सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
72 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।
ज़मीन से 25 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 11 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई hmax ज्ञात कीजिए।
5 kg का एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।
क्षैतिज मेज़ पर रखा 3.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 2 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।
समतल ज़मीन से एक गेंद को 40 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर 64 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?
एक गेंद 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।
एक कार 125 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.4 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।
0.8 m लंबी डोरी से बँधी 0.4 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 9 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
एक गुटका क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.35 है। ढलान के साथ 2 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
20° ढलान के तल पर 3000 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग को एक 1 kg गुटके के विरुद्ध 5 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। गुटके और ढलान के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। रुकने से पहले गुटका छोड़ने के बिंदु से ढलान पर कितनी दूर d ऊपर जाता है? (स्प्रिंग के धकेलने वाली छोटी दूरी को नगण्य मानें, अर्थात घर्षण और गुरुत्व को पूरी दूरी d पर लें।)
17 m/s से चल रही एक 1700 kg कार खड़ी 1400 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?
एक 1800 kg कार एक खड़ी 1000 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 18 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.5 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v1 ज्ञात कीजिए।
11.5 kg द्रव्यमान और 2.9 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज रखी गई है। इसे विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। छोड़ने के ठीक बाद पिन द्वारा छड़ पर लगाया गया ऊर्ध्वाधर बल R ज्ञात कीजिए।
18 kg द्रव्यमान का एक खोखला गोला 6 m/s से बिना फिसले लुढ़कता है। इसकी कुल गतिज ऊर्जा Ek ज्ञात कीजिए।
1440 rpm पर चल रही एक 7.5 kW मोटर 32 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 40 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T1 ज्ञात कीजिए।
एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1440 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (24 दाँत) गियर B (30 दाँत) को चलाता है। गियर C (15 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (45 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल nout ज्ञात कीजिए।
2.1 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।
k = 240 N/m वाले स्प्रिंग पर 1.8 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 13 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए।
एक 8 kg द्रव्यमान 2 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 50 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
एक 5 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 5 kN/m और निचला k₂ = 15 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता keq kN/m में ज्ञात कीजिए।
उत्तर: t = 4 s
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
उत्तर: hmax = 31.17 m
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
उत्तर: a = 3.257 m/s²
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।
उत्तर: a = 1.694 m/s²
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
उत्तर: y = 45.88 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।
उत्तर: t = 5.667 s
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।
उत्तर: vmax = 22.15 m/s
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
उत्तर: T = 44.42 N
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।
उत्तर: v = 2.034 m/s
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।
उत्तर: d = 0.7213 m
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
उत्तर: ΔK = 110939 J
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।
उत्तर: v1 = 20.67 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
उत्तर: R = 28.2 N
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
छोड़ने के क्षण ω = 0, इसलिए कोई अभिकेंद्र त्वरण नहीं है और केंद्र सीधे नीचे की ओर त्वरित होता है।
R = m·g/4, लंबाई से स्वतंत्र।
उत्तर: Ek = 540 J
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
उत्तर: T1 = 49.74 N·m
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
उत्तर: nout = 384 rpm
गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।
कुल अनुपात = 3.75 : 1
उत्तर: L = 1.096 m
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
उत्तर: vmax = 1.501 m/s
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
उत्तर: ζ = 0.1976
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।
उत्तर: keq = 3.75 kN/m
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k1 + 1/k2।
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