इंजीनियरिंग गणित: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सीमाएँ

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन: पहले x = a रखकर देखें; 0/0 का अर्थ है सरल करें
गुणनखंड करें और काटें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
संयुग्मी: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
अनंत पर सीमाएँ: x की उच्चतम घात से भाग दें; समान घात होने पर अग्र गुणांकों का अनुपात मिलता है
विशेष सीमा: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
लोपिताल का नियम: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक: det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
आइगेन मान: det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम: x_i = det(A_i)/det(A)

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

विधि

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

2अभ्यास प्रश्न

1.सीमाएँमध्यम

सीमा L = lim_x→∞ (√(9x² − 10x) − 3x) ज्ञात कीजिए।

f(x) = √(9x² − 10x) − 3xx → ∞

L =

2.सीमाएँकठिन

सीमा L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²) ज्ञात कीजिए, x रेडियन में।

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = x·sin(2x), x रेडियन में। f′(0.5) ज्ञात करें।

f(x) = x·sin(2x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.अवकलजकठिन

f(x) = 0.5x² − 6 की x = 2 पर स्पर्शरेखा y-अक्ष को y = b पर काटती है। b ज्ञात करें।

f(x) = 0.5x² − 6x = 2

b =

5.समाकलमध्यम

I = ∫₁⁶ x·ln x dx का मान निकालिए।

∫₁⁶ x ln x dx

I =

6.समाकलकठिन

I = ∫₀² x²·eˣ dx का मान निकालिए।

∫₀² x²eˣ dx

I =

7.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

संख्या z = 4·e^j0.6 का कोण रेडियन में है। इसका वास्तविक भाग a ज्ञात कीजिए।

r = 4θ = 0.6 rad

a =

8.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

z = 1 − j के लिए डी मॉयवर प्रमेय से z⁹ का वास्तविक भाग ज्ञात करें।

z = 1 − jn = 9

Re(z⁹) =

9.अवकल समीकरणमध्यम

90 °C पर कॉफ़ी का एक कप 21 °C वाले कमरे में छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.05 min⁻¹ के साथ 22 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।

T₀ = 90 °CT_a = 21 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 22 min

T = °C

10.अवकल समीकरणकठिन

y(0) = 1 के साथ y′ + 0.5y = 3e^−3t हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।

y′ + 0.5y = 3e^−3ty(0) = 1

y(1) =

11.आव्यूह और सारणिकमध्यम

दिखाए गए 3×3 आव्यूह A का सारणिक det A ज्ञात करें।

A = [5 4 3; 1 0 2; −2 4 0]

det A =

12.आव्यूह और सारणिककठिन

दिखाए गए आव्यूह A का बड़ा आइगेनमान λ ज्ञात करें।

A = [5 −4; 5 −4]

λ =

13.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम

a = (2, −3, 1) और b = (−6, −7, −5) का अदिश गुणनफल a·b ज्ञात कीजिए।

a = (2, −3, 1)b = (−6, −7, −5)

a·b =

14.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन

एक बल F = (10, −50, 50) N बिंदु A(4, 1, 3) पर कार्य करता है। निर्देशांक मीटर में हैं। बिंदु O(2, 2, 0) के परितः बल के आघूर्ण का z-घटक M_z ज्ञात कीजिए।

F = (10, −50, 50) NA(4, 1, 3) mO(2, 2, 0) m

M_z = N·m

15.प्रायिकतामध्यम

दिखाए गए बंटन के लिए X का प्रसरण Var(X) ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.35, 0.35, 0.1

Var(X) =

16.प्रायिकताकठिन

एक परीक्षा में 5 बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। अनुमान लगाने वाली एक छात्रा हर प्रश्न स्वतंत्र रूप से 0.6 प्रायिकता से सही करती है। ठीक 3 सही उत्तरों की प्रायिकता P क्या है?

n = 5p = 0.6k = 3

P =

17.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 24, 52, 44, 27, 10, 45, 52।

n = 7

s =

18.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 10 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 92 से कम है?

μ = 100σ = 10x = 92

P =

19.प्रसामान्य बंटनमध्यम

z को इस तरह खींचें कि मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्रफल 0.1814 हो। z को दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात करें।

A = 0.1814

z =

20.प्रसामान्य बंटनकठिन

किसी समूह में पुरुषों की ऊँचाई X और महिलाओं की ऊँचाई Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं: X का माध्य 180 cm और मानक विचलन 10 cm है, Y का माध्य 170 cm और मानक विचलन 12 cm है। प्रायिकता P ज्ञात कीजिए कि X, Y से बड़ा है। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3विलयन

1.सीमाएँ

उत्तर: L = −1.667

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

संयुग्मी से गुणा करें

f(x) = −10x/(√(9x² − 10x) + 3x)

x से भाग दें

f(x) = −10/(√(9 + (−10)/x) + 3)

x → ∞ लें

L = −10/(3 + 3) = −1.667

उत्तर

L = −1.667

2.सीमाएँ

उत्तर: L = 2.25

पहला प्रयोग

3·sin 3x/(4x) → 0/0

दूसरा प्रयोग

9·cos 3x/4

x = 0 रखें

L = 9/4 = 2.25

उत्तर

L = 2.25

3.अवकलज

उत्तर: f′(0.5) = 1.382

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

गुणनफल और शृंखला नियम

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

मान रखें

f′(0.5) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

उत्तर

f′(0.5) = 1.382

4.अवकलज

उत्तर: b = −8

बिंदु और ढाल

f(2) = −4

f′(x) = x → f′(2) = 2

x = 0 पर स्पर्शरेखा

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − 2·2 = −8

उत्तर

b = −8

5.समाकल

उत्तर: I = 23.5

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

u और dv चुनें

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

प्रतिअवकलज

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

सीमाएँ

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0.25) = 23.5

उत्तर

I = 23.5

6.समाकल

उत्तर: I = 12.78

पहला चरण

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

दूसरा चरण

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

सीमाएँ

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

उत्तर

I = 12.78

7.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: a = 3.301

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

यूलर का सूत्र

z = 4·(cos 0.6 + j sin 0.6)

घटक (रेडियन)

a = 4·cos 0.6 = 3.301

b = 4·sin 0.6 = 2.259

a = 3.301

उत्तर

a = 3.301

8.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: Re(z⁹) = 16

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

ध्रुवीय रूप

z = 1 − j = √2∠−45°

डी मॉयवर

z⁹ = (√2)⁹∠−405° = 22.63∠−45°

आयताकार रूप

z⁹ = 22.63·(cos −45° + j sin −45°) = 16 − j16

Re(z⁹) = 16

उत्तर

Re(z⁹) = 16

9.अवकल समीकरण

उत्तर: T = 43.97 °C

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन नियम का हल

T(t) = 21 + 69·e^−0.05t

t रखें

T(22) = 21 + 69·0.3329 = 43.97 °C

उत्तर

T = 43.97 °C

10.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1) = 1.275

समाकलन गुणक

μ = e^0.5t

(e^0.5ty)′ = 3e^−2.5t

व्यापक हल

y = 3/(−2.5)·e^−3t + C·e^−0.5t = −1.2·e^−3t + C·e^−0.5t

प्रारंभिक प्रतिबंध

1 = −1.2 + C → C = 2.2

मान निकालें

y(1) = −1.2·0.04979 + 2.2·0.6065 = 1.275

उत्तर

y(1) = 1.275

11.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: det A = −44

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पहली पंक्ति के 2×2 उपसारणिक

M₁₁ = −8, M₁₂ = 4, M₁₃ = 4

सहखंड प्रसार

det A = 5·(−8) − 4·4 + 3·4 = −44

उत्तर

det A = −44

12.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: λ = 1

अभिलाक्षणिक समीकरण

λ² − (1)λ + (0) = 0

हल करें

λ = (1 ± √(1))/2 → λ = 0, 1

λ = 1

उत्तर

λ = 1

13.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: a·b = 4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

संगत घटकों को गुणा करें और जोड़ें

a·b = 2·(−6) + (−3)·(−7) + 1·(−5) = (−12) + 21 + (−5) = 4

उत्तर

a·b = 4

धनात्मक: सदिशों के बीच का कोण 90° से कम है।

14.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: M_z = −90 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

O से A तक स्थिति सदिश

r = A − O = (4, 1, 3) − (2, 2, 0) = (2, −1, 3) m

आघूर्ण M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−1)·50 − 3·(−50) = 100 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·10 − 2·50 = −70 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 2·(−50) − (−1)·10 = −90 N·m

पूछा गया घटक

M_z = −90 N·m

उत्तर

M_z = −90 N·m

15.प्रायिकता

उत्तर: Var(X) = 0.8275

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

माध्य

μ = 0·0.2 + 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.1 = 1.35

वर्गों का माध्य

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.1 = 2.65

प्रसरण

Var(X) = 2.65 − 1.35² = 0.8275

उत्तर

Var(X) = 0.8275

16.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.3456

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

द्विपद सूत्र

P(X = 3) = 10·0.6³·0.4² = 10·0.216·0.16 = 0.3456

उत्तर

P = 0.3456

17.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.11

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 254/7 = 36.29

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = (−12.29)² + 15.71² + 7.714² + (−9.286)² + (−26.29)² + 8.714² + 15.71² = 1557

मानक विचलन

s = √(1557/6) = 16.11

उत्तर

s = 16.11

18.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.2119

मानकीकृत करें

z = −0.8

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

उत्तर

P = 0.2119

19.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: z = 0.91

क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।

z के बाईं ओर का क्षेत्रफल

Φ(z) = 1 − 0.1814 = 0.8186

z-सारणी को उलटा पढ़ें

सारणी के भीतर 0.8186 खोजें और z पढ़ें।

z = 0.91

उत्तर

z = 0.91

20.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.7389

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

मानकीकृत करें

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

उत्तर

P = 0.7389

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