गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

72 km/h से चल रही एक चालक एक बाधा देखती है। उसका प्रतिक्रिया समय 0.5 s है, जिसके बाद कार 4 m/s² के स्थिर मंदन से ब्रेक लगाती है। बाधा देखने के क्षण से कुल रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v₀ = 72 km/ht_r = 0.5 sa = −4 m/s²

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 3 s तक 22 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण के कितनी देर बाद यह ज़मीन से टकराता है? t ज्ञात कीजिए।

a = 22 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

14 kg का एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी घर्षणरहित ढलान पर नीचे फिसलता है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 14 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

35° पर झुके रैंप पर एक 6 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 10 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6 kgm₂ = 10 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 30° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 15 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 24 m/sθ = 50°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 50 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.8 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 50 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

0.7 m लंबी डोरी से बँधी 1.3 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 5.5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 1.3 kgr = 0.7 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। ढलान के साथ 7 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 30°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 2 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.25) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 4 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 2.5 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgμ = 0.25d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

9 m/s से चल रही एक 2000 kg कार खड़ी 700 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 2000 kgv₁ = 9 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

0.1 kg की एक गेंद 20 m/s से दीवार से टकराती है और 8 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 5 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण J ज्ञात कीजिए।

m = 0.1 kgv_in = 20 m/sv_out = 8 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक शाफ़्ट 2000 rpm पर 62.5 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में बलाघूर्ण T ज्ञात कीजिए।

P = 62.5 kWn = 2000 rpm

T = N·m

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक ठोस बेलन विराम से शुरू होकर क्षैतिज से 10° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के साथ 4 m लुढ़कने के बाद इसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 10°s = 4 mI = ½·m·r²g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

3 स्टार्ट वाला एक वर्म 1450 rpm पर घूमता है और 30 दाँतों वाले वर्म व्हील को चलाता है। व्हील की चाल n_w ज्ञात कीजिए।

z = 3N_w = 30n = 1450 rpm

n_w = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (15 दाँत) 960 rpm पर घूमता है और गियर B (30 दाँत) को चलाता है। गियर C (12 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 320 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 960 rpmA = 15B = 30C = 12n_out = 320 rpm

N_D =

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

एक सरल लोलक की लंबाई 3 m है। g = 9.81 m/s² लें। छोटे दोलनों के लिए उसका आवर्तकाल T ज्ञात कीजिए।

L = 3 mg = 9.81 m/s²

T = s

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 110 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 0.5 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमान की अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgk = 110 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 40 mm के विस्थापन शिखर के 5 चक्र बाद 8.3 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 40 mmx₅ = 8.3 mmn = 5

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 5 kN/m और निचला k₂ = 60 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 60 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

इकाइयाँ

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

प्रतिक्रिया दूरी

d₁ = v₀·t_r = 20·0.5 = 10 m

ब्रेकिंग दूरी

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·4) = 50 m

कुल

d = 10 + 50 = 60 m

उत्तर

d = 60 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 17.82 s

संचालित चरण

v₁ = 22·3 = 66 m/s

h₁ = ½·22·3² = 99 m

ज़मीन तक मुक्त उड़ान

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

t₂ = (66 + √(66² + 2·9.81·99))/9.81 = 14.82 s

t = 3 + 14.82 = 17.82 s

उत्तर

t = 17.82 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 6.937 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

उत्तर

a = 6.937 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 3.72 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

डोरी के साथ बल

m₂·g = 98.1 N

m₁·g·sin θ = 33.76 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.822 N

निकाय का त्वरण

a = (98.1 − 33.76 − 4.822)/16 = 3.72 m/s²

उत्तर

a = 3.72 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 2.854 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 30° = 24.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 30° = 14 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·14/9.81 = 2.854 s

उत्तर

t = 2.854 s

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 68.46 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 50° = 15.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 50° = 18.39 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 15 + 18.39·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.39 + √(338 + 294.3))/9.81 = 4.437 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 15.43·4.437 = 68.46 m

उत्तर

x = 68.46 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 19.81 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·50) = 19.81 m/s

उत्तर

v_max = 19.81 m/s (71.31 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 68.93 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·5.5²/0.7 = 12.75 + 56.18 = 68.93 N

उत्तर

T = 68.93 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.744 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·7·(0.5 − 0.3·0.866)) = 5.744 m/s

उत्तर

v = 5.744 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.349 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 39.24·2.5 = 98.1 J

μ·m₁g·d = 0.25·19.62·2.5 = 12.26 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 85.84 → v = √(2·85.84/6) = 5.349 m/s

उत्तर

v = 5.349 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 21000 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·9/2700 = 6.667 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·2000·9² = 81000 J

K_after = ½·2700·6.667² = 60000 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 81000 − 60000 = 21000 J

उत्तर

ΔK = 21000 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: J = 2.8 N·s

संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।

संवेग में परिवर्तन

J = m·Δv = 0.1·(8 + 20) = 2.8 N·s

उत्तर

J = 2.8 N·s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: T = 298.4 N·m

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·2000/60 = 209.4 rad/s

बलाघूर्ण

T = P/ω = 62500/209.4 = 298.4 N·m

उत्तर

T = 298.4 N·m

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: v = 3.014 m/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

गिरी हुई ऊँचाई

h = s·sin θ = 4·sin 10° = 0.6946 m

लुढ़कने के साथ ऊर्जा संतुलन

बिना फिसले लुढ़कना: ω = v/r, और संपर्क बिंदु पर घर्षण कोई कार्य नहीं करता।

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0.5)

v = √(2·9.81·0.6946/1.5) = 3.014 m/s

उत्तर

v = 3.014 m/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_w = 145 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 1450·3/30 = 145 rpm

उत्तर

n_w = 145 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 18

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 960·15/30 = 480 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 12·480/320 = 18

उत्तर

N_D = 18

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: T = 3.475 s

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लोलक का आवर्तकाल

T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s

उत्तर

T = 3.475 s

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 0.6614 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 0.5·9.81/110 = 0.04459 m = A

अधिकतम चाल

चाल संतुलन पर सबसे अधिक होती है।

ω = √(110/0.5) = 14.83 rad/s

v_max = A·ω = 0.04459·14.83 = 0.6614 m/s

उत्तर

v_max = 0.6614 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.05

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/5)·ln(40/8.3) = 0.3145

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3145/√(39.48 + 0.09893) = 0.05

उत्तर

ζ = 0.05

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 2.162 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/5 + 1/60 → k_eq = 5·60/(5 + 60) = 4.615 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(4615/25) = 13.59 rad/s

f_n = 13.59/(2π) = 2.162 Hz

उत्तर

f_n = 2.162 Hz

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