गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान को उड़ान भरने के लिए 220 km/h की चाल चाहिए और उपयोगी रनवे 900 m लंबा है। विराम से शुरू करते हुए, उसे कितना स्थिर त्वरण a चाहिए?

v₀ = 0v = 220 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 20 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 12 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 20 mv_0B = 12 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 2 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 4.1 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 2 m/sd = 4.1 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 4.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 2.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 38 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 95 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 38 m/sR = 95 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 29 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 29 m/sθ = 45°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 90 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.7 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 90 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.9 m लंबी डोरी से बँधी 1.1 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 6 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1.1 kgr = 0.9 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 1000 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.5 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 10 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

1 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgh = 4 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

6 m/s से चल रहा 4 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 1 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 24 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1200 kg कार 13 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1200 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की चाल v′ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1200 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 13 m/s (N)

v′ = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक 3.5 kg गुटका एक घिरनी पर लिपटी हल्की डोरी से लटका है; घिरनी 6.5 kg द्रव्यमान और 0.35 m त्रिज्या की एकसमान ठोस डिस्क है जो एक घर्षणरहित क्षैतिज धुरे पर घूमती है। गुटके को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 3.5 kgM = 6.5 kgR = 0.35 mg = 9.81 m/s²

T = N

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक ठोस गोला विराम से शुरू होकर क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। इसकी त्रिज्या 0.1 m है। ढलान के साथ 8.5 m लुढ़कने के बाद इसका कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

θ = 30°s = 8.5 mI = (2/5)·m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.1 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

एक पट्टा 80 mm की चालक घिरनी पर 2880 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 600 N और ढीली ओर 300 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 16 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 24 दाँत हैं। प्लैनेट कैरियर स्थिर रखा गया है और सन को 1200 rpm पर चलाया जाता है। रिंग गियर की चाल n_r (परिमाण) ज्ञात कीजिए।

N_s = 16N_p = 24n_s = 1200 rpm

n_r = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 130 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 0.8 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 19 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 15 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 0.8 kgk = 130 N/mA = 19 cmx = 15 cm

v = m/s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 410 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.7 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 5 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.7 kgk = 410 N/mA = 5 cm

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

50 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 12 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.4 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 12 kgk = 50 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 20 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 30 kN/m और निचला k₂ = 40 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: a = 2.075 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

त्वरण

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·900) = 2.075 m/s²

उत्तर

a = 2.075 m/s²

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 6.375 m

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

20 − ½g·t² = 12·t − ½g·t² → t = 20/12 = 1.667 s

मिलने की ऊँचाई

y = 12·1.667 − ½·9.81·1.667² = 6.375 m

उत्तर

y = 6.375 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.04973

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 2²/(2·4.1) = 0.4878 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4878/9.81 = 0.04973

उत्तर

μ = 0.04973

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 20.5 N

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 13.24)/7 = 1.612 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4.5·1.612 + 13.24 = 20.5 N

उत्तर

T = 20.5 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 20.1 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·95/38² = 0.6454

कोण

2θ = 40.2° → θ = 20.1°

उत्तर

θ = 20.1°

दूसरा हल 90° − θ = 69.9° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 46.43 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 29·sin 45° = 20.51 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 20.51²/(2·9.81) = 21.43 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 25 + 21.43 = 46.43 m

उत्तर

H = 46.43 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 24.86 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·90) = 24.86 m/s

उत्तर

v_max = 24.86 m/s (89.5 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 54.79 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·6²/0.9 = 10.79 + 44 = 54.79 N

उत्तर

T = 54.79 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 1.019 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

ऊँचाई

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 5/4.905 = 1.019 m

उत्तर

h = 1.019 m

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 8.046 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 9.81·(4 − 0.2·3.5) = 32.37 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.3) = 8.046 m/s

उत्तर

v = 8.046 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = 3.6 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (4 − 1)/(4 + 1)·6 = 3.6 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 1)·6 = 9.6 m/s

उत्तर

v′₁ = 3.6 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′ = 13.65 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

संवेग घटक

p_x = 1200·24 = 28800 kg·m/s

p_y = 1200·13 = 15600 kg·m/s

मलबे की चाल

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 32754/2400 = 13.65 m/s

उत्तर

v′ = 13.65 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: T = 16.53 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

गुटका और घिरनी

गुटका: m·g − T = m·a

घिरनी: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

त्वरण

a = m·g/(m + M/2) = 3.5·9.81/(3.5 + 3.25) = 5.087 m/s²

तनाव

T = m·(g − a) = 3.5·(9.81 − 5.087) = 16.53 N

उत्तर

T = 16.53 N

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 77.18 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गिरी हुई ऊँचाई

h = s·sin θ = 8.5·sin 30° = 4.25 m

लुढ़कने के साथ ऊर्जा संतुलन

बिना फिसले लुढ़कना: ω = v/r, और संपर्क बिंदु पर घर्षण कोई कार्य नहीं करता।

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.4)

v = √(2·9.81·4.25/1.4) = 7.718 m/s

ω = v/r = 7.718/0.1 = 77.18 rad/s

उत्तर

ω = 77.18 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 3.619 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे की चाल

v = 12.06 m/s

शक्ति

P = (600 − 300)·12.06 = 3619 W = 3.619 kW

उत्तर

P = 3.619 kW

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_r = 300 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·24 = 64

कैरियर स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_c = 0 होने पर सन प्लैनेटों के माध्यम से रिंग को चलाता है, जो आइडलर की तरह कार्य करते हैं।

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1200·16/64 = −300 rpm

|n_r| = 300 rpm

उत्तर

n_r = 300 rpm

रिंग सन की विपरीत दिशा में घूमता है।

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v = 1.487 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(130/0.8) = 12.75 rad/s

x पर चाल

v = ω·√(A² − x²) = 12.75·√(0.19² − 0.15²) = 1.487 m/s

उत्तर

v = 1.487 m/s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 0.6161 m/s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

कोणीय आवृत्ति

ω = √(410/2.7) = 12.32 rad/s

अधिकतम चाल

v_max = A·ω = 0.05·12.32 = 0.6161 m/s

उत्तर

v_max = 0.6161 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 9.416 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(50000/12) = 64.55 rad/s

f_n = 64.55/(2π) = 10.27 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 10.27·√(1 − 0.4²) = 9.416 Hz

उत्तर

f_d = 9.416 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 4.66 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/30 + 1/40 → k_eq = 30·40/(30 + 40) = 17.14 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(17143/20) = 29.28 rad/s

f_n = 29.28/(2π) = 4.66 Hz

उत्तर

f_n = 4.66 Hz

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