सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
100 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 6.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेक लगाने में कितना समय लगता है? t ज्ञात कीजिए।
ज़मीन से 40 m ऊँची छत के किनारे से एक गेंद 8 m/s से सीधे ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। फेंकने के कितनी देर बाद वह ज़मीन से टकराती है? t ज्ञात कीजिए।
5 kg और 4 kg के द्रव्यमान एक हल्की, घर्षणरहित घिरनी के दोनों ओर लटके हैं, एक हल्की डोरी से जुड़े। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
एक गुटके को धक्का दिया जाता है ताकि वह 30° के रैंप पर 7.5 m/s की चाल से ऊपर फिसलना शुरू करे। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। g = 9.81 m/s² लें। रुकने से पहले यह रैंप पर कितनी दूर d फिसलता है?
एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 65° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
एक गेंद 10 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 35° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।
एक कार सड़क के एक उभार के शीर्ष पर से गुज़रती है, जो 25 m त्रिज्या का वृत्तीय चाप है। g = 9.81 m/s² लें। किस चाल vmax से ऊपर शीर्ष पर पहिए सड़क छोड़ देते हैं?
1.5 m लंबी डोरी से बँधी 0.7 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 7 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।
2 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 6 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य Wf ज्ञात कीजिए।
एक 10 kg गाड़ी 12 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 4 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर गाड़ी की चाल v ज्ञात कीजिए।
9 m/s से चल रहा 3.5 kg का एक ग्लाइडर घर्षणरहित पटरी पर विरामावस्था में रखे 4.5 kg के ग्लाइडर से पूर्णतः प्रत्यास्थ आमने-सामने टक्कर करता है। टक्कर के बाद पहले ग्लाइडर का वेग v′1 ज्ञात कीजिए (उसकी मूल दिशा में धनात्मक)।
0.45 kg की एक गेंद 9 m/s से दीवार से टकराती है और 18 m/s से सीधे वापस लौटती है। संपर्क 40 ms तक रहता है। दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया औसत बल Favg ज्ञात कीजिए।
18.5 kg द्रव्यमान और 2.1 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज रखी गई है। इसे विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। छोड़ने के ठीक बाद मुक्त सिरे का त्वरण atip ज्ञात कीजिए।
एक पतला वलय क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर बिना फिसले नीचे लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लें। यह विराम से शुरू होता है। ढलान पर 3.5 m नीचे लुढ़कने में इसे कितना समय t लगता है?
एक पट्टा 150 mm की चालक घिरनी पर 2880 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 800 N और ढीली ओर 320 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
1440 rpm पर एक 15 kW मोटर गियर A (20 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (36 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (20 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (32 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 97% है। निर्गम बलाघूर्ण Tout ज्ञात कीजिए।
2.1 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।
k = 210 N/m वाले एक बिना खिंचे ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग के निचले सिरे पर एक 2.5 kg द्रव्यमान जोड़कर विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। स्प्रिंग का अधिकतम खिंचाव xmax cm में ज्ञात कीजिए।
एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 40 mm के विस्थापन शिखर के 3 चक्र बाद 6 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।
एक 5 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 80 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 50 kN/m और k₂ = 10 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति fn Hz में ज्ञात कीजिए।
उत्तर: t = 4.274 s
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
उत्तर: t = 3.785 s
नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।
ऊपर धनात्मक है और ज़मीन प्रारंभिक बिंदु से h₀ नीचे है।
केवल धनात्मक मूल ही भौतिक रूप से सार्थक है।
उत्तर: T = 43.6 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
नेट चालक बल भारों का अंतर है; यह कुल द्रव्यमान को चलाता है।
उत्तर: d = 4.001 m
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
दोनों बल ढलान के नीचे की ओर हैं; द्रव्यमान कट जाता है।
उत्तर: x = 11.24 m
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2vy/g।
उत्तर: x = 34.63 m
प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = vxt और y = h + vyt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।
y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।
उत्तर: vmax = 15.66 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
उत्तर: T = 29.73 N
एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।
केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।
उत्तर: Wf = 25.49 J
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।
उत्तर: v = 8.859 m/s
कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।
गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।
उत्तर: v′1 = −1.125 m/s
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
संवेग और ऊर्जा संरक्षण को साथ हल करने पर ये दो परिणाम मिलते हैं।
ऋण चिह्न का अर्थ है कि पहला ग्लाइडर पीछे लौटता है।
उत्तर: Favg = 303.8 N
संवेग संरक्षण: जब टक्कर के दौरान कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो पहले का कुल संवेग Σm·v बाद के कुल संवेग के बराबर होता है। वेगों की दिशा होती है, इसलिए एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत दिशा के वेगों को ऋण चिह्न दें। प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड आपस में चिपक जाते हैं।
उत्तर: atip = 14.71 m/s²
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
छोड़ने के क्षण ω = 0, इसलिए कोई अभिकेंद्र त्वरण नहीं है और केंद्र सीधे नीचे की ओर त्वरित होता है।
किसी भी लंबाई के लिए atip = 1.5·g: मुक्त सिरा गिराए गए पत्थर से तेज़ गिरता है।
उत्तर: t = 2.043 s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
उत्तर: P = 10.86 kW
पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = eμθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।
उत्तर: Tout = 269.5 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
उत्तर: L = 1.096 m
सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।
उत्तर: xmax = 23.36 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
उत्तर: ζ = 0.1001
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
उत्तर: fn = 13.18 Hz
द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ωn = √(k/m) है, और Hz में fn = ωn/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/cc देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ωd = ωn·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।
केवल k1 और k2 समांतर में हैं। वह जोड़ी k3 के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।
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