11 s

उत्तर

t = 11.11 s

उस क्षण पुलिस कार 2v = 50 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 3.684 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−15 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 15 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (14 + √(14² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.684 s

उत्तर

t = 3.684 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 136.6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 112.5 + 24.11 = 136.6 N

उत्तर

F = 136.6 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.065 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 14.71)/9.5 = 2.065 m/s²

उत्तर

a = 2.065 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 27.21 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/28² = 0.8133

कोण

2θ = 54.42° → θ = 27.21°

उत्तर

θ = 27.21°

दूसरा हल 90° − θ = 62.79° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 4.674 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 40 + 14.37·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.37 + √(206.5 + 784.8))/9.81 = 4.674 s

उत्तर

t = 4.674 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 27.12 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·125) = 27.12 m/s

उत्तर

v_max = 27.12 m/s (97.65 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 27.61 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·3²/1.4 = 16.68 + 10.93 = 27.61 N

उत्तर

T = 27.61 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 403.5 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 98.1·0.866 = 84.96 N

F = μN = 0.25·84.96 = 21.24 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 21.24·19 = 403.5 J

उत्तर

W_f = 403.5 J

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: N = 49.05 N

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(9 − 6) = 58.86 m²/s²

शीर्ष पर बल

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·58.86/3 − 49.05 = 49.05 N

उत्तर

N = 49.05 N

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = −4 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (0.5 − 1)/(0.5 + 1)·12 = −4 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 1)·12 = 8 m/s

उत्तर

v′₁ = −4 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहला ग्लाइडर पीछे लौटता है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 690 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.6·(8 + 15) = 13.8 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 13.8/0.02 = 690 N

उत्तर

F_avg = 690 N

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: P_avg = 48.65 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·2600/60 = 272.3 rad/s

ऊर्जा

E = ½·I·ω² = ½·21·272.3² = 778383 J

औसत शक्ति

P_avg = E/t = 778383/16 = 48649 W = 48.65 kW

उत्तर

P_avg = 48.65 kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: p = 28.57 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

स्थानांतरीय और घूर्णी भाग

E_trans = ½·m·v² = ½·3.5·7.5² = 98.44 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·98.44 = 39.38 J

घूर्णी हिस्सा

p = 39.38/137.8·100% = c/(1 + c)·100% = 28.57%

उत्तर

p = 28.57 %

हिस्सा केवल आकृति पर निर्भर करता है, द्रव्यमान या चाल पर नहीं।

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 5.278 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे की चाल

v = 7.54 m/s

शक्ति

P = (1000 − 300)·7.54 = 5278 W = 5.278 kW

उत्तर

P = 5.278 kW

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 500 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 1500·40/60 = 1000 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1000·30/60 = 500 rpm

उत्तर

n_out = 500 rpm

कुल अनुपात = 3 : 1

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 0.4243 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(450/3) = 12.25 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 12.25·√(0.04² − 0.02²) = 0.4243 m/s

उत्तर

v = 0.4243 m/s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 1.148 m/s

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 2.6·9.81/190 = 0.1342 m = A

अधिकतम चाल

चाल संतुलन पर सबसे अधिक होती है।

ω = √(190/2.6) = 8.549 rad/s

v_max = A·ω = 0.1342·8.549 = 1.148 m/s

उत्तर

v_max = 1.148 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 8.766 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(40000/12) = 57.74 rad/s

f_n = 57.74/(2π) = 9.189 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9.189·√(1 − 0.3²) = 8.766 Hz

उत्तर

f_d = 8.766 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 50 kN/m

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/100 + 1/100 → k_eq = 100·100/(100 + 100) = 50 kN/m

उत्तर

k_eq = 50 kN/m

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