गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

स्थिर 29 m/s से तेज़ चल रही एक कार खड़ी पुलिस कार के पास से गुज़रती है। उसी क्षण पुलिस कार चल पड़ती है और 3.5 m/s² से एकसमान रूप से त्वरित होती है। पुलिस कार अपने प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूर पकड़ती है? d ज्ञात कीजिए।

v_car = 29 m/sa_police = 3.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 4 s तक 3 m/s² से त्वरित होती है, फिर 28 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 4 m/s² से ब्रेक लगाती है। दोनों स्टॉपों के बीच कुल दूरी s ज्ञात कीजिए।

a₁ = 3 m/s²t₁ = 4 st₂ = 28 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.न्यूटन के नियममध्यम

14 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर नीचे फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। g = 9.81 m/s² लें। ढलान के अनुदिश गुटके का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m = 14 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 10 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 34 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 95 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 34 m/sR = 95 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 17 m/s से क्षैतिज से 40° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक 800 kg कार 5 m/s से सड़क के एक उभार के शीर्ष पर से गुज़रती है। उभार का शीर्ष 120 m त्रिज्या का वृत्तीय चाप है। g = 9.81 m/s² लें। शीर्ष पर सड़क द्वारा कार पर अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 800 kgv = 5 m/sr = 120 mg = 9.81 m/s²

N = N

8.वृत्तीय गतिकठिन

एक छोटी गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर विराम से छोड़ी जाती है और 3.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप में जाती है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक पर बने रहने के लिए उसे लूप के तल से कम से कम किस ऊँचाई h_min से शुरू होना चाहिए?

R = 3.5 mv₀ = 0

h_min = m

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 1800 kg कार 5° की ढलान पर स्थिर 54 km/h से ऊपर चढ़ती है। वायु प्रतिरोध और लोटनिक प्रतिरोध मिलकर 600 N हैं। पहियों द्वारा दी जाने वाली आवश्यक शक्ति P, kW में ज्ञात कीजिए।

m = 1800 kgθ = 5°F_r = 600 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 15 kg गुटका 15° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 115 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। ढलान पर 10 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 15 kgF = 115 Nθ = 15°μ = 0.3d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

14 m/s से चल रही एक 700 kg कार खड़ी 2000 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 700 kgv₁ = 14 m/sm₂ = 2000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 5 g गोली 0.6 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 4.5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 35° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 gM = 4.5 kgL = 0.6 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक मोटर 600 rpm पर 1510 N·m का बलाघूर्ण देती है। इसकी निर्गम शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

T = 1510 N·mn = 600 rpm

P = kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

एक व्यक्ति घर्षणरहित घूर्णी मेज़ पर खड़ा है और हर हाथ में अक्ष से 0.6 m पर एक 3.5 kg डम्बल पकड़े है। केवल व्यक्ति और मेज़ का अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण 5 kg·m² है। वे 25 rpm पर घूमते हैं, फिर डम्बलों को अक्ष से 0.25 m तक अंदर खींच लेते हैं। डम्बलों को बिंदु द्रव्यमान मानें। नई चाल n₂ rpm में ज्ञात कीजिए।

I₀ = 5 kg·m²m = 2 × 3.5 kgr₁ = 0.6 mr₂ = 0.25 mn₁ = 25 rpm

n₂ = rpm

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

3 स्टार्ट वाला एक वर्म 2900 rpm पर घूमता है और 45 दाँतों वाले वर्म व्हील को चलाता है। व्हील की चाल n_w ज्ञात कीजिए।

z = 3N_w = 45n = 2900 rpm

n_w = rpm

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 100 mm की घिरनी और 300 mm की घिरनी को जोड़ता है, जिनके केंद्र 1200 mm दूर हैं। छोटी घिरनी पर लपेट कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 300 mmC = 1200 mm

θ = °

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

2.6 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 2.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 370 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 2.3 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। द्रव्यमान की अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए।

m = 2.3 kgk = 370 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 50 mm के विस्थापन शिखर के 4 चक्र बाद 2.4 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 50 mmx₄ = 2.4 mmn = 4

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 5 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 100 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 30 kN/m और k₂ = 5 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: d = 480.6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

समान दूरियाँ

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/3.5 = 16.57 s

दूरी

d = v·t = 29·16.57 = 480.6 m

उत्तर

d = 480.6 m

उस क्षण पुलिस कार 2v = 58 m/s से चलती है।

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 378 m

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 3·4 = 12 m/s

हर चरण की दूरी

s₁ = ½·3·4² = 24 m

s₂ = 12·28 = 336 m

s₃ = 12²/(2·4) = 18 m

कुल दूरी

s = 24 + 336 + 18 = 378 m

उत्तर

s = 378 m

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 3.206 m/s²

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

ढलान के अनुदिश बल

ढलान से नीचे की दिशा धनात्मक है।

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

त्वरण

a = 9.81·(sin 30° − 0.2·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.1732) = 3.206 m/s²

उत्तर

a = 3.206 m/s²

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 40.88 N

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 24.53)/15 = 1.635 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·1.635 + 24.53 = 40.88 N

उत्तर

T = 40.88 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 26.86 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·95/34² = 0.8062

कोण

2θ = 53.72° → θ = 26.86°

उत्तर

θ = 26.86°

दूसरा हल 90° − θ = 63.14° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 46.09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 17·sin 40° = 10.93 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 10.93²/(2·9.81) = 6.086 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 40 + 6.086 = 46.09 m

उत्तर

H = 46.09 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: N = 7681 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

शीर्ष पर बल

केंद्र की ओर (नीचे) धनात्मक है।

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9.81 − 800·5²/120 = 7848 − 166.7 = 7681 N

उत्तर

N = 7681 N

कार हल्की महसूस होती है: सड़क उसके भार से कम ऊपर धकेलती है।

8.वृत्तीय गति

उत्तर: h_min = 8.75 m

शीर्ष पर शर्त

m·g = m·v²/R → v² = g·R

ऊर्जा संरक्षण

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2.5·R = 2.5·3.5 = 8.75 m

उत्तर

h_min = 8.75 m

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: P = 32.08 kW

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। शक्ति बल गुणा चाल है: P = F·v।

चालक बल

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 5° = 1539 N

F = 1539 + 600 = 2139 N

शक्ति

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 2139·15 = 32085 W = 32.08 kW

उत्तर

P = 32.08 kW

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 6.76 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 38.09 N

μ·mg·cos θ = 42.64 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (115 − 80.73)·10 = 342.7 J

v = √(2·342.7/15) = 6.76 m/s

उत्तर

v = 6.76 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 50815 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·14/2700 = 3.63 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·700·14² = 68600 J

K_after = ½·2700·3.63² = 17785 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 68600 − 17785 = 50815 J

उत्तर

ΔK = 50815 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 1315 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 35°) = 0.1085 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.1085) = 1.459 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 4.505·1.459/0.005 = 1315 m/s

उत्तर

v = 1315 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: P = 94.88 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s

शक्ति

P = T·ω = 1510·62.83 = 94876 W = 94.88 kW

उत्तर

P = 94.88 kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: n₂ = 34.57 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

जड़त्व आघूर्ण

I₁ = 5 + 2·3.5·0.6² = 7.52 kg·m²

I₂ = 5 + 2·3.5·0.25² = 5.438 kg·m²

कोणीय संवेग संरक्षण

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 25·7.52/5.438 = 34.57 rpm

उत्तर

n₂ = 34.57 rpm

गतिज ऊर्जा बढ़ती है: अतिरिक्त ऊर्जा उस कार्य से आती है जो व्यक्ति डम्बल अंदर खींचने में करता है।

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_w = 193.3 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

व्हील की चाल

n_w = n·z/N_w = 2900·3/45 = 193.3 rpm

उत्तर

n_w = 193.3 rpm

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: θ = 170.4 °

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे का कोण

asin(0.08333) = 4.78°

लपेट कोण

θ = 180 − 2·4.78 = 170.4°

उत्तर

θ = 170.4°

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 1.68 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.6/2π)² = 1.68 m

उत्तर

L = 1.68 m

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: v_max = 0.7734 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

संतुलन और आयाम

x₀ = m·g/k = 2.3·9.81/370 = 0.06098 m = A

अधिकतम चाल

चाल संतुलन पर सबसे अधिक होती है।

ω = √(370/2.3) = 12.68 rad/s

v_max = A·ω = 0.06098·12.68 = 0.7734 m/s

उत्तर

v_max = 0.7734 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.1199

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/4)·ln(50/2.4) = 0.7591

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7591/√(39.48 + 0.5763) = 0.1199

उत्तर

ζ = 0.1199

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 11.46 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 30 + 5 = 35 kN/m

k_eq = 35·100/(35 + 100) = 25.93 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(25926/5) = 72.01 rad/s

f_n = 72.01/(2π) = 11.46 Hz

उत्तर

f_n = 11.46 Hz

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