गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

108 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 7 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 108 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 40 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 15 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 15 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 11.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 45 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11.5 m/sd = 45 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 2.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद क्षैतिज से 25° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है और 30 m दूर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण चाल v₀ ज्ञात कीजिए।

θ = 25°R = 30 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 15 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 95 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 95 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

210 m त्रिज्या का एक मोड़ 15° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ऊपर और बाहर फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 210 mθ = 15°μ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

1 kg का एक गुटका क्षैतिज से 35° पर झुकी ढलान पर 9 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgθ = 35°μ = 0.4d = 9 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 5 kg गाड़ी 3 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 1 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर गाड़ी की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 3 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

9 m/s से चल रहा 1 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 3.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.5 kg की एक गेंद 16 m/s से दीवार से टकराती है और 6 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 50 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgv_in = 16 m/sv_out = 6 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक मोटर 30 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाले एक गतिपालक चक्र को विराम से 18 s में 1700 rpm तक लाती है। हानियों को नगण्य मानते हुए उसके द्वारा दी गई औसत शक्ति P_avg kW में ज्ञात कीजिए।

I = 30 kg·m²n = 1700 rpmt = 18 s

P_avg = kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक एकसमान ठोस डिस्क (द्रव्यमान 5 kg, त्रिज्या 0.25 m) एक ऊर्ध्वाधर घर्षणरहित शाफ़्ट के परितः 600 rpm पर मुक्त रूप से घूमती है। 4 kg द्रव्यमान और समान त्रिज्या का एक पतला वलय शाफ़्ट पर केंद्रित करके विराम से उस पर गिराया जाता है, और दोनों जल्दी ही साथ घूमने लगते हैं। उनकी साझा चाल n₂ rpm में ज्ञात कीजिए।

M_disc = 5 kgM_ring = 4 kgR = 0.25 mn₁ = 600 rpm

n₂ = rpm

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1 स्टार्ट वाला एक वर्म 1440 rpm पर घूमता है और 72 दाँतों वाले वर्म व्हील को चलाता है। व्हील की चाल n_w ज्ञात कीजिए।

z = 1N_w = 72n = 1440 rpm

n_w = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (48 दाँत) 1500 rpm पर घूमता है और गियर B (60 दाँत) को चलाता है। गियर C (30 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 900 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 1500 rpmA = 48B = 60C = 30n_out = 900 rpm

N_D =

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 320 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 2.2 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 3 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 0.45 s पर संतुलन से उसका विस्थापन x (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।

m = 2.2 kgk = 320 N/mA = 3 cmt = 0.45 s

x = cm

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

250 m/s से चलती एक 10 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 4 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 200 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 10 gv = 250 m/sM = 4 kgk = 200 N/m

A = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 200 kg द्रव्यमान 200 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 3160 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 200 kgk = 200 kN/mc = 3160 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 30 kN/m और k₂ = 100 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.286 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/7 = 4.286 s

उत्तर

t = 4.286 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.768 s

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−40 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 40 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (15 + √(15² + 2·9.81·40))/9.81 = 4.768 s

उत्तर

t = 4.768 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.1498

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 11.5²/(2·45) = 1.469 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.469/9.81 = 0.1498

उत्तर

μ = 0.1498

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.308 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 14.71)/7.5 = 1.308 m/s²

उत्तर

a = 1.308 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: v₀ = 19.6 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र को v₀ के लिए हल करें

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·30/sin 50°) = 19.6 m/s

उत्तर

v₀ = 19.6 m/s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 4.135 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 45° = 10.61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 45° = 10.61 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 40 + 10.61·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.61 + √(112.5 + 784.8))/9.81 = 4.135 s

उत्तर

t = 4.135 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 16.72 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·95) = 16.72 m/s

उत्तर

v_max = 16.72 m/s (60.19 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 39.26 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

बल संतुलन

घर्षण ढलान के नीचे की ओर है।

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(210·9.81·0.6452/0.8624) = 39.26 m/s

उत्तर

v_max = 39.26 m/s

(141.3 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 28.93 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 9.81·0.8192 = 8.036 N

F = μN = 0.4·8.036 = 3.214 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 3.214·9 = 28.93 J

उत्तर

W_f = 28.93 J

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.429 m/s

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(3 − 2) = 19.62 m²/s²

v = 4.429 m/s

उत्तर

v = 4.429 m/s

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 4 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1 − 3.5)/(1 + 3.5)·9 = −5 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 3.5)·9 = 4 m/s

उत्तर

v′₂ = 4 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 11 N·s

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.5·(6 + 16) = 11 N·s

उत्तर

J = 11 N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: P_avg = 26.41 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·1700/60 = 178 rad/s

ऊर्जा

E = ½·I·ω² = ½·30·178² = 475386 J

औसत शक्ति

P_avg = E/t = 475386/18 = 26410 W = 26.41 kW

उत्तर

P_avg = 26.41 kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: n₂ = 230.8 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

जड़त्व आघूर्ण

I₁ = ½·5·0.25² = 0.1563 kg·m²

I₂ = 4·0.25² = 0.25 kg·m²

कोणीय संवेग संरक्षण

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 600·0.1563/0.4063 = 230.8 rpm

उत्तर

n₂ = 230.8 rpm

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_w = 20 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1440·1/72 = 20 rpm

उत्तर

n_w = 20 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 40

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 1500·48/60 = 1200 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 30·1200/900 = 40

उत्तर

N_D = 40

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: x = 1.966 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(320/2.2) = 12.06 rad/s

ω·t = 12.06·0.45 = 5.427 rad

विस्थापन

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(5.427) = 1.966 cm

उत्तर

x = 1.966 cm

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 8.828 cm

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.01·250/4.01 = 0.6234 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(200/4.01) = 7.062 rad/s

आयाम

A = V/ω = 0.6234/7.062 = 0.08828 m = 8.828 cm

उत्तर

A = 8.828 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.2498

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(200000·200) = 12649 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 3160/12649 = 0.2498

उत्तर

ζ = 0.2498

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 130 kN/m

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 30 + 100 = 130 kN/m

उत्तर

k_eq = 130 kN/m

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