गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

एक विमान को उड़ान भरने के लिए 300 km/h की चाल चाहिए और उपयोगी रनवे 1600 m लंबा है। विराम से शुरू करते हुए, उसे कितना स्थिर त्वरण a चाहिए?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.शुद्ध गतिकीकठिन

ज़मीन से 35 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 15 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 15 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 2.5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 24 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 50 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 24 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sθ = 60°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

130 m त्रिज्या का एक मोड़ 10° पर ढलवाँ है। किस चाल v पर कोई कार बिना किसी घर्षण की ज़रूरत के इसे पार कर सकती है? g = 9.81 m/s² लें।

r = 130 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.4 m लंबी डोरी से बँधी 1.3 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 4 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1.3 kgr = 1.4 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 0.5 kg गेंद 3 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 50° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgL = 3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

2 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1500 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 3.5 mL = 4 mμ = 0.2k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

12 m/s से चल रहा 4.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 2.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′₁ ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 1000 kg कार एक खड़ी 2000 kg कार से टकराती है। मलबे आपस में जुड़ जाते हैं और रुकने से पहले 10 m फिसलते हैं। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.75 है। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से ठीक पहले पहली कार की चाल v₁ ज्ञात कीजिए।

m₁ = 1000 kgm₂ = 2000 kgd = 10 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

11 kg द्रव्यमान और 0.7 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज रखी गई है। इसे विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। छोड़ने के ठीक बाद मुक्त सिरे का त्वरण a_tip ज्ञात कीजिए।

m = 11 kgL = 0.7 mg = 9.81 m/s²

a_tip = m/s²

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

4.5 kg द्रव्यमान और 1 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ अपने ऊपरी सिरे पर एक घर्षणरहित धुरी से विराम में लटकी है। 380 m/s से क्षैतिज चलती एक 45 g गोली धुरी से 0.65 m नीचे छड़ से टकराकर उसमें धँस जाती है। टक्कर के ठीक बाद छड़ का कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

M = 4.5 kgL = 1 mm = 45 gv = 380 m/sd = 0.65 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

120 mm की घिरनी 1440 rpm पर पट्टे से 500 mm की घिरनी को 1.5 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n₂ ज्ञात कीजिए।

n₁ = 1440 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 500 mms = 1.5 %

n₂ = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

1450 rpm पर एक 7.5 kW मोटर गियर A (12 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (36 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (12 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (80 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 95% है। निर्गम बलाघूर्ण T_out ज्ञात कीजिए।

P = 7.5 kWn_in = 1450 rpmA = 12B = 36C = 12D = 80η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 1 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 1 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 430 N/m वाले स्प्रिंग पर 2.1 kg का द्रव्यमान साम्यावस्था से 2 cm खींचकर छोड़ा जाता है। उसकी अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.1 kgk = 430 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 20 mm के विस्थापन शिखर के एक चक्र बाद 15.6 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 20 mmx₁ = 15.6 mmn = 1

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 100 kN/m और निचला k₂ = 80 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: a = 2.17 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

त्वरण

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·1600) = 2.17 m/s²

उत्तर

a = 2.17 m/s²

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 4.607 s

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

गति का समीकरण

ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।

−35 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 35 = 0

द्विघात समीकरण हल करें

केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।

t = (15 + √(15² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.607 s

उत्तर

t = 4.607 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 4.055 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

उत्तर

a = 4.055 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 17.98 N

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 4.905)/7.5 = 2.616 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5·2.616 + 4.905 = 17.98 N

उत्तर

T = 17.98 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 29.19 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/24² = 0.8516

कोण

2θ = 58.38° → θ = 29.19°

उत्तर

θ = 29.19°

दूसरा हल 90° − θ = 60.81° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 87.48 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 60° = 14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 60° = 24.25 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 40 + 24.25·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24.25 + √(588 + 784.8))/9.81 = 6.249 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 14·6.249 = 87.48 m

उत्तर

x = 87.48 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 15 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

बल संतुलन

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

चाल

v = √(r·g·tan θ) = √(130·9.81·tan 10°) = 15 m/s

उत्तर

v = 15 m/s

(53.98 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 27.61 N

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·4²/1.4 = 12.75 + 14.86 = 27.61 N

उत्तर

T = 27.61 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 8.409 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 50°) = 21.03 m²/s²

तल पर बल

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·21.03/3 = 8.409 N

उत्तर

T = 8.409 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 8.409 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 26.58 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 19.62·(3.5 − 0.2·4) = 52.97 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 52.97 → x = √(2·52.97/1500) = 0.2658 m = 26.58 cm

उत्तर

x = 26.58 cm

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: v′₁ = 3.429 m/s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

विरामावस्था वाले लक्ष्य से प्रत्यास्थ टक्कर

संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।

v′₁ = (4.5 − 2.5)/(4.5 + 2.5)·12 = 3.429 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 2.5)·12 = 15.43 m/s

उत्तर

v′₁ = 3.429 m/s

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v₁ = 36.39 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·10) = 12.13 m/s

टक्कर में संवेग

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·12.13/1000 = 36.39 m/s

उत्तर

v₁ = 36.39 m/s

(131 km/h)

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: a_tip = 14.71 m/s²

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

पिन के परितः आघूर्ण

छोड़ने के क्षण ω = 0, इसलिए कोई अभिकेंद्र त्वरण नहीं है और केंद्र सीधे नीचे की ओर त्वरित होता है।

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·0.7) = 21.02 rad/s²

मुक्त सिरे का त्वरण

a_tip = α·L = 21.02·0.7 = 14.71 m/s²

उत्तर

a_tip = 14.71 m/s²

किसी भी लंबाई के लिए a_tip = 1.5·g: मुक्त सिरा गिराए गए पत्थर से तेज़ गिरता है।

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 7.317 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

टक्कर के बाद जड़त्व आघूर्ण

I = M·L²/3 + m·d² = 4.5·1²/3 + 0.045·0.65² = 1.519 kg·m²

धुरी के परितः कोणीय संवेग

धुरी बल धुरी से होकर जाता है, इसलिए टक्कर के दौरान वहाँ उसका कोई आघूर्ण नहीं है।

m·v·d = I·ω → ω = 0.045·380·0.65/1.519 = 7.317 rad/s

उत्तर

ω = 7.317 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n₂ = 340.4 rpm

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

फिसलन के बिना गति

1440·120/500 = 345.6 rpm

फिसलन सहित

n₂ = 345.6·0.985 = 340.4 rpm

उत्तर

n₂ = 340.4 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_out = 891.5 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

निर्गत चाल

n_out = 1450·(12/36)·(12/80) = 72.5 rpm

ω_out = 2π·72.5/60 = 7.592 rad/s

निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण

P_out = 7500·0.95² = 6769 W

T_out = P_out/ω_out = 6769/7.592 = 891.5 N·m

उत्तर

T_out = 891.5 N·m

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 2.006 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(1/9.81) = 2.006 s

उत्तर

T = 2.006 s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 0.2862 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(430/2.1) = 14.31 rad/s

अधिकतम चाल

v_max = A·ω = 0.02·14.31 = 0.2862 m/s

उत्तर

v_max = 0.2862 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.03951

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/1)·ln(20/15.6) = 0.2485

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2485/√(39.48 + 0.06173) = 0.03951

उत्तर

ζ = 0.03951

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 6.711 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/100 + 1/80 → k_eq = 100·80/(100 + 80) = 44.44 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(44444/25) = 42.16 rad/s

f_n = 42.16/(2π) = 6.711 Hz

उत्तर

f_n = 6.711 Hz

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