सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
सीमा L = limx→∞ (√(4x2 + 7x) − 2x) ज्ञात कीजिए।
सीमा L = limx→0 (e−2x − 1 + 2x)/x² ज्ञात कीजिए।
मान लें f(x) = ln(2x2 + 4)। f′(3) ज्ञात करें।
मान लें f(x) = x3 − 3x − 1। स्थानीय निम्निष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।
I = ∫₀1 x·sin x dx का मान निकालिए (x रेडियन में)।
रेखा y = 6x और परवलय y = 2x² के बीच के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाया जाता है। ठोस का आयतन V ज्ञात कीजिए।
संख्या z = 5·e−j2.5 का कोण रेडियन में है। इसका काल्पनिक भाग b ज्ञात कीजिए।
z² − 6z + 11.25 = 0 हल करें। मूल a ± jb हैं; वास्तविक भाग a ज्ञात करें।
360 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 23 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। k = 0.05 min⁻¹ के साथ 11 min के बाद इसका तापमान T ज्ञात कीजिए।
x > 0 के लिए प्रारंभिक मान समस्या y′ + 2y/x = x2 को y(1) = −2 के साथ हल कीजिए। y(2) ज्ञात कीजिए।
दिखाए गए आव्यूहों के लिए C = AB मान लें। अवयव c11 (पंक्ति 1, स्तंभ 1) ज्ञात करें।
दिखाए गए आव्यूह A का बड़ा आइगेनमान λ ज्ञात करें।
b = (1, 2, 1) पर a = (6, 7, 1) का अदिश प्रक्षेप compb a, अर्थात b की दिशा में a का घटक, ज्ञात कीजिए।
उस समांतर षट्फलक का आयतन V ज्ञात कीजिए जिसकी एक कोने से भुजाएँ a = (5, 3, 4), b = (−5, 5, −1) और c = (2, 2, 3) हैं।
दिखाए गए बंटन के लिए X का मानक विचलन σ ज्ञात कीजिए।
X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 10X + 1। Y का मानक विचलन σY ज्ञात कीजिए।
आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 46, 27, 53, 36, 50, 17, 22।
एक राशि माध्य 100 और मानक विचलन 15 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 109 से कम है?
IQ अंक माध्य 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 82.75 और 112.75 अंक के बीच है? P को दशमलव में दें।
IQ अंक औसत 100 अंक और मानक विचलन 15 अंक के साथ प्रसामान्य रूप से बंटे हैं। कट-ऑफ़ को इस तरह खींचें कि छायांकित निचला 25% उसके बाईं ओर हो। कट-ऑफ़ x ज्ञात करें।
उत्तर: L = 1.75
सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।
उत्तर: L = 2
सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।
उत्तर: f′(3) = 0.5455
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
उत्तर: x = 1
अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।
f″(x) = 6x: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।
उत्तर: I = 0.3012
खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।
उत्तर: V = 407.2
घूर्णन-आयतन: y = f(x) के नीचे x = a से x = b तक के क्षेत्र को x-अक्ष के परितः घुमाने से एक ठोस बनता है जिसका x पर अनुप्रस्थ-काट f(x) त्रिज्या की चकती है। चकतियों को जोड़ने पर V = π∫ₐᵇ f(x)² dx मिलता है। जब क्षेत्र बाहरी वक्र R(x) और भीतरी वक्र r(x) के बीच हो, तब हर परत वॉशर है: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx। घटाने से पहले त्रिज्याओं का वर्ग करें।
उत्तर: b = −2.992
ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।
उत्तर: a = 3
डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।
उत्तर: T = 217.4 °C
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
उत्तर: y(2) = 1.05
प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·ekt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e∫p dx से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।
उत्तर: c11 = −30
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
उत्तर: λ = 6
आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।
उत्तर: compb a = 8.573
Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
उत्तर: V = 44
Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
उत्तर: σ = 11.17
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
उत्तर: σY = 114.5
असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σY = |a|·σX; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।
माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 10·23 + 1 = 231।
उत्तर: s = 14.28
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
उत्तर: P = 0.7257
वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।
उत्तर: P = 0.6773
प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।
उत्तर: x = 90 अंक
क्षेत्रफल से वापस z तक: Φ(z), z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है। बाईं पूँछ के क्षेत्रफल A के लिए सारणी में Φ(z) = A वाला z ढूँढें। दाईं पूँछ के क्षेत्रफल A का अर्थ Φ(z) = 1 − A है। −z और z के बीच का केंद्रीय क्षेत्रफल A हर पूँछ में (1 − A)/2 छोड़ता है, इसलिए Φ(z) = (1 + A)/2। मान x के लिए x = μ + zσ का उपयोग करें।
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