गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

36 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 7 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 36 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक ट्राम विराम से शुरू होकर 8 s तक 2 m/s² से त्वरित होती है, फिर 23 s तक स्थिर चाल से चलती है, और अंत में रुकने तक 5 m/s² से ब्रेक लगाती है। कुल यात्रा समय t ज्ञात कीजिए।

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 23 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 7.5 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 57 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 7.5 m/sd = 57 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

40° पर झुके रैंप पर एक 2 kg गुटका रैंप के शीर्ष पर एक घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से हल्की डोरी द्वारा एक लटकते 2 kg द्रव्यमान से जुड़ा है। लटकता द्रव्यमान नीचे चलता है। गुटके और रैंप के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। g = 9.81 m/s² लें। निकाय का त्वरण a ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2 kgm₂ = 2 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 55 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 16 m/s से क्षैतिज से 35° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sθ = 35°h = 55 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

एक कार 95 m त्रिज्या वाला समतल मोड़ लेती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.8 है। g = 9.81 m/s² लें। वह अधिकतम चाल v_max ज्ञात कीजिए जिस पर कार बिना फिसले मोड़ ले सकती है।

r = 95 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

1.4 m लंबी डोरी से बँधी 0.3 kg की एक गेंद ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाई जाती है। निम्नतम बिंदु पर वह 3.5 m/s से चलती है। g = 9.81 m/s² लें। निम्नतम बिंदु पर डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 0.3 kgr = 1.4 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। ढलान के साथ 10 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 20°μ = 0.2d = 10 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 3 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.2) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 5 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 3 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

13 m/s से चल रही एक 1100 kg कार खड़ी 1700 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1100 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक 10 g गोली 1.2 m लंबी हल्की डोरियों से लटके 5 kg गुटके में क्षैतिज रूप से दागी जाती है और उसमें रह जाती है। डोरियाँ ऊर्ध्वाधर से अधिकतम 15° के कोण तक झूलती हैं। g = 9.81 m/s² लें। टक्कर से पहले गोली की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 10 gM = 5 kgL = 1.2 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

12 kg द्रव्यमान और 2.6 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ एक सिरे पर पिन से जुड़ी है और क्षैतिज रखी गई है। इसे विराम से छोड़ा जाता है। g = 9.81 m/s² लें। छोड़ने के ठीक बाद पिन द्वारा छड़ पर लगाया गया ऊर्ध्वाधर बल R ज्ञात कीजिए।

m = 12 kgL = 2.6 mg = 9.81 m/s²

R = N

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

2.5 kg द्रव्यमान और 1.6 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ अपने ऊपरी सिरे पर एक घर्षणरहित धुरी से विराम में लटकी है। 300 m/s से क्षैतिज चलती एक 40 g गोली धुरी से 1.04 m नीचे छड़ से टकराकर उसमें धँस जाती है। टक्कर के ठीक बाद छड़ का कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

M = 2.5 kgL = 1.6 mm = 40 gv = 300 m/sd = 1.04 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1450 rpm पर चल रही एक 1.1 kW मोटर 32 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 45 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T₂ ज्ञात कीजिए।

P = 1.1 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 32N₂ = 45η = 100%

T₂ = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 200 mm की घिरनी को 100 mm की चालक घिरनी से, जो 1450 rpm पर है, जोड़ता है; केंद्र 600 mm दूर हैं। घर्षण गुणांक 0.3 है और कसी हुई ओर का तनाव 800 N से अधिक नहीं हो सकता। पट्टा बिना फिसले जो सबसे बड़ी शक्ति P संचरित कर सकता है, kW में ज्ञात कीजिए (अपकेंद्री प्रभाव अनदेखा करें)।

d₁ = 100 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 800 N

P = kW

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

2.6 s आवर्तकाल पाने के लिए सरल लोलक कितना लंबा होना चाहिए? g = 9.81 m/s² लें। L ज्ञात कीजिए।

T = 2.6 sg = 9.81 m/s²

L = m

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

500 m/s से चलती एक 15 g गोली घर्षणरहित सतह पर रखे 3 kg गुटके से टकराकर उसमें रह जाती है। गुटका k = 600 N/m वाले एक क्षैतिज स्प्रिंग से जुड़ा है। परिणामी दोलन का आयाम A cm में ज्ञात कीजिए।

m = 15 gv = 500 m/sM = 3 kgk = 600 N/m

A = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 200 kg द्रव्यमान 80 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 4000 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 200 kgk = 80 kN/mc = 4000 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 20 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 50 kN/m और निचला k₂ = 60 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 7.143 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7) = 7.143 m

उत्तर

s = 7.143 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 34.2 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

अधिकतम चाल

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

ब्रेकिंग समय

t₃ = v/a₃ = 16/5 = 3.2 s

कुल समय

t = 8 + 23 + 3.2 = 34.2 s

उत्तर

t = 34.2 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.0503

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 7.5²/(2·57) = 0.4934 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.4934/9.81 = 0.0503

उत्तर

μ = 0.0503

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: a = 1.376 m/s²

डोरी के साथ बल

m₂·g = 19.62 N

m₁·g·sin θ = 12.61 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.503 N

निकाय का त्वरण

a = (19.62 − 12.61 − 1.503)/4 = 1.376 m/s²

उत्तर

a = 1.376 m/s²

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 61.22 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 25° = 25.38 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 25° = 11.83 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·11.83/9.81 = 2.412 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 25.38·2.412 = 61.22 m

उत्तर

x = 61.22 m

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 59.29 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 16·sin 35° = 9.177 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 9.177²/(2·9.81) = 4.293 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 55 + 4.293 = 59.29 m

उत्तर

H = 59.29 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v_max = 27.3 m/s

एकसमान वृत्तीय गति: r त्रिज्या के वृत्त पर v चाल से चलती वस्तु केंद्र की ओर a = v²/r से त्वरित होती है, इसलिए उसे भीतर की ओर नेट बल F = m·v²/r चाहिए। यह बल किसी वास्तविक स्रोत से आता है: घर्षण, तनाव, गुरुत्व या अभिलंब बल।

घर्षण अभिकेंद्र बल प्रदान करता है

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·95) = 27.3 m/s

उत्तर

v_max = 27.3 m/s (98.3 km/h)

8.वृत्तीय गति

उत्तर: T = 5.568 N

निम्नतम बिंदु पर बल

केंद्र की ओर (ऊपर) धनात्मक है।

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·3.5²/1.4 = 2.943 + 2.625 = 5.568 N

उत्तर

T = 5.568 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.498 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·10·(0.342 − 0.2·0.9397)) = 5.498 m/s

उत्तर

v = 5.498 m/s

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 5.69 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 49.05·3 = 147.2 J

μ·m₁g·d = 0.2·29.43·3 = 17.66 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 129.5 → v = √(2·129.5/8) = 5.69 m/s

उत्तर

v = 5.69 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 56434 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·13/2800 = 5.107 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1100·13² = 92950 J

K_after = ½·2800·5.107² = 36516 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 92950 − 36516 = 56434 J

उत्तर

ΔK = 56434 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: v = 448.7 m/s

गुटके का उठान

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 15°) = 0.04089 m

टक्कर के बाद चाल

V = √(2·9.81·0.04089) = 0.8957 m/s

टक्कर

v = (m + M)·V/m = 5.01·0.8957/0.01 = 448.7 m/s

उत्तर

v = 448.7 m/s

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: R = 29.43 N

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

पिन के परितः आघूर्ण

छोड़ने के क्षण ω = 0, इसलिए कोई अभिकेंद्र त्वरण नहीं है और केंद्र सीधे नीचे की ओर त्वरित होता है।

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9.81/(2·2.6) = 5.66 rad/s²

ऊर्ध्वाधर बल

a_G = α·L/2 = 7.357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 12·(9.81 − 7.357) = 29.43 N

उत्तर

R = 29.43 N

R = m·g/4, लंबाई से स्वतंत्र।

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 5.734 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

टक्कर के बाद जड़त्व आघूर्ण

I = M·L²/3 + m·d² = 2.5·1.6²/3 + 0.04·1.04² = 2.177 kg·m²

धुरी के परितः कोणीय संवेग

धुरी बल धुरी से होकर जाता है, इसलिए टक्कर के दौरान वहाँ उसका कोई आघूर्ण नहीं है।

m·v·d = I·ω → ω = 0.04·300·1.04/2.177 = 5.734 rad/s

उत्तर

ω = 5.734 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₂ = 10.19 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/151.8 = 7.244 N·m

निर्गत बलाघूर्ण

T₂ = 7.244·45/32·1 = 10.19 N·m

उत्तर

T₂ = 10.19 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 3.586 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

लपेट कोण

θ = 2.975 rad

ढीली ओर का तनाव

e^μθ = e^0.8924 = 2.441, T₂ = 800/2.441 = 327.7 N

शक्ति

P = (800 − 327.7)·7.592 = 3.586 kW

उत्तर

P = 3.586 kW

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: L = 1.68 m

सरल आवर्त गति: k कठोरता वाले स्प्रिंग पर द्रव्यमान m कोणीय आवृत्ति ω = √(k/m) और आवर्तकाल T = 2π/ω = 2π·√(m/k) से दोलन करता है। L लंबाई वाले सरल लोलक के लिए T = 2π·√(L/g)। आयाम A के साथ अधिकतम चाल A·ω, अधिकतम त्वरण A·ω² और ऊर्जा ½·k·A² होती है।

लंबाई के लिए हल करें

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.6/2π)² = 1.68 m

उत्तर

L = 1.68 m

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: A = 17.63 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

टक्कर के बाद चाल

V = m·v/(m + M) = 0.015·500/3.015 = 2.488 m/s

कोणीय आवृत्ति

ω = √(k/(m + M)) = √(600/3.015) = 14.11 rad/s

आयाम

A = V/ω = 2.488/14.11 = 0.1763 m = 17.63 cm

उत्तर

A = 17.63 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.5

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·200) = 8000 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 4000/8000 = 0.5

उत्तर

ζ = 0.5

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 5.877 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/50 + 1/60 → k_eq = 50·60/(50 + 60) = 27.27 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(27273/20) = 36.93 rad/s

f_n = 36.93/(2π) = 5.877 Hz

उत्तर

f_n = 5.877 Hz

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