गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

100 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 1.3 s है, जिसके बाद कार 4 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 100 km/ht_r = 1.3 sa = −4 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 20 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 20 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 20 mv_0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक 25 kg डिब्बे को ढलान के समांतर बल से क्षैतिज से 35° पर झुके रैंप पर स्थिर चाल से ऊपर धकेला जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। धकेलने वाला बल F ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.न्यूटन के नियमकठिन

25° पर झुके रैंप पर एक 10 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 9 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 10 kgm₂ = 9 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 18 m/s से क्षैतिज से 25° ऊपर 5 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 18 m/sθ = 25°x = 5 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 15° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

1.9 m लंबी डोरी पर एक छोटी गेंद क्षैतिज वृत्त में इस तरह चलती है कि डोरी ऊर्ध्वाधर से स्थिर 15° का कोण बनाती है (शंक्वाकार लोलक)। g = 9.81 m/s² लें। गेंद की चाल v ज्ञात कीजिए।

L = 1.9 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

220 m त्रिज्या का एक मोड़ 18° पर ढलवाँ है, और टायरों तथा सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कोई कार ऊपर और बाहर फिसले बिना मोड़ पार कर सकती है।

r = 220 mθ = 18°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 10 kg गेंद 0.5 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 40° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgL = 0.5 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 20 kg गुटका 30° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 200 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। ढलान पर 6 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgF = 200 Nθ = 30°μ = 0.25d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

15 m/s से चल रही एक 1100 kg कार खड़ी 700 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1100 kgv₁ = 15 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 10 g गोली 0.9 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 1.5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 20° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 10 gM = 1.5 kgL = 0.9 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक मोटर 800 rpm पर 1020 N·m का बलाघूर्ण देती है। इसकी निर्गम शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

T = 1020 N·mn = 800 rpm

P = kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

9.5 kg द्रव्यमान का एक ठोस गोला 9 m/s से बिना फिसले लुढ़कता है। इसकी कुल गतिज ऊर्जा का कितना प्रतिशत p घूर्णी है?

m = 9.5 kgv = 9 m/sI = (2/5)·m·r²

p = %

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1500 rpm पर चल रही एक 15 kW मोटर 15 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 16 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 97% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 15 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 15N₂ = 16η = 97%

T₁ = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1440 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (36 दाँत) गियर B (40 दाँत) को चलाता है। गियर C (25 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (80 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1440 rpmA = 36B = 40C = 25D = 80

n_out = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

2.1 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 2.1 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 350 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 9 cm आयाम से दोलन करता है। द्रव्यमान के संतुलन से 4 cm पर होने पर स्प्रिंग में संचित ऊर्जा U ज्ञात कीजिए।

k = 350 N/mA = 9 cmx = 4 cm

U = J

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 200 kg द्रव्यमान 40 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 1410 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 200 kgk = 40 kN/mc = 1410 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 20 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 10 kN/m और k₂ = 40 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 132.6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 27.78·1.3 = 36.11 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·4) = 96.45 m

कुल

d = 36.11 + 96.45 = 132.6 m

उत्तर

d = 132.6 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 15.09 m

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

20 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 20/20 = 1 s

मिलने की ऊँचाई

y = 20·1 − ½·9.81·1² = 15.09 m

उत्तर

y = 15.09 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: F = 160.8 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

ढलान के अनुदिश बल

स्थिर चाल: बल संतुलित हैं।

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

धकेलने वाला बल

F = 140.7 + 20.09 = 160.8 N

उत्तर

F = 160.8 N

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 76.64 N

डोरी के साथ बल

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 41.46 N

μ·m₁·g·cos θ = 22.23 N

निकाय का त्वरण

a = (88.29 − 41.46 − 22.23)/19 = 1.295 m/s²

लटकते द्रव्यमान से तनाव

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9.81 − 1.295) = 76.64 N

उत्तर

T = 76.64 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 1.871 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 18·cos 25° = 16.31 m/s

t = x/v_x = 5/16.31 = 0.3065 s

उस समय ऊँचाई

y = 7.607·0.3065 − ½·9.81·0.3065² = 1.871 m

उत्तर

y = 1.871 m

दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.309 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 15° = 15.45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 15° = 4.141 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 40 + 4.141·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.141 + √(17.15 + 784.8))/9.81 = 3.309 s

उत्तर

t = 3.309 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 1.137 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

वृत्त की त्रिज्या

r = L·sin θ = 1.9·sin 15° = 0.4918 m

चाल

तनाव और गुरुत्व मिलकर अंदर की ओर बल देते हैं: tan θ = v²/(r·g)।

v = √(r·g·tan θ) = √(0.4918·9.81·tan 15°) = 1.137 m/s

उत्तर

v = 1.137 m/s

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 30.79 m/s

बल संतुलन

घर्षण ढलान के नीचे की ओर है।

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

चाल

v = √(220·9.81·0.4041/0.9202) = 30.79 m/s

उत्तर

v_max = 30.79 m/s

(110.8 km/h)

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 144 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 40°) = 2.295 m²/s²

तल पर बल

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·2.295/0.5 = 144 N

उत्तर

T = 144 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 144 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.971 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 98.1 N

μ·mg·cos θ = 42.48 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (200 − 140.6)·6 = 356.5 J

v = √(2·356.5/20) = 5.971 m/s

उत्तर

v = 5.971 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 48125 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·15/1800 = 9.167 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1100·15² = 123750 J

K_after = ½·1800·9.167² = 75625 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 123750 − 75625 = 48125 J

उत्तर

ΔK = 48125 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 155.8 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 0.9·(1 − cos 20°) = 0.05428 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.05428) = 1.032 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 1.51·1.032/0.01 = 155.8 m/s

उत्तर

v = 155.8 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: P = 85.45 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·800/60 = 83.78 rad/s

शक्ति

P = T·ω = 1020·83.78 = 85451 W = 85.45 kW

उत्तर

P = 85.45 kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: p = 28.57 %

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

स्थानांतरीय और घूर्णी भाग

E_trans = ½·m·v² = ½·9.5·9² = 384.8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0.4·m·r²·(v/r)² = 0.4·384.8 = 153.9 J

घूर्णी हिस्सा

p = 153.9/538.6·100% = c/(1 + c)·100% = 28.57%

उत्तर

p = 28.57 %

हिस्सा केवल आकृति पर निर्भर करता है, द्रव्यमान या चाल पर नहीं।

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 95.49 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/157.1 = 95.49 N·m

उत्तर

T₁ = 95.49 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 405 rpm

पहला चरण

n_B = 1440·36/40 = 1296 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1296·25/80 = 405 rpm

उत्तर

n_out = 405 rpm

कुल अनुपात = 3.556 : 1

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 1.096 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.1/2π)² = 1.096 m

उत्तर

L = 1.096 m

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: U = 0.28 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कुल ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·350·0.09² = 1.417 J

x पर स्प्रिंग ऊर्जा

U = ½·k·x² = ½·350·0.04² = 0.28 J

उत्तर

U = 0.28 J

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.2493

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·200) = 5657 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 1410/5657 = 0.2493

उत्तर

ζ = 0.2493

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 7.958 Hz

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 10 + 40 = 50 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(50000/20) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7.958 Hz

उत्तर

f_n = 7.958 Hz

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