गतिकी: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

शुद्ध गतिकी

वेग: v = v₀ + a·t
विस्थापन: s = v₀·t + ½·a·t²
समय के बिना: v² = v₀² + 2·a·s
इकाइयाँ: 1 m/s = 3.6 km/h

विधि

जो ज्ञात है उसे सूचीबद्ध करें: v₀, v, a, t और s, इकाइयों सहित।
वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और अज्ञात हो।
एक धनात्मक दिशा चुनें और विपरीत राशियों को ऋण चिह्न दें।
हल करें और जाँचें कि उत्तर भौतिक रूप से उचित है।

न्यूटन के नियम

द्वितीय नियम: ΣF = m·a
भार: W = m·g
गतिज घर्षण: F_f = μ·N
ढलान पर: ढलान के अनुदिश: m·g·sin θ, अभिलंब: m·g·cos θ

विधि

पिंड पर हर बल के साथ मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ।
गति के अनुदिश एक धनात्मक दिशा चुनें।
बलों को गति के अनुदिश और उसके लंबवत घटकों में विभाजित करें (ढलान पर: अनुदिश m·g·sin θ, ढलान में m·g·cos θ)।
गति के अनुदिश ΣF = m·a लगाएँ; घर्षण गति के विरुद्ध μ·N है।

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

वृत्तीय गति

अभिकेंद्र त्वरण: a = v²/r = ω²·r
अभिकेंद्र बल: F = m·v²/r
कोणीय चाल: ω = v/r = 2π/T
समतल मोड़, घर्षण: v_max = √(μ·g·r)

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

संवेग और टक्करें

संवेग: p = m·v
संरक्षण: Σm·v (before) = Σm·v (after)
पूर्णतः अप्रत्यास्थ: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
आवेग: J = F·Δt = m·Δv

विधि

एक धनात्मक दिशा चुनें और हर वेग को उसका चिह्न दें।
पहले का कुल संवेग लिखें: Σm·v।
पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में पिंड बाद में साथ चलते हैं; प्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है।
पहले के संवेग को बाद के संवेग के बराबर रखें और हल करें।

दृढ़-पिंड घूर्णन

G के परितः जड़त्व आघूर्ण: छड़ mL²/12, डिस्क ½mR², वलय mR², ठोस गोला (2/5)mR², खोखला गोला (2/3)mR²
समांतर अक्ष प्रमेय: I = I_G + m·d²
परिभ्रमण त्रिज्या: I = m·k²
सिरे के परितः छड़: I = mL²/3
गति का समीकरण: ΣM = I·α
rad/s में चाल: ω = 2π·n/60
गतिज ऊर्जा: E = ½·I·ω²
कार्य और शक्ति: W = T·θ, P = T·ω
बिना फिसले लुढ़कना: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
कोणीय संवेग: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
धुरी के परितः टक्कर: m·v·d = I·ω

विधि

अक्ष चुनें: एक स्थिर धुरी, या लुढ़कते पिंडों के लिए द्रव्यमान केंद्र।
मानक परिणामों से उस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें, खिसकी हुई अक्ष के लिए I = I_G + m·d² का उपयोग करते हुए।
विधि चुनें: त्वरणों और बलों के लिए ΣM = I·α, चालों के लिए ऊर्जा (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h), टक्करों और अचानक परिवर्तनों के लिए कोणीय संवेग।
रैखिक और कोणीय गति को v = ω·r और a = α·r से जोड़ें, और rpm को rad/s में बदलें।

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्प्रिंग और लोलक

स्प्रिंग पर द्रव्यमान: T = 2π·√(m/k)
लोलक: T = 2π·√(L/g)
कोणीय आवृत्ति: ω = √(k/m) = 2π/T
अधिकतम चाल और त्वरण: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
ऊर्जा: E = ½·k·A²

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2अभ्यास प्रश्न

1.शुद्ध गतिकीमध्यम

120 km/h से चल रही एक कार रुकने तक 7.5 m/s² के नियत मंदन से ब्रेक लगाती है। ब्रेकिंग दूरी s ज्ञात कीजिए।

v₀ = 120 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.शुद्ध गतिकीकठिन

एक मॉडल रॉकेट विराम से सीधे ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसका इंजन इसे 2 s तक 36 m/s² का स्थिर ऊर्ध्वमुखी त्वरण देता है, जिसके बाद इंजन बंद हो जाता है और रॉकेट मुक्त रूप से चलता है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण के कितनी देर बाद यह ज़मीन से टकराता है? t ज्ञात कीजिए।

a = 36 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.न्यूटन के नियममध्यम

एक डिब्बा 3 m/s की प्रारंभिक चाल से समतल फ़र्श पर फिसलता है और 4.6 m के बाद रुक जाता है। g = 9.81 m/s² लें। गतिज घर्षण गुणांक μ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 3 m/sd = 4.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.न्यूटन के नियमकठिन

क्षैतिज मेज़ पर रखा 6.5 kg का एक गुटका एक हल्की डोरी द्वारा, जो घर्षणरहित घिरनी के ऊपर से जाती है, 5 kg के लटकते द्रव्यमान से जुड़ा है। गुटके और मेज़ के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। g = 9.81 m/s² लें। डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m₁ = 6.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 20 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 35 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 20 m/sR = 35 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 30 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 14 m/s से क्षैतिज से 30° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 14 m/sθ = 30°h = 30 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.वृत्तीय गतिमध्यम

0.7 m लंबी डोरी पर एक छोटी गेंद क्षैतिज वृत्त में इस तरह चलती है कि डोरी ऊर्ध्वाधर से स्थिर 30° का कोण बनाती है (शंक्वाकार लोलक)। g = 9.81 m/s² लें। गेंद की चाल v ज्ञात कीजिए।

L = 0.7 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.वृत्तीय गतिकठिन

एक 5 kg गाड़ी घर्षणरहित ट्रैक पर 31.45 m की ऊँचाई पर विराम से छोड़ी जाती है और 8.5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर लूप से गुज़रती है। g = 9.81 m/s² लें। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर अभिलंब बल N_top ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 31.45 mR = 8.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक 10 kg गेंद 3 m लंबी हल्की डोरी पर लटकी है। उसे तब तक एक ओर खींचा जाता है जब तक डोरी ऊर्ध्वाधर से 30° न बना ले, और विराम से छोड़ा जाता है। जब गेंद निम्नतम बिंदु से गुज़रती है तब डोरी में तनाव T ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgL = 3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

10.कार्य और ऊर्जाकठिन

5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 1 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 4000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgh = 3 mL = 1 mμ = 0.2k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.संवेग और टक्करेंमध्यम

18 m/s से चल रही एक 1500 kg कार खड़ी 1900 kg कार से टकराती है और दोनों आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर में कितनी गतिज ऊर्जा ΔK नष्ट होती है?

m₁ = 1500 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.संवेग और टक्करेंकठिन

एक चौराहे पर 10 m/s से पूर्व की ओर जा रही एक 900 kg कार 14 m/s से उत्तर की ओर जा रही एक 1800 kg कार से टकराती है। कारें आपस में जुड़ जाती हैं। टक्कर के ठीक बाद मलबे की दिशा θ, पूर्व से उत्तर की ओर मापकर, ज्ञात कीजिए।

m₁ = 900 kgv₁ = 10 m/s (E)m₂ = 1800 kgv₂ = 14 m/s (N)

θ = °

13.दृढ़-पिंड घूर्णनमध्यम

एक मोटर 1200 rpm पर 980 N·m का बलाघूर्ण देती है। इसकी निर्गम शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

T = 980 N·mn = 1200 rpm

P = kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णनकठिन

2.5 kg द्रव्यमान और 1.8 m लंबाई वाली एक एकसमान पतली छड़ अपने ऊपरी सिरे पर एक घर्षणरहित धुरी से विराम में लटकी है। 180 m/s से क्षैतिज चलती एक 15 g गोली धुरी से 1.07 m नीचे छड़ से टकराकर उसमें धँस जाती है। टक्कर के ठीक बाद छड़ का कोणीय वेग ω ज्ञात कीजिए।

M = 2.5 kgL = 1.8 mm = 15 gv = 180 m/sd = 1.07 m

ω = rad/s

15.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1500 rpm पर चल रही एक 2.2 kW मोटर 24 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 36 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 98% है। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T₂ ज्ञात कीजिए।

P = 2.2 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 24N₂ = 36η = 98%

T₂ = N·m

16.गियर और गियर ट्रेनकठिन

960 rpm पर एक 4 kW मोटर गियर A (32 दाँत) को चलाती है, जो गियर B (40 दाँत) से जुड़ा है। B के ही शाफ़्ट पर लगा गियर C (20 दाँत) निर्गम शाफ़्ट पर गियर D (30 दाँत) को चलाता है। हर गियर जोड़ की दक्षता 97% है। निर्गम बलाघूर्ण T_out ज्ञात कीजिए।

P = 4 kWn_in = 960 rpmA = 32B = 40C = 20D = 30η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.स्प्रिंग और लोलकमध्यम

k = 140 N/m वाले स्प्रिंग पर एक 1.8 kg द्रव्यमान को धनात्मक दिशा में 9 cm खींचकर t = 0 पर विराम से छोड़ा जाता है। t = 1.05 s पर संतुलन से उसका विस्थापन x (चिह्न सहित) ज्ञात कीजिए।

m = 1.8 kgk = 140 N/mA = 9 cmt = 1.05 s

x = cm

18.स्प्रिंग और लोलककठिन

k = 410 N/m वाले स्प्रिंग पर एक द्रव्यमान घर्षणरहित सतह पर 19 cm आयाम से दोलन करता है। संतुलन से 17 cm पर होने पर उसकी गतिज ऊर्जा K ज्ञात कीजिए।

k = 410 N/mA = 19 cmx = 17 cm

K = J

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

50 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 200 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.6 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 200 kgk = 50 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 5 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 5 kN/m और निचला k₂ = 10 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3विलयन

1.शुद्ध गतिकी

उत्तर: s = 74.07 m

नियत त्वरण वाली गति: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² और v² = v₀² + 2·a·s। वह समीकरण चुनें जिसमें आपकी तीन ज्ञात राशियाँ और एक वांछित राशि हो, और एक धनात्मक दिशा के अनुसार चिह्न एकसमान रखें।

इकाइयाँ

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

ब्रेकिंग दूरी

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7.5) = 74.07 m

उत्तर

s = 74.07 m

2.शुद्ध गतिकी

उत्तर: t = 17.62 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

संचालित चरण

v₁ = 36·2 = 72 m/s

h₁ = ½·36·2² = 72 m

ज़मीन तक मुक्त उड़ान

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

t₂ = (72 + √(72² + 2·9.81·72))/9.81 = 15.62 s

t = 2 + 15.62 = 17.62 s

उत्तर

t = 17.62 s

3.न्यूटन के नियम

उत्तर: μ = 0.09972

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

मंदन

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·4.6) = 0.9783 m/s²

घर्षण गुणांक

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.9783/9.81 = 0.09972

उत्तर

μ = 0.09972

4.न्यूटन के नियम

उत्तर: T = 36.04 N

न्यूटन का द्वितीय नियम: किसी पिंड पर नेट बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है, ΣF = m·a। एक मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ, गति की दिशा में एक धनात्मक दिशा चुनें, और उस दिशा में सभी बल जोड़ें: लगाए गए बल, गति के विरुद्ध घर्षण μ·N, और गुरुत्व के घटक।

निकाय का त्वरण

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 19.13)/11.5 = 2.602 m/s²

मेज़ पर रखे गुटके से तनाव

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·2.602 + 19.13 = 36.04 N

उत्तर

T = 36.04 N

5.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 29.57 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·35/20² = 0.8584

कोण

2θ = 59.13° → θ = 29.57°

उत्तर

θ = 29.57°

दूसरा हल 90° − θ = 60.43° है।

6.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 32.5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 14·sin 30° = 7 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 7²/(2·9.81) = 2.497 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 30 + 2.497 = 32.5 m

उत्तर

H = 32.5 m

7.वृत्तीय गति

उत्तर: v = 1.408 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

वृत्त की त्रिज्या

r = L·sin θ = 0.7·sin 30° = 0.35 m

चाल

तनाव और गुरुत्व मिलकर अंदर की ओर बल देते हैं: tan θ = v²/(r·g)।

v = √(r·g·tan θ) = √(0.35·9.81·tan 30°) = 1.408 m/s

उत्तर

v = 1.408 m/s

8.वृत्तीय गति

उत्तर: N_top = 117.7 N

ऊर्जा संरक्षण से चाल

v² = 2·9.81·(31.45 − 2·8.5) = 283.5 m²/s²

बल

केंद्र की ओर धनात्मक है।

N = m·v²/R − m·g = 5·283.5/8.5 − 49.05 = 117.7 N

उत्तर

N_top = 117.7 N

9.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: T = 124.4 N

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)। वृत्तीय पथ पर केंद्र की ओर नेट बल mv²/r के बराबर होना चाहिए।

तल पर चाल

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 30°) = 7.886 m²/s²

तल पर बल

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·7.886/3 = 124.4 N

उत्तर

T = 124.4 N

जाँच: T = mg(3 − 2cos θ) = 124.4 N।

10.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 7.412 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 49.05·(3 − 0.2·1) = 137.3 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.8) = 7.412 m/s

उत्तर

v = 7.412 m/s

11.संवेग और टक्करें

उत्तर: ΔK = 135794 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

उभयनिष्ठ वेग

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·18/3400 = 7.941 m/s

पहले और बाद की गतिज ऊर्जा

K_before = ½·1500·18² = 243000 J

K_after = ½·3400·7.941² = 107206 J

नष्ट ऊर्जा

ΔK = 243000 − 107206 = 135794 J

उत्तर

ΔK = 135794 J

नष्ट ऊर्जा विरूपण, ऊष्मा और ध्वनि में जाती है।

12.संवेग और टक्करें

उत्तर: θ = 70.35 °

संवेग घटक

p_x = 900·10 = 9000 kg·m/s

p_y = 1800·14 = 25200 kg·m/s

दिशा

tan θ = p_y/p_x = 2.8 → θ = 70.35°

उत्तर

θ = 70.35°

13.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: P = 123.2 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

कोणीय वेग

ω = 2π·1200/60 = 125.7 rad/s

शक्ति

P = T·ω = 980·125.7 = 123150 W = 123.2 kW

उत्तर

P = 123.2 kW

14.दृढ़-पिंड घूर्णन

उत्तर: ω = 1.063 rad/s

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

टक्कर के बाद जड़त्व आघूर्ण

I = M·L²/3 + m·d² = 2.5·1.8²/3 + 0.015·1.07² = 2.717 kg·m²

धुरी के परितः कोणीय संवेग

धुरी बल धुरी से होकर जाता है, इसलिए टक्कर के दौरान वहाँ उसका कोई आघूर्ण नहीं है।

m·v·d = I·ω → ω = 0.015·180·1.07/2.717 = 1.063 rad/s

उत्तर

ω = 1.063 rad/s

15.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₂ = 20.59 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/157.1 = 14.01 N·m

निर्गत बलाघूर्ण

T₂ = 14.01·36/24·0.98 = 20.59 N·m

उत्तर

T₂ = 20.59 N·m

16.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T_out = 70.19 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

निर्गत चाल

n_out = 960·(32/40)·(20/30) = 512 rpm

ω_out = 2π·512/60 = 53.62 rad/s

निर्गम शक्ति और बलाघूर्ण

P_out = 4000·0.97² = 3764 W

T_out = P_out/ω_out = 3764/53.62 = 70.19 N·m

उत्तर

T_out = 70.19 N·m

17.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: x = −8.878 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

कोणीय आवृत्ति

ω = √(140/1.8) = 8.819 rad/s

ω·t = 8.819·1.05 = 9.26 rad

विस्थापन

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(9.26) = −8.878 cm

उत्तर

x = −8.878 cm

18.स्प्रिंग और लोलक

उत्तर: K = 1.476 J

कुल ऊर्जा

E = ½·k·A² = ½·410·0.19² = 7.401 J

x पर स्प्रिंग ऊर्जा

U = ½·k·x² = ½·410·0.17² = 5.925 J

गतिज ऊर्जा

K = 7.401 − 5.925 = 1.476 J

उत्तर

K = 1.476 J

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 2.013 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(50000/200) = 15.81 rad/s

f_n = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.516·√(1 − 0.6²) = 2.013 Hz

उत्तर

f_d = 2.013 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 4.109 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/5 + 1/10 → k_eq = 5·10/(5 + 10) = 3.333 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(3333/5) = 25.82 rad/s

f_n = 25.82/(2π) = 4.109 Hz

उत्तर

f_n = 4.109 Hz

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