गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

108 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 5.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 108 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 6 s तक 1 m/s² से त्वरित होती है, फिर 17 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 3.5 m/s² से ब्रेक लगाती है। दोनों स्टॉपों के बीच कुल दूरी s ज्ञात कीजिए।

a₁ = 1 m/s²t₁ = 6 st₂ = 17 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 6.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 7.2 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 6.5 m/sd = 7.2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

समतल फ़र्श पर दो गुटके एक हल्की क्षैतिज डोरी से जुड़े हैं। 30 N का एक क्षैतिज बल आगे वाले 8 kg गुटके को खींचता है; 2 kg गुटका पीछे घसीटा जाता है। दोनों गुटकों के लिए गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। g = 9.81 m/s² लें। जोड़ने वाली डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2 kgm₂ = 8 kgF = 30 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 34 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 85 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 34 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 35 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 20 m/s से क्षैतिज से 55° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। यह क्षैतिज से नीचे किस कोण α पर ज़मीन से टकराती है?

v₀ = 20 m/sθ = 55°h = 35 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.वृत्तीय गतिमध्यम

210 m त्रिज्या का एक मोड़ 5° पर ढलवाँ है। किस चाल v पर कोई कार बिना किसी घर्षण की ज़रूरत के इसे पार कर सकती है? g = 9.81 m/s² लें।

r = 210 mθ = 5°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

एक छोटी गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर विराम से छोड़ी जाती है और 1.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप में जाती है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक पर बने रहने के लिए उसे लूप के तल से कम से कम किस ऊँचाई h_min से शुरू होना चाहिए?

R = 1.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 2000 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.05 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 2 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.05 kgk = 2000 N/mx = 2 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 2 kg गुटका 15° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 10 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। ढलान पर 9 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgF = 10 Nθ = 15°μ = 0.1d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

3 m/s से चल रहा 1 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 0.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद दूसरे ग्लाइडर का वेग v′₂ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 15 g गोली 1.9 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 1.5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 30° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 15 gM = 1.5 kgL = 1.9 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

6 kg द्रव्यमान और 2.1 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज रखी गई है। इसे विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। छोड़ने के ठीक बाद मुक्त सिरे का त्वरण a_tip ज्ञात कीजिए।

m = 6 kgL = 2.1 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक पतला वलय क्षैतिज से 25° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। इसे फिसलने से रोकने वाला न्यूनतम स्थैतिक घर्षण गुणांक μ_s ज्ञात कीजिए।

θ = 25°I = m·r²g = 9.81 m/s²

μ_s =

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

200 mm की घिरनी 1440 rpm पर पट्टे से 400 mm की घिरनी को 4 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n₂ ज्ञात कीजिए।

n₁ = 1440 rpmd₁ = 200 mmd₂ = 400 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 15 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 20 दाँत हैं। रिंग गियर स्थिर रखा गया है और सन को 1200 rpm पर चलाया जाता है। प्लैनेट कैरियर की चाल n_c ज्ञात कीजिए।

N_s = 15N_p = 20n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 1.9 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 1.9 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

450 m/s से चलती एक 5 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 1.5 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 1500 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 5 gv = 450 m/sM = 1.5 kgk = 1500 N/m

A = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 20 mm के विस्थापन शिखर के 5 चक्र बाद 5.7 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 20 mmx₅ = 5.7 mmn = 5

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 15 kN/m और निचला k₂ = 80 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 5.455 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/5.5 = 5.455 s

उत्तर

t = 5.455 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 125.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 1·6 = 6 m/s

हर चरण की दूरी

s₁ = ½·1·6² = 18 m

s₂ = 6·17 = 102 m

s₃ = 6²/(2·3.5) = 5.143 m

कुल दूरी

s = 18 + 102 + 5.143 = 125.1 m

उत्तर

s = 125.1 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.2991

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 6.5²/(2·7.2) = 2.934 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.934/9.81 = 0.2991

उत्तर

μ = 0.2991

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 6 N

पूरा तंत्र

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (30 − 14.71)/10 = 1.528 m/s²

केवल पिछला गुटका

T = m₁·(a + μ·g) = 2·(1.528 + 1.472) = 6 N

उत्तर

T = 6 N

दोनों गुटकों पर समान μ होने से घर्षण हट जाता है: T = F·m₁/(m₁ + m₂)।

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 23.08 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/34² = 0.7213

कोण

2θ = 46.16° → θ = 23.08°

उत्तर

θ = 23.08°

दूसरा हल 90° − θ = 66.92° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: α = 69.64 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 20·cos 55° = 11.47 m/s

v_y0 = 20·sin 55° = 16.38 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(16.38² + 2·9.81·35) = 30.9 m/s

टकराने का कोण

tan α = v_y/v_x = 30.9/11.47 → α = 69.64°

उत्तर

α = 69.64°

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 13.43 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

बल संतुलन

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

चाल

v = √(r·g·tan θ) = √(210·9.81·tan 5°) = 13.43 m/s

उत्तर

v = 13.43 m/s

(48.33 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: h_min = 3.75 m

शीर्ष पर शर्त

m·g = m·v²/R → v² = g·R

ऊर्जा संरक्षण

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·1.5 = 3.75 m

उत्तर

h_min = 3.75 m

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 0.8155 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 2 cm = 0.02 m

½kx² = ½·2000·0.02² = 0.4 J

ऊँचाई

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.4/0.4905 = 0.8155 m

उत्तर

h = 0.8155 m

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.219 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 5.078 N

μ·mg·cos θ = 1.895 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (10 − 6.973)·9 = 27.24 J

v = √(2·27.24/2) = 5.219 m/s

उत्तर

v = 5.219 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₂ = 4 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (1 − 0.5)/(1 + 0.5)·3 = 1 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 0.5)·3 = 4 m/s

उत्तर

v′₂ = 4 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 225.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 30°) = 0.2546 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.2546) = 2.235 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 1.515·2.235/0.015 = 225.7 m/s

उत्तर

v = 225.7 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: a_tip = 14.71 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

पिन के परितः आघूर्ण

छोड़ने के क्षण ω = 0, इसलिए कोई अभिकेंद्र त्वरण नहीं है और केंद्र सीधे नीचे की ओर त्वरित होता है।

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.1) = 7.007 rad/s²

मुक्त सिरे का त्वरण

a_tip = α·L = 7.007·2.1 = 14.71 m/s²

उत्तर

a_tip = 14.71 m/s²

किसी भी लंबाई के लिए a_tip = 1.5·g: मुक्त सिरा गिराए गए पत्थर से तेज़ गिरता है।

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: μ_s = 0.2332

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गति के समीकरण

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

त्वरण

a = g·sin θ/(1 + c) = 9.81·sin 25°/2 = 2.073 m/s²

आवश्यक घर्षण

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 25°/2 = 0.2332

उत्तर

μ_s = 0.2332

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n₂ = 691.2 rpm

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

फिसलन के बिना गति

1440·200/400 = 720 rpm

फिसलन सहित

n₂ = 720·0.96 = 691.2 rpm

उत्तर

n₂ = 691.2 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_c = 257.1 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·20 = 55

रिंग स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_r = 0 रखें और कैरियर की चाल के लिए हल करें।

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −55/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·15/70 = 257.1 rpm

उत्तर

n_c = 257.1 rpm

कैरियर सन की ही दिशा में घूमता है।

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 2.765 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(1.9/9.81) = 2.765 s

उत्तर

T = 2.765 s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 4.736 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.005·450/1.505 = 1.495 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(1500/1.505) = 31.57 rad/s

आयाम

A = V/ω = 1.495/31.57 = 0.04736 m = 4.736 cm

उत्तर

A = 4.736 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.03992

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/5)·ln(20/5.7) = 0.2511

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2511/√(39.48 + 0.06303) = 0.03992

उत्तर

ζ = 0.03992

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 2.828 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/15 + 1/80 → k_eq = 15·80/(15 + 80) = 12.63 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(12632/40) = 17.77 rad/s

f_n = 17.77/(2π) = 2.828 Hz

उत्तर

f_n = 2.828 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics