गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

108 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 6.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 108 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक पत्थर कुएँ में विराम से गिराया जाता है। पत्थर छोड़ने के 4.5 s बाद छपाक की आवाज़ सुनाई देती है। ध्वनि की चाल 343 m/s है; वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। कुएँ की गहराई d ज्ञात कीजिए।

t_total = 4.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 4 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 16 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 4 m/sd = 16 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 8 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 55° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 40 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 5 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 12 m/s से क्षैतिज से 60° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। यह क्षैतिज से नीचे किस कोण α पर ज़मीन से टकराती है?

v₀ = 12 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक सड़क इंजीनियर चाहता है कि कारें घर्षण पर निर्भर हुए बिना 310 m त्रिज्या का मोड़ 100 km/h पर पार करें। g = 9.81 m/s² लें। ढलान कोण θ ज्ञात कीजिए।

r = 310 mv = 100 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.वृत्तीय गतिकठिन

1 m लंबी हल्की डोरी पर एक 0.2 kg गेंद को ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है। निम्नतम बिंदु पर इसकी चाल 11.5 m/s है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। उच्चतम बिंदु पर डोरी में तनाव T_top ज्ञात कीजिए।

m = 0.2 kgr = 1 mv_bottom = 11.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। ढलान के साथ 8 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 30°μ = 0.25d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

0.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 2.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgh = 4.5 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

एक 10 g गोली हल्की डोरियों पर लटके 1 kg लकड़ी के गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसके अंदर रह जाती है। गुटका प्रारंभ से 22 cm ऊँचा होने तक ऊपर झूलता है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 10 gM = 1 kgh = 22 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 18 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 1300 kg कार 16 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 800 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की दिशा θ, पूर्व से उत्तर की ओर मापकर, ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1300 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 800 kgv₂ = 16 m/s (N)

θ = °

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

18.5 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाला एक गतिपालक चक्र 2700 rpm पर घूमता है। एक ब्रेक 195 N·m का स्थिर घर्षण बलाघूर्ण लगाता है। रुकने से पहले गतिपालक चक्र कितने चक्कर N लगाता है?

I = 18.5 kg·m²n = 2700 rpmT_b = 195 N·m

N = rev

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक पतला वलय विराम से शुरू होकर क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। इसकी त्रिज्या 0.2 m है। ढलान के साथ 5 m लुढ़कने के बाद इसका कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

θ = 40°s = 5 mI = m·r²g = 9.81 m/s²r = 0.2 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1500 rpm पर चल रही एक 4 kW मोटर 12 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 18 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 4 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 12N₂ = 18η = 100%

T₁ = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 250 mm की घिरनी को 80 mm की चालक घिरनी से, जो 720 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 600 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.3 है और कसी हुई ओर का तनाव 500 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 250 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 500 N

P = kW

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

1.9 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 1.9 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 270 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 4 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 3 cm पर होने पर उसकी गतिज ऊर्जा K ज्ञात कीजिए।

k = 270 N/mA = 4 cmx = 3 cm

K = J

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 30 mm के विस्थापन शिखर के एक चक्र बाद 26.5 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 30 mmx₁ = 26.5 mmn = 1

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 30 kN/m और k₂ = 80 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.615 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

ब्रेकिंग समय

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/6.5 = 4.615 s

उत्तर

t = 4.615 s

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 88.29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समय के दो भाग

½·9.81·t₁² = 343·(4.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

गिरने का समय

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1544))/(2·4.905) = 4.243 s

गहराई

d = ½·9.81·4.243² = 88.29 m

उत्तर

d = 88.29 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.05097

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·16) = 0.5 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.5/9.81 = 0.05097

उत्तर

μ = 0.05097

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 37.73 N

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 19.62)/13 = 2.264 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·2.264 + 19.62 = 37.73 N

उत्तर

T = 37.73 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 153.3 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 55° = 22.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 55° = 32.77 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·32.77/9.81 = 6.68 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 22.94·6.68 = 153.3 m

उत्तर

x = 153.3 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: α = 67.32 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 12·cos 60° = 6 m/s

v_y0 = 12·sin 60° = 10.39 m/s

टकराने पर ऊर्ध्वाधर चाल

ऊर्जा या ऊर्ध्वाधर दिशा में v² = v₀² + 2as।

v_y = √(10.39² + 2·9.81·5) = 14.36 m/s

टकराने का कोण

tan α = v_y/v_x = 14.36/6 → α = 67.32°

उत्तर

α = 67.32°

7.वृत्तीय गति

उत्तर: θ = 14.24 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

इकाइयाँ

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

ढलान कोण

tan θ = v²/(r·g) = 27.78²/(310·9.81) = 0.2537

θ = 14.24°

उत्तर

θ = 14.24°

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T_top = 16.64 N

शीर्ष पर चाल

2r ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदलती है।

v_top² = 11.5² − 4·9.81·1 = 93.01 m²/s²

शीर्ष पर बल

तनाव और गुरुत्व दोनों नीचे, केंद्र की ओर हैं।

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.2·93.01/1 − 0.2·9.81 = 16.64 N

उत्तर

T_top = 16.64 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 6.671 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·8·(0.5 − 0.25·0.866)) = 6.671 m/s

उत्तर

v = 6.671 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 8.578 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 4.905·(4.5 − 0.3·2.5) = 18.39 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.75) = 8.578 m/s

उत्तर

v = 8.578 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 209.8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद झूलना

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.22) = 2.078 m/s

टक्कर

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1)·2.078/0.01 = 209.8 m/s

उत्तर

v = 209.8 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: θ = 28.68 °

संवेग घटक

p_x = 1300·18 = 23400 kg·m/s

p_y = 800·16 = 12800 kg·m/s

दिशा

tan θ = p_y/p_x = 0.547 → θ = 28.68°

उत्तर

θ = 28.68°

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: N = 603.5 rev

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·2700/60 = 282.7 rad/s

ब्रेक का कार्य गतिज ऊर्जा के बराबर है

½·I·ω² = ½·18.5·282.7² = 739480 J

θ = 739480/195 = 3792 rad

चक्कर

N = θ/2π = 603.5 rev

उत्तर

N = 603.5 rev

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 28.08 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गिरी हुई ऊँचाई

h = s·sin θ = 5·sin 40° = 3.214 m

लुढ़कने के साथ ऊर्जा संतुलन

बिना फिसले लुढ़कना: ω = v/r, और संपर्क बिंदु पर घर्षण कोई कार्य नहीं करता।

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9.81·3.214/2) = 5.615 m/s

ω = v/r = 5.615/0.2 = 28.08 rad/s

उत्तर

ω = 28.08 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 25.46 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/157.1 = 25.46 N·m

उत्तर

T₁ = 25.46 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 0.8681 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 2.857 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^0.8572 = 2.357, T₂ = 500/2.357 = 212.2 N

शक्ति

P = (500 − 212.2)·3.016 = 0.8681 kW

उत्तर

P = 0.8681 kW

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 0.897 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.9/2π)² = 0.897 m

उत्तर

L = 0.897 m

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: K = 0.0945 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कुल ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·270·0.04² = 0.216 J

x पर स्प्रिंग ऊर्जा

U = ½·k·x² = ½·270·0.03² = 0.1215 J

गतिज ऊर्जा

K = 0.216 − 0.1215 = 0.0945 J

उत्तर

K = 0.0945 J

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.01974

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/1)·ln(30/26.5) = 0.1241

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1241/√(39.48 + 0.01539) = 0.01974

उत्तर

ζ = 0.01974

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 110 kN/m

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 30 + 80 = 110 kN/m

उत्तर

k_eq = 110 kN/m

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