इंजीनियरिंग गणित: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 20 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

सीमाएँ

प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन: पहले x = a रखकर देखें; 0/0 का अर्थ है सरल करें
गुणनखंड करें और काटें: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
संयुग्मी: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
अनंत पर सीमाएँ: x की उच्चतम घात से भाग दें; समान घात होने पर अग्र गुणांकों का अनुपात मिलता है
विशेष सीमा: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
लोपिताल का नियम: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

अवकलज

घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′
भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
शृंखला नियम: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
सामान्य अवकलज: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

विधि

संरचना पहचानें: योग, गुणनफल, भागफल या संयोजन।
x की हर घात पर घात नियम लगाएँ।
जहाँ आवश्यक हो वहाँ गुणनफल, भागफल या शृंखला नियम का उपयोग करें।
सरल करें, और यदि पूछा जाए तो बिंदु पर मान निकालें।

समाकल

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
निश्चित समाकल: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
सामान्य समाकल: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: ∫_a^b (f − g) dx

विधि

जहाँ संभव हो, समाकल्य को सरल पदों के योग के रूप में लिखें।
घात नियम लगाएँ: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), और e^x, 1/x, sin तथा cos के मानक समाकल।
जब कोई फलन और उसका अवकलज साथ दिखें, तो प्रतिस्थापन का उपयोग करें।
निश्चित समाकल के लिए F(b) − F(a) निकालें।

सम्मिश्र संख्याएँ

आयताकार रूप: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
मापांक और कोणांक: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
ध्रुवीय और चरघातांकी रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
भाग: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
गुणनफल और भागफल: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
डी मॉयवर: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-वें मूल: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q वाला द्विघात: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

विधि

तय करें कि संक्रिया के लिए कौन-सा रूप उपयुक्त है: जोड़ और घटाव के लिए आयताकार a + jb, गुणा, भाग, घात और मूल के लिए ध्रुवीय r∠θ।
j² = −1 के साथ गुणा करें; भाग देने के लिए अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें।
r = √(a² + b²) से और बिंदु के रेखाचित्र से θ (चतुर्थांश जाँचें) निकालकर बदलें, और वापस a = r cos θ, b = r sin θ से।
घातों के लिए डी मॉयवर, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ, उपयोग करें; zⁿ = R∠φ के लिए सभी n मूल R^1/n∠((φ + 360°k)/n) सूचीबद्ध करें।

अवकल समीकरण

चरघातांकी वृद्धि/क्षय: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
अर्ध-आयु: k = ln 2 / t_½
न्यूटन का शीतलन नियम: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
समाकलन गुणक: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
मिश्रण टैंक: dm/dt = r·c − (r/V)·m

आव्यूह और सारणिक

2×2 सारणिक: det = ad − bc
2×2 व्युत्क्रम: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
उत्पाद: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
आइगेन मान: det(A − λI) = 0
क्रैमर का नियम: x_i = det(A_i)/det(A)

सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

परिमाण: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
इकाई सदिश: û = a/|a|
कोण से घटक: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
अदिश गुणनफल: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
b पर a का अदिश प्रक्षेप: a·b/|b|
कार्य: W = F·d
सदिश गुणनफल: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
क्षेत्रफल: समांतर चतुर्भुज |a × b|, त्रिभुज ½|a × b|
O के परितः आघूर्ण: M_O = r × F, r = A − O
समांतर षट्फलक का आयतन: V = |a·(b × c)|

विधि

हर सदिश को घटकों में लिखें; परिमाण और कोण से दिए गए बल के लिए F·cos θ और F·sin θ का उपयोग करें।
लंबाइयों और दिशाओं के लिए परिमाण √(x² + y² + z²) और इकाई सदिश a/|a| का उपयोग करें।
कोणों, प्रक्षेपों, लंबवतता और कार्य के लिए अदिश गुणनफल का उपयोग करें: a·b = |a||b|cos θ।
लंबवत सदिशों, क्षेत्रफलों और आघूर्णों के लिए सदिश गुणनफल का उपयोग करें: क्रम a × b बनाए रखते हुए तीनों घटक ध्यान से लिखें।

प्रायिकता

पूरक: P(not A) = 1 − P(A)
योग नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
स्वतंत्र घटनाएँ: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
द्विपद: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

वर्णनात्मक सांख्यिकी

माध्य: x̄ = Σx/n
प्रतिदर्श मानक विचलन: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
माध्यिका: क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान
z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
प्रसामान्य बंटन: ±1σ के भीतर 68%, ±2σ के भीतर 95%

प्रसामान्य बंटन

z-स्कोर: z = (x − μ)/σ
x से कम: P(X < x) = Φ(z)
x से अधिक: P(X > x) = 1 − Φ(z)
बीच में: Φ(z₂) − Φ(z₁)
शततमक: x = μ + z·σ

विधि

मान को z-स्कोर में बदलें: z = (x − μ)/σ।
Φ(z) देखें, जो z के बाईं ओर का क्षेत्रफल है।
दाईं ओर के क्षेत्रफल के लिए 1 − Φ(z) लें; किसी अंतराल के लिए दोनों बाएँ क्षेत्रफल घटाएँ।
शतमक के लिए उलटा चलें: क्षेत्रफल के लिए z ज्ञात करें, फिर x = μ + z·σ।

2अभ्यास प्रश्न

1.सीमाएँमध्यम

सीमा L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^3x ज्ञात कीजिए। दशमलव मान दें।

f(x) = (1 − 2/x)^3xx → ∞

L =

2.सीमाएँकठिन

सीमा L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²) ज्ञात कीजिए, x रेडियन में।

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.अवकलजमध्यम

मान लें f(x) = ln(2x² + 2)। f′(1) ज्ञात करें।

f(x) = ln(2x² + 2)x = 1

f′(1) =

4.अवकलजकठिन

मान लें f(x) = x³ − 12x − 1। स्थानीय निम्निष्ठ का x-निर्देशांक x ज्ञात करें।

f(x) = x³ − 12x − 1

x =

5.समाकलमध्यम

I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx का मान निकालें।

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

6.समाकलकठिन

I = ∫₀^1.5 x²·eˣ dx का मान निकालिए।

∫₀^1.5 x²eˣ dx

I =

7.सम्मिश्र संख्याएँमध्यम

आरेख z = 2 − j3 दिखाता है। w = 0.5∠90° के साथ, उस बिंदु पर क्लिक करें जो z/w को निरूपित करता है।

z = 2 − j3w = 0.5∠90°

1A (4 − j6)
2B (6 + j4)
3C (−3 − j2)
4D (−6 − j4)

8.सम्मिश्र संख्याएँकठिन

बिंदुओं A–D में से ठीक एक z⁴ = 81∠180° का मूल है। उस पर क्लिक करें।

w = 81∠180°n = 4

1A (3∠−90°)
2B (3∠180°)
3C (3∠−135°)
4D (5.4∠−135°)

9.अवकल समीकरणमध्यम

500 °C पर एक गढ़ा हुआ इस्पात भाग 25 °C वाली कार्यशाला में ठंडा होने के लिए छोड़ा जाता है। 29 min के बाद इसका तापमान 174 °C है। यह न्यूटन के शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ) का पालन करता है। शुरुआत के कितने समय बाद, t, यह 304 °C तक पहुँचता है?

T₀ = 500 °CT_a = 25 °CT(29) = 174 °CT = 304 °C

t = min

10.अवकल समीकरणकठिन

y(0) = 1 के साथ y′ + y = 2e^−3t हल कीजिए। y(1) ज्ञात कीजिए।

y′ + y = 2e^−3ty(0) = 1

y(1) =

11.आव्यूह और सारणिकमध्यम

दिखाए गए आव्यूहों के लिए C = AB मान लें। अवयव c₂₂ (पंक्ति 2, स्तंभ 2) ज्ञात करें।

A = [3 4; −1 −1]B = [3 1; −1 −6]

c₂₂ =

12.आव्यूह और सारणिककठिन

निकाय 4x − 6y = −11 और −x − 2y = 6 हल करें। x ज्ञात करें।

4x − 6y = −11−x − 2y = 6

x =

13.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलमध्यम

b = (−2, −3, 4) पर a = (6, −5, −1) का अदिश प्रक्षेप comp_b a, अर्थात b की दिशा में a का घटक, ज्ञात कीजिए।

a = (6, −5, −1)b = (−2, −3, 4)

comp_b a =

14.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफलकठिन

इकाई सदिश n̂, a = (−4, 0, 5) और b = (4, 4, 0) दोनों के लंबवत है और उसका z-घटक धनात्मक है। इसका x-घटक n̂_x ज्ञात कीजिए।

a = (−4, 0, 5)b = (4, 4, 0)n̂_z > 0

n̂_x =

15.प्रायिकतामध्यम

एक निष्पक्ष पासा 5 बार फेंका जाता है। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता P क्या है?

n = 5

P =

16.प्रायिकताकठिन

X का बंटन दिखाया गया है, और Y = 0.5X + 5। Y का मानक विचलन σ_Y ज्ञात कीजिए।

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 0.5X + 5

σ_Y =

17.वर्णनात्मक सांख्यिकीमध्यम

आँकड़ों का प्रतिदर्श मानक विचलन s ज्ञात करें: 50, 58, 40, 38, 51, 12।

n = 6

s =

18.वर्णनात्मक सांख्यिकीकठिन

एक राशि माध्य 500 और मानक विचलन 50 के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित है। मानों का कितना अनुपात P 440 से अधिक है?

μ = 500σ = 50x = 440

P =

19.प्रसामान्य बंटनमध्यम

वयस्क पुरुषों की ऊँचाई माध्य 178 cm और मानक विचलन 7 cm के साथ प्रसामान्य रूप से वितरित हैं। कितना अनुपात 175.9 और 181.85 cm के बीच है? P को दशमलव में दें।

μ = 178σ = 7x₁ = 175.9x₂ = 181.85

P =

20.प्रसामान्य बंटनकठिन

छिद्रों के व्यास D प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25.04 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। शाफ़्टों के व्यास d स्वतंत्र और प्रसामान्य हैं जिनका माध्य 25 mm और मानक विचलन 0.02 mm है। यादृच्छिक चुना गया शाफ़्ट तब फिट होता है जब D − d > 0 हो। उसके फिट होने की प्रायिकता P ज्ञात कीजिए। z को दो दशमलव तक पूर्णांकित करें।

छिद्र: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mmशाफ़्ट: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3विलयन

1.सीमाएँ

उत्तर: L = 0.002479

सीमाएँ: पहले प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन आज़माएँ। यदि 0/0 मिले, तो पहले सरल करें: गुणनखंड करके उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें, या संयुग्मी से गुणा करें। x → ∞ होने पर अंश और हर को x की उच्चतम घात से भाग दें। लोपिताल का नियम: यदि f/g से 0/0 या ∞/∞ मिले, तो lim f/g = lim f′/g′, अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करके (भागफल नियम से नहीं)।

लघुगणक लें

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 2/x)

मान निकालें

u → 0 पर ln(1 + u)/u → 1, इसलिए x·ln(1 + a/x) → a।

ln L = 3·(−2) = −6

लघुगणक हटाएँ

L = e⁻⁶ = 0.002479

उत्तर

L = 0.002479

2.सीमाएँ

उत्तर: L = 2.667

पहला प्रयोग

4·sin 4x/(6x) → 0/0

दूसरा प्रयोग

16·cos 4x/6

x = 0 रखें

L = 16/6 = 2.667

उत्तर

L = 2.667

3.अवकलज

उत्तर: f′(1) = 1

अवकलन: अवकलज f′(x) बिंदु x पर ग्राफ़ की ढाल है। घात नियम: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹। गुणनफल नियम: (uv)′ = u′v + uv′। शृंखला नियम: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)। जहाँ f′(x) = 0, वहाँ ग्राफ़ की क्षैतिज स्पर्शरेखा होती है: उच्चिष्ठ, निम्निष्ठ या काठी बिंदु।

लघुगणक के लिए शृंखला नियम

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

मान रखें

f′(1) = 4/4 = 1

उत्तर

f′(1) = 1

4.अवकलज

उत्तर: x = 2

अवकलज

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

f′(x) = 0 हल करें

x = −2 या x = 2

कौन-सा क्या है

f″(x) = 6x: उच्चिष्ठ पर ऋणात्मक, निम्निष्ठ पर धनात्मक।

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = 2

उत्तर

x = 2

5.समाकल

उत्तर: I = 1.5

निश्चित समाकल: ∫ₐᵇ f(x) dx, a से b तक ग्राफ़ और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल है। एक प्रतिअवकलज F (F′ = f) ज्ञात करें और F(b) − F(a) निकालें। घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल ∫(ऊपरी − निचला) dx है।

प्रतिस्थापन

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

समाकलन करें और मान निकालें

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1.5

उत्तर

I = 1.5

6.समाकल

उत्तर: I = 3.602

खंडशः समाकलन: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, जो गुणन नियम से आता है। u उस गुणनखंड को चुनें जो अवकलन करने पर सरल हो जाए (x की घात, या ln x), और dv वह गुणनखंड जिसे आप समाकलित कर सकें (eˣ, sin x, cos x, या x जब u = ln x हो)। निश्चित समाकलन के लिए u·v का दोनों सीमाओं पर मान निकालें: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du। गुणनखंड x² के लिए दो चरण चाहिए।

पहला चरण

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

दूसरा चरण

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

सीमाएँ

4.482·(1.25) − 1·2 = 3.602

उत्तर

I = 3.602

7.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: D (−6 − j4)

ध्रुवीय रूप: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, जहाँ r = |z| और θ = arg z। आयताकार रूप में वापसी: a = r cos θ, b = r sin θ। कोणांक के लिए चतुर्थांश चाहिए: θ = atan(b/a) केवल तब जब a > 0; a < 0 के लिए 180° जोड़ें या घटाएँ। ध्रुवीय रूप में गुणा आसान है: मापांक गुणा करें और कोणांक जोड़ें; भाग के लिए मापांक भाग दें और कोणांक घटाएँ।

w का प्रभाव

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − 90°

बिंदु

z/w = −6 − j4 → D

उत्तर

D (−6 − j4)

8.सम्मिश्र संख्याएँ

उत्तर: C (3∠−135°)

डी मॉयवर और मूल: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ। समीकरण zⁿ = R∠φ के ठीक n मूल हैं, सभी का मापांक R^1/n है, कोणांक k = 0, 1, …, n − 1 के लिए (φ + 360°·k)/n हैं: वे एक वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं, 360°/n के अंतर पर। द्विघात z² + pz + q = 0, जिसमें p² < 4q हो, के सम्मिश्र मूल z = −p/2 ± j√(q − p²/4) हैं; वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों a ± jb में होते हैं।

मूलों का मापांक और कोणांक

|z| = 3

θ = 45°, 135°, −135°, −45°

बिंदु

C = 3∠−135°

उत्तर

C (3∠−135°)

9.अवकल समीकरण

उत्तर: t = 13.31 min

प्रथम कोटि अवकल समीकरण: dy/dt = k·y का हल y = y₀·e^kt है (k > 0 के लिए वृद्धि, k < 0 के लिए क्षय); अर्ध-आयु T से k = ln 2/T मिलता है। न्यूटन का शीतलन नियम dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt देता है। रैखिक समीकरण y′ + p(x)·y = q(x) समाकलन गुणक μ = e^{∫p dx} से हल होता है: (μy)′ = μq, इसलिए μy = ∫μq dx + C।

शीतलन स्थिरांक

k = ln(475/149)/29 = 0.03998 min⁻¹

लक्ष्य तक पहुँचने का समय

t = ln(475/279)/0.03998 = 13.31 min

उत्तर

t = 13.31 min

10.अवकल समीकरण

उत्तर: y(1) = 0.686

समाकलन गुणक

μ = e^t

(e^ty)′ = 2e^−2t

व्यापक हल

y = 2/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −1·e^−3t + C·e^−t

प्रारंभिक प्रतिबंध

1 = −1 + C → C = 2

मान निकालें

y(1) = −1·0.04979 + 2·0.3679 = 0.686

उत्तर

y(1) = 0.686

11.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: c₂₂ = 5

आव्यूह: 2×2 आव्यूह का सारणिक ad − bc है। 3×3 के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर अवयव गुणा उस 2×2 आव्यूह का सारणिक जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, बारी-बारी चिह्नों + − + के साथ। आइगेनमान λ, det(A − λI) = 0 को हल करते हैं; 2×2 के लिए यह λ² − (अनुरेख)·λ + det = 0 है।

पंक्ति गुणा स्तंभ

c₂₂ = (−1)·1 + (−1)·(−6) = 5

उत्तर

c₂₂ = 5

12.आव्यूह और सारणिक

उत्तर: x = −4.143

गुणांक आव्यूह का सारणिक

det A = 4·(−2) − (−6)·(−1) = −14

x स्तंभ बदलें

det Aₓ = (−11)·(−2) − (−6)·6 = 58

x = 58/(−14) = −4.143

उत्तर

x = −4.143

y = −0.9286

13.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: comp_b a = −0.1857

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

अदिश गुणनफल

a·b = 6·(−2) + (−5)·(−3) + (−1)·4 = −1

b की लंबाई

|b| = √((−2)² + (−3)² + 4²) = 5.385

अदिश प्रक्षेप

comp_b a = a·b/|b| = −1/5.385 = −0.1857

उत्तर

comp_b a = −0.1857

ऋणात्मक: a का एक घटक b के विरुद्ध इंगित करता है।

14.सदिश: अदिश और सदिश गुणनफल

उत्तर: n̂_x = 0.6155

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

सदिश गुणनफल

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·0 − 5·4 = −20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·4 − (−4)·0 = 20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·4 − 0·4 = −16

इकाई रूप में लाएँ

a × b का z-घटक ऋणात्मक है, इसलिए −(a × b) का उपयोग करें।

|a × b| = √((−20)² + 20² + (−16)²) = 32.5

n̂ = −(−20, 20, −16)/32.5 = (0.6155, −0.6155, 0.4924)

n̂_x = 0.6155

उत्तर

n̂_x = 0.6155

15.प्रायिकता

उत्तर: P = 0.5981

प्रायिकता: समसंभाव्य परिणामों में P(A) = अनुकूल/कुल। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें: P(A और B) = P(A)·P(B)। पूरक अक्सर मदद करता है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। द्विपद: सफलता प्रायिकता p वाले n स्वतंत्र प्रयोगों में P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ।

पूरक

P(छक्का नहीं) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

उत्तर

P = 0.5981

16.प्रायिकता

उत्तर: σ_Y = 0.4023

असतत यादृच्छिक चर: प्रायिकता बंटन चर के हर संभव मान x को उसकी प्रायिकता p(x) के साथ सूचीबद्ध करता है; प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं और उनका योग 1 होता है। प्रत्याशित मान (माध्य) E(X) = Σx·p(x) है, दीर्घकालिक औसत। प्रसरण Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ² है, और मानक विचलन σ = √Var(X)। रैखिक परिवर्तन Y = aX + b के लिए: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) और σ_Y = |a|·σ_X; अचर जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता।

X का फैलाव

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

रैखिक परिवर्तन

σ_Y = |0.5|·0.8047 = 0.4023

उत्तर

σ_Y = 0.4023

माध्य सचमुच खिसकता है: E(Y) = 0.5·0.95 + 5 = 5.475।

17.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: s = 16.24

वर्णनात्मक सांख्यिकी: माध्य योग को n से भाग देने पर मिलता है; माध्यिका क्रमबद्ध आँकड़ों का मध्य मान है (n सम हो तो दो मध्य मानों का औसत)। प्रतिदर्श मानक विचलन s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))। z-स्कोर z = (x − μ)/σ बताता है कि कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है।

माध्य

x̄ = 249/6 = 41.5

विचलनों के वर्ग

Σ(x − x̄)² = 8.5² + 16.5² + (−1.5)² + (−3.5)² + 9.5² + (−29.5)² = 1320

मानक विचलन

s = √(1320/5) = 16.24

उत्तर

s = 16.24

18.वर्णनात्मक सांख्यिकी

उत्तर: P = 0.8849

मानकीकृत करें

z = −1.2

मानक प्रसामान्य सारणी

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

उत्तर

P = 0.8849

19.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.3268

प्रसामान्य बंटन: मान x को z-स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलें, जो माध्य से मानक विचलनों की संख्या गिनता है। z-तालिका (या Φ(z)) z के बाईं ओर का क्षेत्रफल देती है, जो P(X < x) है। दाईं ओर का क्षेत्रफल 1 − Φ(z) है, और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल उनके दोनों क्षेत्रफलों का अंतर है।

z-स्कोर

z₁ = (175.9 − 178)/7 = −0.3

z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55

बीच का क्षेत्रफल

P = Φ(0.55) − Φ(−0.3) = 0.7088 − 0.3821 = 0.3268

उत्तर

P = 0.3268

20.प्रसामान्य बंटन

उत्तर: P = 0.9207

प्रसामान्य चरों के योग और अंतर: यदि X और Y स्वतंत्र और प्रसामान्य हों, तो X + Y और X − Y भी प्रसामान्य होते हैं। माध्य जुड़ते या घटते हैं: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y। प्रसरण हमेशा जुड़ते हैं, अंतर के लिए भी: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², इसलिए σ = √(σ_X² + σ_Y²)। मानक विचलन सीधे कभी नहीं जुड़ते। समान बंटन वाली n स्वतंत्र वस्तुओं के कुल का माध्य n·μ और मानक विचलन σ·√n होता है। फिर सामान्य तरीके से मानकीकरण करें: z = (x − माध्य)/σ और Φ(z) पढ़ें।

अंतर का बंटन

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02828 mm

मानकीकृत करें

z = (0 − 0.04)/0.02828 = −1.41

प्रायिकता

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

उत्तर

P = 0.9207

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