गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

60 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.7 s है, जिसके बाद कार 6 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 60 km/ht_r = 0.7 sa = −6 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 6 s तक 2.5 m/s² से त्वरित होती है, फिर 17 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 5 m/s² से ब्रेक लगाती है। दोनों स्टॉपों के बीच कुल दूरी s ज्ञात कीजिए।

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 6 st₂ = 17 sa₃ = −5 m/s²

s = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

7.5 kg और 4.5 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमानों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 7.5 kgm₂ = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 65 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 12 kg गुटके को खींचता है; 6 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6 kgm₂ = 12 kgF = 65 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 28 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 70 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sR = 70 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 25 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 45 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 45 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.3 m लंबी डोरी से बँधी 1.2 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 6.5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1.2 kgr = 1.3 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 0.2 kg गेंद 1.5 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 45° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.2 kgL = 1.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 0.5 kg गाड़ी 6 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 2 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर लगाया गया अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgh = 6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

35 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 20 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 16 kg टुकड़ा 62 m/s से आगे चलता रहता है। 4 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 20 kgu = 35 m/sm₁ = 16 kgv′₁ = 62 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 8 g गोली 1.4 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 3 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 35° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 8 gM = 3 kgL = 1.4 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

31 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाला एक गतिपालक चक्र 600 rpm पर घूमता है। एक ब्रेक 165 N·m का स्थिर घर्षण बलाघूर्ण लगाता है। रुकने से पहले गतिपालक चक्र कितने चक्कर N लगाता है?

I = 31 kg·m²n = 600 rpmT_b = 165 N·m

N = rev

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक ठोस बेलन क्षैतिज से 10° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। यह विराम से शुरू होता है। ढलान पर 8.5 m नीचे लुढ़कने में इसे कितना समय t लगता है?

θ = 10°I = ½·m·r²g = 9.81 m/s²s = 8.5 m

t = s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1440 rpm पर चल रही एक 5.5 kW मोटर 30 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 40 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 95% है। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T₂ ज्ञात कीजिए।

P = 5.5 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 40η = 95%

T₂ = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 2900 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (24 दाँत) गियर B (50 दाँत) को चलाता है। गियर C (32 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (48 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 2900 rpmA = 24B = 50C = 32D = 48

n_out = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 320 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 3.3 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 5 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 4 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 3.3 kgk = 320 N/mA = 5 cmx = 4 cm

v = m/s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

एक पिंड 1.4 s आवर्तकाल और 12 cm आयाम के साथ सरल आवर्त गति में दोलन करता है। अपने अधिकतम 12 cm विस्थापन से 9.6 cm विस्थापन तक जाने में इसे न्यूनतम कितना समय t लगता है?

T = 1.4 sA = 12 cmx = 9.6 cm

t = s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

1 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 10 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.45 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk = 1 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 60 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 50 kN/m और k₂ = 100 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 34.81 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 16.67·0.7 = 11.67 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·6) = 23.15 m

कुल

d = 11.67 + 23.15 = 34.81 m

उत्तर

d = 34.81 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 322.5 m

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 2.5·6 = 15 m/s

हर चरण की दूरी

s₁ = ½·2.5·6² = 45 m

s₂ = 15·17 = 255 m

s₃ = 15²/(2·5) = 22.5 m

कुल दूरी

s = 45 + 255 + 22.5 = 322.5 m

उत्तर

s = 322.5 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 2.453 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (7.5 − 4.5)·9.81/(7.5 + 4.5) = 2.453 m/s²

उत्तर

a = 2.453 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 21.67 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 52.97)/18 = 0.6681 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 6·(0.6681 + 2.943) = 21.67 N

उत्तर

T = 21.67 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 30.58 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·70/28² = 0.8759

कोण

2θ = 61.15° → θ = 30.58°

उत्तर

θ = 30.58°

दूसरा हल 90° − θ = 59.42° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 5.115 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 35° = 20.48 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 35° = 14.34 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 55 + 14.34·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14.34 + √(205.6 + 1079))/9.81 = 5.115 s

उत्तर

t = 5.115 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 11.51 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·45) = 11.51 m/s

उत्तर

v_max = 11.51 m/s (41.43 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 50.77 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·6.5²/1.3 = 11.77 + 39 = 50.77 N

उत्तर

T = 50.77 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 3.111 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 45°) = 8.62 m²/s²

तल पर बल

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

T = mg + mv²/L = 1.962 + 0.2·8.62/1.5 = 3.111 N

उत्तर

T = 3.111 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 3.111 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: N = 4.905 N

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 4) = 39.24 m²/s²

शीर्ष पर बल

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·39.24/2 − 4.905 = 4.905 N

उत्तर

N = 4.905 N

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = −73 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 20·35 = 700 kg·m/s

बाद का संवेग

700 = 16·62 + 4·v′₂

v′₂ = (700 − 992)/4 = −73 m/s

उत्तर

v′₂ = −73 m/s

ऋण चिह्न का अर्थ है कि दूसरा टुकड़ा पीछे की ओर उड़ता है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 838 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1.4·(1 − cos 35°) = 0.2532 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.2532) = 2.229 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 3.008·2.229/0.008 = 838 m/s

उत्तर

v = 838 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: N = 59.02 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

ब्रेक का कार्य गतिज ऊर्जा के बराबर है

½·I·ω² = ½·31·62.83² = 61192 J

θ = 61192/165 = 370.9 rad

चक्कर

N = θ/2π = 59.02 rev

उत्तर

N = 59.02 rev

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: t = 3.869 s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गति के समीकरण

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0.5·m·r²·(a/r) → f = 0.5·m·a

त्वरण

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 10°/1.5 = 1.136 m/s²

समय

s = ½·a·t² → t = √(2·8.5/1.136) = 3.869 s

उत्तर

t = 3.869 s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₂ = 46.2 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/150.8 = 36.47 N·m

निर्गत बलाघूर्ण

T₂ = 36.47·40/30·0.95 = 46.2 N·m

उत्तर

T₂ = 46.2 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 928 rpm

पहला चरण

n_B = 2900·24/50 = 1392 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1392·32/48 = 928 rpm

उत्तर

n_out = 928 rpm

कुल अनुपात = 3.125 : 1

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 0.2954 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(320/3.3) = 9.847 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 9.847·√(0.05² − 0.04²) = 0.2954 m/s

उत्तर

v = 0.2954 m/s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: t = 0.1434 s

कोणीय आवृत्ति

ω = 2π/T = 2π/1.4 = 4.488 rad/s

समय के लिए हल करें

0.8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.8) = 0.6435 rad

t = 0.6435/4.488 = 0.1434 s

उत्तर

t = 0.1434 s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 1.421 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(1000/10) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1.592 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.45²) = 1.421 Hz

उत्तर

f_d = 1.421 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 6.59 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 50 + 100 = 150 kN/m

k_eq = 150·60/(150 + 60) = 42.86 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(42857/25) = 41.4 rad/s

f_n = 41.4/(2π) = 6.59 Hz

उत्तर

f_n = 6.59 Hz

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