इंजीनियरिंग गणित: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सीमाएँ

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन: पहले x = a रखकर देखें; 0/0 का अर्थ है सरल करें
गुणनखंड करें और काटें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
संयुग्मी: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
अनंत पर सीमाएँ: x की उच्चतम घात से भाग दें; समान घात होने पर अग्र गुणांकों का अनुपात मिलता है
विशेष सीमा: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
लोपिताल का नियम: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक: det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
आइगेन मान: det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम: x_i = det(A_i)/det(A)

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

विधि

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

2अभ्यास प्रश्न

1.सीमाएँमध्यम

सीमा L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^3x ज्ञात कीजिए। दशमलव मान दें।

f(x) = (1 + 1/x)^3xx → ∞

L =

2.सीमाएँकठिन

सीमा L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(5x) ज्ञात कीजिए, x रेडियन में।

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0

L =

3.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = x²·e^−x। f′(1.5) ज्ञात करें।

f(x) = x²·e^−xx = 1.5

f′(1.5) =

4.अवकलजकठिन

f(x) = 3x² − x + 4 की x = −2 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।

f(x) = 3x² − x + 4x = −2

b =

5.समाकलमध्यम

I = ∫₀^π/3 x·cos x dx का मान निकालिए (x रेडियन में)।

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

6.समाकलकठिन

y = 0.5x² और y = 3x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।

y = 0.5x²y = 3x

A =

7.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

z = 8∠−75° को आयताकार रूप a + jb में लिखें और काल्पनिक भाग b दें।

r = 8θ = −75°

b =

8.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

(3 − j)³ का वास्तविक भाग ज्ञात करें।

z = 3 − jn = 3

Re(z³) =

9.अवकल समीकरणमध्यम

y(0) = 3 और y′(0) = 4 के साथ y″ + 7y′ + 12y = 0 हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 3y′(0) = 4

y(1) =

10.अवकल समीकरणकठिन

एक प्रणाली t ≥ 0 के लिए y″ + y′ + 4.25y = 8.5 का पालन करती है, विराम से शुरू होकर: y(0) = 0, y′(0) = 0। y(0.25) ज्ञात कीजिए; कोण रेडियन में।

y″ + y′ + 4.25y = 8.5y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

11.आव्यूह और सारणिकमध्यम

दिखाए गए आव्यूहों के लिए C = AB मान लें। अवयव c₁₂ (पंक्ति 1, स्तंभ 2) ज्ञात करें।

A = [−4 −2; 3 −2]B = [−3 0; 3 2]

c₁₂ =

12.आव्यूह और सारणिककठिन

निकाय 5x − 5y = 5 और −6x + 2y = 12 हल करें। x ज्ञात करें।

5x − 5y = 5−6x + 2y = 12

x =

13.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम

एक स्थिर बल F = (10, −10, 0) N किसी वस्तु पर कार्य करता है जब वह बिंदु A(3, −4, −2) से बिंदु B(0, 1, −2) तक सीधी रेखा में चलती है। निर्देशांक मीटर में हैं। बल द्वारा किया गया कार्य W ज्ञात कीजिए।

F = (10, −10, 0) NA(3, −4, −2) mB(0, 1, −2) m

W = J

14.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन

उस समांतर षट्फलक का आयतन V ज्ञात कीजिए जिसकी एक कोने से भुजाएँ a = (−5, 1, −5), b = (−1, −2, −2) और c = (−1, −1, 2) हैं।

a = (−5, 1, −5)b = (−1, −2, −2)c = (−1, −1, 2)

V =

15.प्रायिकतामध्यम

एक थैले में 6 लाल और 9 नीली गेंदें हैं। आप पहली को वापस रखे बिना दो गेंदें निकालते हैं। दोनों के लाल होने की प्रायिकता P क्या है?

6 / 9

P =

16.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 5 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.3 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 4 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.3k = 4

P =

17.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 33, 60, 11, 16, 53।

n = 5

s =

18.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 60 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 75 से कम है?

μ = 60σ = 15x = 75

P =

19.प्रसामान्य बंटनमध्यम

X प्रसामान्य है जिसका माध्य 250 g और मानक विचलन 4 g है; Y स्वतंत्र और प्रसामान्य है जिसका माध्य 500 g और मानक विचलन 9 g है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X + Y, 759.8 g से अधिक है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759.8 g

P =

20.प्रसामान्य बंटनकठिन

धावक A का चक्कर समय X और धावक B का चक्कर समय Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 52 s और मानक विचलन 4 s है, Y का माध्य 48 s और मानक विचलन 3 s है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3विलयन

1.सीमाएँ

उत्तर: L = 20.09

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

लघुगणक लें

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)

मान निकालें

u → 0 पर ln(1 + u)/u → 1, इसलिए x·ln(1 + a/x) → a।

ln L = 3·1 = 3

लघुगणक हटाएँ

L = e³ = 20.09

उत्तर

L = 20.09

2.सीमाएँ

उत्तर: L = 0.4

लोपिताल का नियम

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]

x = 0 रखें

L = 2/5 = 0.4

उत्तर

L = 0.4

3.अवकलज

उत्तर: f′(1.5) = 0.1673

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल नियम

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(2x + (−1)·x²)

मान रखें

f′(1.5) = 0.2231·(3 + (−2.25)) = 0.1673

उत्तर

f′(1.5) = 0.1673

4.अवकलज

उत्तर: b = −8

बिंदु और ढाल

f(−2) = 18

f′(x) = 6x − 1 → f′(−2) = −13

x = 0 पर स्पर्शरेखा

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 18 − (−13)·(−2) = −8

उत्तर

b = −8

5.समाकल

उत्तर: I = 0.4069

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

u और dv चुनें

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

प्रतिअवकलज

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

सीमाएँ

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0.4069

उत्तर

I = 0.4069

6.समाकल

उत्तर: A = 18

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिच्छेद बिंदु

0.5x² = 3x → x = 0, x = 6

ऊपरी घटा निचले का समाकलन करें

A = [1.5x² − 0.1667x³]₀⁶ = 18

उत्तर

A = 18

7.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: b = −7.727

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

घटक

a = 8·cos(−75°) = 2.071

b = 8·sin(−75°) = −7.727

आयताकार रूप

z = 2.071 − j7.727

b = −7.727

उत्तर

b = −7.727

8.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: Re(z³) = 18

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

घात चरण-दर-चरण

z² = (3 − j)(3 − j) = 8 − j6

z³ = (8 − j6)(3 − j) = 18 − j26

डी मॉयवर से जाँच

z = 3.162∠−18.43° → z³ = 31.62∠−55.3°

Re(z³) = 18

उत्तर

Re(z³) = 18

9.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1) = 0.5585

द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = e^rt आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·e^r₁t + B·e^r₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·e^rt (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 के रूप में लिखने पर ω_n प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।

अभिलक्षणिक मूल

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

प्रारंभिक मानों से अचर

A + B = 3, −3A − 4B = 4

A = 16, B = −13

मान निकालें

y(1) = 16·e⁻³ + (−13)·e⁻⁴ = 0.5585

उत्तर

y(1) = 0.5585

10.अवकल समीकरण

उत्तर: y(0.25) = 0.2395

स्थिर मान और मूल

y_ss = 2, r = −0.5 ± 2j

प्रारंभिक मानों से अचर

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −0.5A + 2B = 0 → B = −0.5

मान निकालें

y(0.25) = 2·(1 − e^−0.125(cos 0.5 + 0.25·sin 0.5)) = 0.2395

उत्तर

y(0.25) = 0.2395

11.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: c₁₂ = −4

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पंक्ति गुणा स्तंभ

c₁₂ = (−4)·0 + (−2)·2 = −4

उत्तर

c₁₂ = −4

12.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: x = −3.5

गुणांक आव्यूह का सारणिक

det A = 5·2 − (−5)·(−6) = −20

x स्तंभ बदलें

det Aₓ = 5·2 − (−5)·12 = 70

x = 70/(−20) = −3.5

उत्तर

x = −3.5

y = −4.5

13.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: W = −80 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

विस्थापन

d = B − A = (0, 1, −2) − (3, −4, −2) = (−3, 5, 0) m

कार्य

W = F·d = 10·(−3) + (−10)·5 + 0·0 = −80 J

उत्तर

W = −80 J

ऋणात्मक कार्य: बल अधिकांशतः गति के विरुद्ध कार्य करता है।

14.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: V = 39

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

सदिश गुणनफल b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−2)·2 − (−2)·(−1) = −6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−2)·(−1) − (−1)·2 = 4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·(−1) − (−2)·(−1) = −1

a के साथ अदिश गुणनफल

a·(b × c) = (−5)·(−6) + 1·4 + (−5)·(−1) = 39

V = |39| = 39

उत्तर

V = 39

15.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.1429

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पहली और दूसरी निकासी

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0.1429

उत्तर

P = 0.1429

16.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.02835

द्विपद सूत्र

P(X = 4) = 5·0.3⁴·0.7¹ = 5·0.0081·0.7 = 0.02835

उत्तर

P = 0.02835

17.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 21.73

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 173/5 = 34.6

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−1.6)² + 25.4² + (−23.6)² + (−18.6)² + 18.4² = 1889

मानक विचलन

s = √(1889/4) = 21.73

उत्तर

s = 21.73

18.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8413

मानकीकृत करें

z = 1

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

उत्तर

P = 0.8413

19.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.1587

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

योग का बंटन

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

मानकीकृत करें

z = (759.8 − 750)/9.849 = 1

ऊपरी पुच्छ

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

उत्तर

P = 0.1587

20.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7881

अंतर का बंटन

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

मानकीकृत करें

z = (0 − 4)/5 = −0.8

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

उत्तर

P = 0.7881

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