गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

नए प्रश्न कोर्स पर वापस जाएँ

प्रिंट विंडो में “PDF के रूप में सहेजें” चुनें, ताकि एक प्रति आपके डिवाइस पर रहे।

1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 16 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 6 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार को पकड़ने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।

v_car = 16 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.शुद्ध गतिकीकठिन

गेंद A को 45 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। उसी क्षण गेंद B को ठीक नीचे ज़मीन से 19 m/s से सीधे ऊपर फेंका जाता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। वे ज़मीन से किस ऊँचाई y पर मिलती हैं?

H = 45 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 11 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 41 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11 m/sd = 41 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 25° के रैंप पर 4.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?

v₀ = 4.5 m/sθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 65° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 40 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.वृत्तीय गतिमध्यम

1.3 m लंबी डोरी पर एक छोटी गेंद क्षैतिज वृत्त में इस तरह चलती है कि डोरी ऊर्ध्वाधर से स्थिर 30° का कोण बनाती है (शंक्वाकार लोलक)। g = 9.81 m/s² लें। गेंद की चाल v ज्ञात कीजिए।

L = 1.3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.1 m लंबी डोरी से बँधी एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर वह न्यूनतम चाल v_min क्या है जिस पर डोरी ठीक तनी रहती है?

r = 1.1 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 10 kg गेंद 3 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 30° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgL = 3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 1.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 5 mL = 1.5 mμ = 0.15k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

7 m/s से चल रही एक 1200 kg कार खड़ी 1700 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। मूल गतिज ऊर्जा का कितना प्रतिशत ΔK/K नष्ट होता है?

m₁ = 1200 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 20 g गोली 1 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 3.5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 20° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 20 gM = 3.5 kgL = 1 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक 6.5 kg गुटका एक घिरनी पर लिपटी हल्की डोरी से लटका है; घिरनी 6 kg द्रव्यमान और 0.45 m त्रिज्या की एकसमान ठोस डिस्क है जो एक घर्षणरहित क्षैतिज धुरे पर घूमती है। गुटके को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। 1 m गिरने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 6.5 kgM = 6 kgR = 0.45 mg = 9.81 m/s²h = 1 m

v = m/s

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

1 kg द्रव्यमान का एक पतला वलय 3.5 m/s से बिना फिसले लुढ़कता है। इसकी कुल गतिज ऊर्जा E_k ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgv = 3.5 m/sI = m·r²

E_k = J

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

2 स्टार्ट वाला एक वर्म 1450 rpm पर घूमता है और 48 दाँतों वाले वर्म व्हील को चलाता है। व्हील की चाल n_w ज्ञात कीजिए।

z = 2N_w = 48n = 1450 rpm

n_w = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 2900 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (16 दाँत) गियर B (45 दाँत) को चलाता है। गियर C (25 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (72 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 2900 rpmA = 16B = 45C = 25D = 72

n_out = rpm

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

1.4 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 1.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 350 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.8 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 11 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसका अधिकतम त्वरण a_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.8 kgk = 350 N/mA = 11 cm

a_max = m/s²

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

80 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 10 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.45 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk = 80 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 80 kN/m और निचला k₂ = 40 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 5.333 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/6 = 5.333 s

उत्तर

t = 5.333 s

उस क्षण पुलिस कार 2v = 32 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: y = 17.49 m

मिलने का समय

ऊपर धनात्मक है, ज़मीन y = 0 है।

45 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 45/19 = 2.368 s

मिलने की ऊँचाई

y = 19·2.368 − ½·9.81·2.368² = 17.49 m

उत्तर

y = 17.49 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.1504

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·41) = 1.476 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1.476/9.81 = 0.1504

उत्तर

μ = 0.1504

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: d = 1.59 m

मंदन

दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।

a = 9.81·(sin 25° + 0.25·cos 25°) = 6.369 m/s²

दूरी

d = v₀²/(2a) = 4.5²/(2·6.369) = 1.59 m

उत्तर

d = 1.59 m

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 7.391 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 65° = 16.9 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 65° = 36.25 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·36.25/9.81 = 7.391 s

उत्तर

t = 7.391 s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 5.75 s

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 40° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 40° = 18.64 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 55 + 18.64·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.64 + √(347.5 + 1079))/9.81 = 5.75 s

उत्तर

t = 5.75 s

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 1.919 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

वृत्त की त्रिज्या

r = L·sin θ = 1.3·sin 30° = 0.65 m

चाल

तनाव और गुरुत्व मिलकर अंदर की ओर बल देते हैं: tan θ = v²/(r·g)।

v = √(r·g·tan θ) = √(0.65·9.81·tan 30°) = 1.919 m/s

उत्तर

v = 1.919 m/s

8.वृत्तीय गति

उत्तर: v_min = 3.285 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

शीर्ष पर तनाव शून्य

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.1) = 3.285 m/s

उत्तर

v_min = 3.285 m/s

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 124.4 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 30°) = 7.886 m²/s²

तल पर बल

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·7.886/3 = 124.4 N

उत्तर

T = 124.4 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 124.4 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 21.64 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(5 − 0.15·1.5) = 117.1 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 117.1 → x = √(2·117.1/5000) = 0.2164 m = 21.64 cm

उत्तर

x = 21.64 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK/K = 58.62 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·7/2900 = 2.897 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1200·7² = 29400 J

K_after = ½·2900·2.897² = 12166 J

नष्ट अंश

ΔK/K = 17234/29400 = 58.62 %

उत्तर

ΔK/K = 58.62 %

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 191.4 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1·(1 − cos 20°) = 0.06031 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.06031) = 1.088 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 3.52·1.088/0.02 = 191.4 m/s

उत्तर

v = 191.4 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: v = 3.664 m/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

गुटका और घिरनी

गुटका: m·g − T = m·a

घिरनी: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

त्वरण

a = m·g/(m + M/2) = 6.5·9.81/(6.5 + 3) = 6.712 m/s²

गिरने के बाद चाल

v = √(2·a·h) = √(2·6.712·1) = 3.664 m/s

उत्तर

v = 3.664 m/s

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: E_k = 12.25 J

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

स्थानांतरीय और घूर्णी भाग

E_trans = ½·m·v² = ½·1·3.5² = 6.125 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·6.125 = 6.125 J

कुल

E_k = 6.125 + 6.125 = 12.25 J

उत्तर

E_k = 12.25 J

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_w = 60.42 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1450·2/48 = 60.42 rpm

उत्तर

n_w = 60.42 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 358 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 2900·16/45 = 1031 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1031·25/72 = 358 rpm

उत्तर

n_out = 358 rpm

कुल अनुपात = 8.1 : 1

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 0.487 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.4/2π)² = 0.487 m

उत्तर

L = 0.487 m

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: a_max = 13.75 m/s²

कोणीय आवृत्ति

ω = √(350/2.8) = 11.18 rad/s

अधिकतम त्वरण

a_max = A·ω² = 0.11·11.18² = 13.75 m/s²

उत्तर

a_max = 13.75 m/s²

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 12.71 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(80000/10) = 89.44 rad/s

f_n = 89.44/(2π) = 14.24 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 14.24·√(1 − 0.45²) = 12.71 Hz

उत्तर

f_d = 12.71 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 8.219 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/80 + 1/40 → k_eq = 80·40/(80 + 40) = 26.67 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(26667/10) = 51.64 rad/s

f_n = 51.64/(2π) = 8.219 Hz

उत्तर

f_n = 8.219 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics