गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

50 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 1.2 s है, जिसके बाद कार 4.5 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 50 km/ht_r = 1.2 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 1.7 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।

t_total = 1.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

20 kg का एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी घर्षणरहित ढलान पर नीचे फिसलता है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 3.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 6 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3.5 kgm₂ = 6 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 34 m/s से क्षैतिज से 20° ऊपर 61 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 34 m/sθ = 20°x = 61 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 5 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 31 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 125 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.7 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 125 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.1 m लंबी डोरी से बँधी 2 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 8.5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgr = 1.1 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। ढलान के साथ 18 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 45°μ = 0.15d = 18 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

5 m/s से चल रहा 4.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 4.5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.45 kg की एक गेंद 29 m/s से दीवार से टकराती है और 16 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 25 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल F_avg ज्ञात कीजिए।

m = 0.45 kgv_in = 29 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक 1.5 kg गुटका एक घिरनी पर लिपटी हल्की डोरी से लटका है; घिरनी 13 kg द्रव्यमान और 0.45 m त्रिज्या की एकसमान ठोस डिस्क है जो एक घर्षणरहित क्षैतिज धुरे पर घूमती है। गुटके को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। 4 m गिरने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1.5 kgM = 13 kgR = 0.45 mg = 9.81 m/s²h = 4 m

v = m/s

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक एकसमान ठोस डिस्क (द्रव्यमान 22 kg, त्रिज्या 0.4 m) एक ऊर्ध्वाधर घर्षणरहित शाफ़्ट के परितः 1100 rpm पर मुक्त रूप से घूमती है। 2 kg द्रव्यमान और समान त्रिज्या का एक पतला वलय शाफ़्ट पर केंद्रित करके विराम से उस पर गिराया जाता है, और दोनों जल्दी ही साथ घूमने लगते हैं। उनकी साझा चाल n₂ rpm में ज्ञात कीजिए।

M_disc = 22 kgM_ring = 2 kgR = 0.4 mn₁ = 1100 rpm

n₂ = rpm

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

एक पट्टा 150 mm की चालक घिरनी पर 2880 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 800 N और ढीली ओर 160 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 800 NT₂ = 160 N

P = kW

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 16 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 24 दाँत हैं। प्लैनेट कैरियर स्थिर रखा गया है और सन को 1200 rpm पर चलाया जाता है। रिंग गियर की चाल n_r (परिमाण) ज्ञात कीजिए।

N_s = 16N_p = 24n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 0.2 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 0.2 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 490 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.6 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 12 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.6 kgk = 490 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 10 kg द्रव्यमान 4 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 20 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk = 4 kN/mc = 20 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 50 kN/m और k₂ = 25 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 38.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.2 = 16.67 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·4.5) = 21.43 m

कुल

d = 16.67 + 21.43 = 38.1 m

उत्तर

d = 38.1 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 13.53 m

समय के दो भाग

½·9.81·t₁² = 343·(1.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 583.1 = 0

गिरने का समय

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·583.1))/(2·4.905) = 1.661 s

गहराई

d = ½·9.81·1.661² = 13.53 m

उत्तर

d = 13.53 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.146 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

उत्तर

a = 4.146 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 5.834 m/s²

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 3.434)/9.5 = 5.834 m/s²

उत्तर

a = 5.834 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 4.322 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 34·cos 20° = 31.95 m/s

t = x/v_x = 61/31.95 = 1.909 s

उस समय ऊँचाई

y = 11.63·1.909 − ½·9.81·1.909² = 4.322 m

उत्तर

y = 4.322 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 4.3 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 40° = 23.75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 40° = 19.93 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 5 + 19.93·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (19.93 + √(397.1 + 98.1))/9.81 = 4.3 s

उत्तर

t = 4.3 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 29.3 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·125) = 29.3 m/s

उत्तर

v_max = 29.3 m/s (105.5 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 151 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·8.5²/1.1 = 19.62 + 131.4 = 151 N

उत्तर

T = 151 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 14.57 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·18·(0.7071 − 0.15·0.7071)) = 14.57 m/s

उत्तर

v = 14.57 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 3.962 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.3·4) = 19.62 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.8) = 3.962 m/s

उत्तर

v = 3.962 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = 2.5 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (4.5 − 1.5)/(4.5 + 1.5)·5 = 2.5 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 1.5)·5 = 7.5 m/s

उत्तर

v′₁ = 2.5 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: F_avg = 810 N

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.45·(16 + 29) = 20.25 N·s

औसत बल

F_avg = J/Δt = 20.25/0.025 = 810 N

उत्तर

F_avg = 810 N

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: v = 3.836 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

गुटका और घिरनी

गुटका: m·g − T = m·a

घिरनी: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

त्वरण

a = m·g/(m + M/2) = 1.5·9.81/(1.5 + 6.5) = 1.839 m/s²

गिरने के बाद चाल

v = √(2·a·h) = √(2·1.839·4) = 3.836 m/s

उत्तर

v = 3.836 m/s

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: n₂ = 930.8 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

जड़त्व आघूर्ण

I₁ = ½·22·0.4² = 1.76 kg·m²

I₂ = 2·0.4² = 0.32 kg·m²

कोणीय संवेग संरक्षण

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 1100·1.76/2.08 = 930.8 rpm

उत्तर

n₂ = 930.8 rpm

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 14.48 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे की चाल

v = 22.62 m/s

शक्ति

P = (800 − 160)·22.62 = 14476 W = 14.48 kW

उत्तर

P = 14.48 kW

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_r = 300 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·24 = 64

कैरियर स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_c = 0 होने पर सन प्लैनेटों के माध्यम से रिंग को चलाता है, जो आइडलर की तरह कार्य करते हैं।

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·16/64 = −300 rpm

|n_r| = 300 rpm

उत्तर

n_r = 300 rpm

रिंग सन की विपरीत दिशा में घूमता है।

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 0.8971 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(0.2/9.81) = 0.8971 s

उत्तर

T = 0.8971 s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 1.647 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(490/2.6) = 13.73 rad/s

अधिकतम चाल

v_max = A·ω = 0.12·13.73 = 1.647 m/s

उत्तर

v_max = 1.647 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.05

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·10) = 400 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 20/400 = 0.05

उत्तर

ζ = 0.05

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 75 kN/m

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 50 + 25 = 75 kN/m

उत्तर

k_eq = 75 kN/m

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