गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

60 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 5.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 60 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 10 s तक 1 m/s² से त्वरित होती है, फिर 20 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 2 m/s² से ब्रेक लगाती है। दोनों स्टॉपों के बीच कुल दूरी s ज्ञात कीजिए।

a₁ = 1 m/s²t₁ = 10 st₂ = 20 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

9 kg का एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 9 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 1.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 1.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 55° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 100 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 55°R = 100 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 20 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 23 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 105 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.6 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 105 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.8 m लंबी डोरी से बँधी एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर वह न्यूनतम चाल v_min क्या है जिस पर डोरी ठीक तनी रहती है?

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 80 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.8 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 80 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.1) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 2000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

10 m/s से चल रही एक 1400 kg कार खड़ी 1200 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1400 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 1800 kg कार एक खड़ी 1400 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 9.5 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.7 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1800 kgm₂ = 1400 kgd = 9.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक मोटर 3.5 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाले एक गतिपालक चक्र को विराम से 22 s में 2900 rpm तक लाती है। हानियों को नगण्य मानते हुए उसके द्वारा दी गई औसत शक्ति P_avg kW में ज्ञात कीजिए।

I = 3.5 kg·m²n = 2900 rpmt = 22 s

P_avg = kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

13.5 kg द्रव्यमान का एक पतला वलय 1 m/s से बिना फिसले लुढ़कता है। इसकी कुल गतिज ऊर्जा E_k ज्ञात कीजिए।

m = 13.5 kgv = 1 m/sI = m·r²

E_k = J

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 157.5 mm दूर हैं। इन्हें 5 mm मॉड्यूल और 2.5 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। पिनियन में कितने दाँत N₁ होने चाहिए?

a = 157.5 mmm = 5 mmi = 2.5

N₁ =

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (30 दाँत) 960 rpm पर घूमता है और गियर B (80 दाँत) को चलाता है। गियर C (32 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 240 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 960 rpmA = 30B = 80C = 32n_out = 240 rpm

N_D =

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 310 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.9 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 19 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 13 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1.9 kgk = 310 N/mA = 19 cmx = 13 cm

v = m/s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

एक पिंड 3.5 s आवर्तकाल और 5 cm आयाम के साथ सरल आवर्त गति में दोलन करता है। अपने अधिकतम 5 cm विस्थापन से 1.25 cm विस्थापन तक जाने में इसे न्यूनतम कितना समय t लगता है?

T = 3.5 sA = 5 cmx = 1.25 cm

t = s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 10 mm के विस्थापन शिखर के 3 चक्र बाद 6.9 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 10 mmx₃ = 6.9 mmn = 3

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 5 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 25 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 80 kN/m और k₂ = 15 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 3.03 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16.67/5.5 = 3.03 s

उत्तर

t = 3.03 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 275 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 1·10 = 10 m/s

हर चरण की दूरी

s₁ = ½·1·10² = 50 m

s₂ = 10·20 = 200 m

s₃ = 10²/(2·2) = 25 m

कुल दूरी

s = 50 + 200 + 25 = 275 m

उत्तर

s = 275 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.433 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

उत्तर

a = 2.433 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 8.093 N

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 1.472)/3 = 4.415 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·4.415 + 1.472 = 8.093 N

उत्तर

T = 8.093 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 32.31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·100/sin 110°) = 32.31 m/s

उत्तर

v₀ = 32.31 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 69.45 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 45° = 16.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 45° = 16.26 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 20 + 16.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.26 + √(264.5 + 392.4))/9.81 = 4.27 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 16.26·4.27 = 69.45 m

उत्तर

x = 69.45 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 24.86 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·105) = 24.86 m/s

उत्तर

v_max = 24.86 m/s (89.5 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_min = 2.801 m/s

शीर्ष पर तनाव शून्य

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

उत्तर

v_min = 2.801 m/s

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 31.46 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 80/3.6 = 22.22 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 22.22²/(2·0.8·9.81) = 31.46 m

उत्तर

d = 31.46 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 13.1 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 9.81·(2 − 0.1·2.5) = 17.17 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 17.17 → x = √(2·17.17/2000) = 0.131 m = 13.1 cm

उत्तर

x = 13.1 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 32308 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·10/2600 = 5.385 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1400·10² = 70000 J

K_after = ½·2600·5.385² = 37692 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 70000 − 37692 = 32308 J

उत्तर

ΔK = 32308 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 20.31 m/s

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·9.5) = 11.42 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·11.42/1800 = 20.31 m/s

उत्तर

v₁ = 20.31 m/s

(73.1 km/h)

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: P_avg = 7.336 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s

ऊर्जा

E = ½·I·ω² = ½·3.5·303.7² = 161395 J

औसत शक्ति

P_avg = E/t = 161395/22 = 7336 W = 7.336 kW

उत्तर

P_avg = 7.336 kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: E_k = 13.5 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

स्थानांतरीय और घूर्णी भाग

E_trans = ½·m·v² = ½·13.5·1² = 6.75 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·6.75 = 6.75 J

कुल

E_k = 6.75 + 6.75 = 13.5 J

उत्तर

E_k = 13.5 J

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₁ = 18

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·157.5/5 = 63

अनुपात से बाँटें

N₁ = 63/(1 + 2.5) = 18

उत्तर

N₁ = 18

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 48

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 960·30/80 = 360 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 32·360/240 = 48

उत्तर

N_D = 48

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 1.77 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(310/1.9) = 12.77 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 12.77·√(0.19² − 0.13²) = 1.77 m/s

उत्तर

v = 1.77 m/s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: t = 0.7342 s

कोणीय आवृत्ति

ω = 2π/T = 2π/3.5 = 1.795 rad/s

समय के लिए हल करें

0.25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.25) = 1.318 rad

t = 1.318/1.795 = 0.7342 s

उत्तर

t = 0.7342 s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.01968

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/3)·ln(10/6.9) = 0.1237

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1237/√(39.48 + 0.0153) = 0.01968

उत्तर

ζ = 0.01968

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 10.01 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 80 + 15 = 95 kN/m

k_eq = 95·25/(95 + 25) = 19.79 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(19792/5) = 62.92 rad/s

f_n = 62.92/(2π) = 10.01 Hz

उत्तर

f_n = 10.01 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics