गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान विराम से शुरू होकर रनवे पर 2 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होता है। 1700 m के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

v₀ = 0a = 2 m/s²s = 1700 m

v = m/s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 30 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 14 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई h_max ज्ञात कीजिए।

v₀ = 14 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

6.5 kg और 6 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6.5 kgm₂ = 6 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 140 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 1 kg गुटके को खींचता है; 11 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। गुटकों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 11 kgm₂ = 1 kgF = 140 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 55° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 26 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 35 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 34 m/s से क्षैतिज से 15° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। यह क्षैतिज से नीचे किस कोण α पर ज़मीन से टकराती है?

v₀ = 34 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक सड़क इंजीनियर चाहता है कि कारें घर्षण पर निर्भर हुए बिना 350 m त्रिज्या का मोड़ 40 km/h पर पार करें। g = 9.81 m/s² लें। ढलान कोण θ ज्ञात कीजिए।

r = 350 mv = 40 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.5 m लंबी डोरी से बँधी 0.6 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 3 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.6 kgr = 0.5 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 1000 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.1 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 6 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.1 kgk = 1000 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

40° ढलान के तल पर 5000 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग को एक 0.5 kg गुटके के विरुद्ध 15 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। गुटके और ढलान के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। रुकने से पहले गुटका छोड़ने के बिंदु से ढलान पर कितनी दूर d ऊपर जाता है? (स्प्रिंग के धकेलने वाली छोटी दूरी को नगण्य मानें, अर्थात घर्षण और गुरुत्व को पूरी दूरी d पर लें।)

m = 0.5 kgk = 5000 N/mx = 15 cmθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

12 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 19 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 1 kg टुकड़ा 55 m/s से आगे चलता रहता है। 18 kg टुकड़े का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।

M = 19 kgu = 12 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 55 m/sm₂ = 18 kg

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 17 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1700 kg कार 10 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1200 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1700 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 10 m/s (N)

v′ = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

4 kg द्रव्यमान और 0.5 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज स्थिति में विराम से छोड़ी जाती है। उसके मुक्त सिरे पर 0.5 kg द्रव्यमान की एक छोटी गेंद लगी है। घर्षण को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। ऊर्ध्वाधर स्थिति से गुज़रते समय छड़ के मुक्त सिरे की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 4 kgL = 0.5 mm_ball = 0.5 kgg = 9.81 m/s²

v = m/s

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

3 kg द्रव्यमान और 1.6 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ अपने ऊपरी सिरे पर एक घर्षणरहित धुरी से विराम में लटकी है। 120 m/s से क्षैतिज चलती एक 15 g गोली धुरी से 1.44 m नीचे छड़ से टकराकर उसमें धँस जाती है। टक्कर के ठीक बाद छड़ का कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

M = 3 kgL = 1.6 mm = 15 gv = 120 m/sd = 1.44 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 108 mm दूर हैं। इन्हें 3 mm मॉड्यूल और 2 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। पिनियन में कितने दाँत N₁ होने चाहिए?

a = 108 mmm = 3 mmi = 2

N₁ =

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 300 mm की घिरनी को 80 mm की चालक घिरनी से, जो 1450 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 1000 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.3 है और कसी हुई ओर का तनाव 500 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 300 mmC = 1000 mmμ = 0.3T₁ = 500 N

P = kW

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

किसी अन्य ग्रह पर एक अंतरिक्ष यात्री पाता है कि 0.7 m लंबे सरल लोलक का छोटे दोलनों के लिए आवर्तकाल 2.73 s है। उस ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण g ज्ञात कीजिए।

L = 0.7 mT = 2.73 s

g = m/s²

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

150 m/s से चलती एक 12 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 4 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 100 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 12 gv = 150 m/sM = 4 kgk = 100 N/m

A = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

100 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 25 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.5 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk = 100 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 40 kN/m और निचला k₂ = 25 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: v = 82.46 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

दूरी के बाद चाल

v = √(2·a·s) = √(2·2·1700) = 82.46 m/s

उत्तर

v = 82.46 m/s

(296.9 km/h)

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: h_max = 39.99 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

छत के ऊपर उठान

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9.81) = 9.99 m

ज़मीन से ऊँचाई

h_max = 30 + 9.99 = 39.99 m

उत्तर

h_max = 39.99 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 61.21 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

त्वरण

नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।

a = (6.5 − 6)·9.81/(6.5 + 6) = 0.3924 m/s²

हल्के द्रव्यमान से तनाव

T − m₂·g = m₂·a → T = 6·(9.81 + 0.3924) = 61.21 N

उत्तर

T = 61.21 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 10.69 m/s²

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 11.77)/12 = 10.69 m/s²

उत्तर

a = 10.69 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 23.12 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 55° = 14.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 55° = 21.3 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 21.3²/(2·9.81) = 23.12 m

उत्तर

H = 23.12 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: α = 40.09 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 34·cos 15° = 32.84 m/s

v_y0 = 34·sin 15° = 8.8 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(8.8² + 2·9.81·35) = 27.64 m/s

टकराने का कोण

tan α = v_y/v_x = 27.64/32.84 → α = 40.09°

उत्तर

α = 40.09°

7.वृत्तीय गति

उत्तर: θ = 2.059 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

इकाइयाँ

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

ढलान कोण

tan θ = v²/(r·g) = 11.11²/(350·9.81) = 0.03596

θ = 2.059°

उत्तर

θ = 2.059°

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 16.69 N

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 0.6·9.81 + 0.6·3²/0.5 = 5.886 + 10.8 = 16.69 N

उत्तर

T = 16.69 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 1.835 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·1000·0.06² = 1.8 J

ऊँचाई

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 1.8/0.981 = 1.835 m

उत्तर

h = 1.835 m

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 13.75 m

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·5000·0.15² = 56.25 J

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 56.25/(4.905·(0.6428 + 0.25·0.766)) = 13.75 m

उत्तर

d = 13.75 m

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 9.611 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

पहले का संवेग

p = M·u = 19·12 = 228 kg·m/s

बाद का संवेग

228 = 1·55 + 18·v′₂

v′₂ = (228 − 55)/18 = 9.611 m/s

उत्तर

v′₂ = 9.611 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′ = 10.79 m/s

संवेग घटक

p_x = 1700·17 = 28900 kg·m/s

p_y = 1200·10 = 12000 kg·m/s

मलबे की चाल

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 31292/2900 = 10.79 m/s

उत्तर

v′ = 10.79 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: v = 3.657 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

स्थितिज ऊर्जा की हानि

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 4·9.81·0.25 + 0.5·9.81·0.5 = 12.26 J

पिन के परितः जड़त्व आघूर्ण

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 0.3333 + 0.125 = 0.4583 kg·m²

ऊर्जा संतुलन

½·I_O·ω² = 12.26 → ω = √(2·12.26/0.4583) = 7.315 rad/s

v = ω·L = 7.315·0.5 = 3.657 m/s

उत्तर

v = 3.657 m/s

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 1 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

टक्कर के बाद जड़त्व आघूर्ण

I = M·L²/3 + m·d² = 3·1.6²/3 + 0.015·1.44² = 2.591 kg·m²

धुरी के परितः कोणीय संवेग

धुरी बल धुरी से होकर जाता है, इसलिए टक्कर के दौरान वहाँ उसका कोई आघूर्ण नहीं है।

m·v·d = I·ω → ω = 0.015·120·1.44/2.591 = 1 rad/s

उत्तर

ω = 1 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₁ = 24

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·108/3 = 72

अनुपात से बाँटें

N₁ = 72/(1 + 2) = 24

उत्तर

N₁ = 24

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 1.773 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 2.921 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^0.8763 = 2.402, T₂ = 500/2.402 = 208.2 N

शक्ति

P = (500 − 208.2)·6.074 = 1.773 kW

उत्तर

P = 1.773 kW

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: g = 3.708 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g के लिए हल करें

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.7/2.73² = 3.708 m/s²

उत्तर

g = 3.708 m/s²

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 8.987 cm

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.012·150/4.012 = 0.4487 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(100/4.012) = 4.993 rad/s

आयाम

A = V/ω = 0.4487/4.993 = 0.08987 m = 8.987 cm

उत्तर

A = 8.987 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 8.717 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(100000/25) = 63.25 rad/s

f_n = 63.25/(2π) = 10.07 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.07·√(1 − 0.5²) = 8.717 Hz

उत्तर

f_d = 8.717 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 6.243 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/40 + 1/25 → k_eq = 40·25/(40 + 25) = 15.38 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(15385/10) = 39.22 rad/s

f_n = 39.22/(2π) = 6.243 Hz

उत्तर

f_n = 6.243 Hz

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