सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
सीमा L = limx→∞ (6x3 + 3x + 6)/(x3 + 2x + 5) ज्ञात कीजिए।
सीमा L = limx→0 (e2x − 1 − 2x)/x² ज्ञात कीजिए।
मान लें f(x) = x·sin(x), x रेडियन में। f′(2) ज्ञात करें।
मान लें f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 1। स्थानीय उच्चिष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।
I = ∫15 4/x dx का मान निकालें।
y = x2 और y = 2x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल A ज्ञात करें।
संख्या z = 1.5·ej0.6 का कोण रेडियन में है। इसका काल्पनिक भाग b ज्ञात कीजिए।
z² + 5z + 15.25 = 0 हल करें। मूल a ± jb हैं; वास्तविक भाग a ज्ञात करें।
y(0) = 2 और y′(0) = 1 के साथ y″ + 6y′ + 9y = 0 हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।
y(0) = 2 के साथ y′ + 0.5y = 7e−3t हल कीजिए। y(0.5) ज्ञात कीजिए।
दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।
निकाय −4x + 6y = 11 और 3x − 6y = 11 हल करें। x ज्ञात करें।
एक स्थिर बल F = (−20, −15, 5) N किसी वस्तु पर कार्य करता है जब वह बिंदु A(5, −2, 1) से बिंदु B(4, 5, −2) तक सीधी रेखा में चलती है। निर्देशांक मीटर में हैं। बल द्वारा किया गया कार्य W ज्ञात कीजिए।
कोनों A(−4, −4, 4), B(−4, 4, 4) और C(−3, 1, −3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल A ज्ञात कीजिए। निर्देशांक मीटर में हैं।
एक निष्पक्ष पासा 3 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?
12 घटकों का परीक्षण होता है, और हर एक स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से विफल होता है। अधिकतम एक के विफल होने की प्रायिकता P क्या है?
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 38, 31, 43, 10, 57, 59।
परीक्षा अंक माध्य 50 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। 30 अंक का z-स्कोर z ज्ञात करें।
z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे −z और z के बीच का छायांकित क्षेत्रफल 0.9749 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।
वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। वह मान x ज्ञात कीजिए जिसके नीचे इनमें से 95% आते हैं (95वाँ शततमक)।
उत्तर: L = 6
सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।
समान घातों के लिए सीमा अग्र गुणांकों का अनुपात है।
उत्तर: L = 2
सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।
उत्तर: f′(2) = 0.077
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
उत्तर: x = 1
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
f″(x) = 6x − 18: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।
उत्तर: I = 6.438
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
उत्तर: A = 1.333
निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।
उत्तर: b = 0.847
ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।
उत्तर: a = −2.5
डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।
उत्तर: y(1) = 0.4481
द्वितीय-कोटि रैखिक समीकरण: y″ + b·y′ + c·y = 0 के लिए y = ert आज़माएँ: इससे अभिलक्षणिक समीकरण r² + b·r + c = 0 मिलता है। दो भिन्न वास्तविक मूल r₁ ≠ r₂ से y = A·er₁t + B·er₂t मिलता है (अतिअवमंदित); द्विगुण मूल r से y = (A + Bt)·ert (क्रांतिक अवमंदित); सम्मिश्र मूल −α ± jω से y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (अल्पावमंदित, दोलनशील)। प्रारंभिक मान y(0) और y′(0) A और B तय करते हैं। y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 के रूप में लिखने पर ωn प्राकृतिक आवृत्ति है और ζ अवमंदन अनुपात: ζ < 1 पर दोलन होता है। अचर निवेश के साथ, y″ + by′ + cy = c·K, हल स्थिर मान K और मुक्त अनुक्रिया का योग है।
उत्तर: y(0.5) = 3.113
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
उत्तर: det A = 57
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
उत्तर: x = −22
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
उत्तर: W = −100 J
Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
ऋणात्मक कार्य: बल अधिकांशतः गति के विरुद्ध कार्य करता है।
उत्तर: A = 28.28 m²
Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
उत्तर: P = 0.4213
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
उत्तर: P = 0.0003188
प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।
उत्तर: s = 18.13
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
उत्तर: z = −2
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
उत्तर: z = 2.24
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
सारणी के भीतर 0.9875 खोजें और z पढ़ें।
उत्तर: x = 189.5 cm
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
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