सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
स्थिर 23 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 4 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार को पकड़ने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।
ज़मीन से 15 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 10 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।
7.5 kg और 3.5 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमानों का त्वरण a ज्ञात कीजिए।
क्षैतिज मेज़ पर रखा 3 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 1 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। मेज़ घर्षणरहित है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 70° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
ज़मीन के स्तर से एक गेंद 37 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 6 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
एक सड़क इंजीनियर चाहता है कि कारें घर्षण पर निर्भर हुए बिना 290 m त्रिज्या का मोड़ 80 km/h पर पार करें। g = 9.81 m/s² लें। ढलान कोण θ ज्ञात कीजिए।
एक 0.5 kg गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर 16.8 m की ऊँचाई पर विराम से छोड़ी जाती है और 4 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप से गुज़रती है। g = 9.81 m/s² लें। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर अभिलंब बल Ntop ज्ञात कीजिए।
समतल सड़क पर 90 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.4 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।
0.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.15) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 4000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।
34 m/s से क्षैतिज रूप से चल रहा एक 12 kg प्रक्षेप्य दो टुकड़ों में फटता है जो उसी रेखा में चलते हैं। 10 kg टुकड़ा 93 m/s से आगे चलता रहता है। 2 kg टुकड़े का वेग v′2 ज्ञात कीजिए (मूल दिशा में धनात्मक)।
एक 1800 kg कार एक खड़ी 800 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 18 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.7 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v1 ज्ञात कीजिए।
22 kg·m² जड़त्व आघूर्ण वाला एक गतिपालक चक्र 800 rpm पर घूमता है। एक ब्रेक 50 N·m का स्थिर घर्षण बलाघूर्ण लगाता है। रुकने से पहले गतिपालक चक्र कितने चक्कर N लगाता है?
एक खोखला गोला क्षैतिज से 40° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। यह विराम से शुरू होता है। ढलान पर 8 m नीचे लुढ़कने में इसे कितना समय t लगता है?
एक पट्टा 125 mm की चालक घिरनी पर 1500 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1500 N और ढीली ओर 750 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 30 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 12 दाँत हैं। प्लैनेट कैरियर स्थिर रखा गया है और सन को 1200 rpm पर चलाया जाता है। रिंग गियर की चाल nr (परिमाण) ज्ञात कीजिए।
k = 180 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 0.2 kg द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 5 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 4 cm पर होने पर उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।
k = 410 N/m वाले स्प्रिंग पर 1.8 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 5 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम चाल vmax ज्ञात कीजिए।
15 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 80 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.3 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति fd Hz में ज्ञात कीजिए।
एक 40 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 30 kN/m और k₂ = 12 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता keq kN/m में ज्ञात कीजिए।
उत्तर: t = 11.5 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
उस क्षण पुलिस कार 2v = 46 m/s से चलती है।
उत्तर: t = 3.044 s
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।
केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।
उत्तर: a = 3.567 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।
उत्तर: T = 7.357 N
न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।
उत्तर: x = 26.21 m
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2vy/g।
उत्तर: x = 133.3 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।
उत्तर: θ = 9.847 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
उत्तर: Ntop = 16.68 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
केंद्र की ओर धनात्मक है।
उत्तर: d = 79.64 m
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।
उत्तर: x = 6.015 cm
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।
उत्तर: v′2 = −261 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
ऋण चिह्न का अर्थ है कि दूसरा टुकड़ा पीछे की ओर उड़ता है।
उत्तर: v1 = 22.71 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
उत्तर: N = 245.7 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
उत्तर: t = 2.056 s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
उत्तर: P = 7.363 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
उत्तर: nr = 666.7 rpm
ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।
nc = 0 होने पर सन प्लैनेटों के माध्यम से रिंग को चलाता है, जो आइडलर की तरह कार्य करते हैं।
रिंग सन की विपरीत दिशा में घूमता है।
उत्तर: v = 0.9 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
उत्तर: vmax = 0.7546 m/s
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
उत्तर: fd = 2.079 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
उत्तर: keq = 42 kN/m
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k1 + k2।
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