सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 40 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
स्रोत द्वारा दी गई धारा IR1 ज्ञात कीजिए, जो R1 से होकर बहती है।
A और B के बीच वोल्टता स्रोत Vₛ का + टर्मिनल B पर है, इसलिए यह VB − VA = Vₛ बनाता है। सुपरनोड के साथ नोडल विश्लेषण से नोड वोल्टता VA (ग्राउंड के सापेक्ष) ज्ञात कीजिए।
A और B के बीच वोल्टता स्रोत Vₛ का + टर्मिनल A पर है, इसलिए यह VA − VB = Vₛ बनाता है। सुपरनोड के साथ नोडल विश्लेषण से वोल्टता स्रोत से होकर, तीर के अनुसार A से B की ओर धारा Ix ज्ञात कीजिए।
मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R1 से होकर धारा IR1 ज्ञात कीजिए।
मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R4 से होकर धारा IR4 ज्ञात कीजिए।
अध्यारोपण से दर्शाई गई ध्रुवता के साथ R4 के सिरों पर वोल्टता VR4 ज्ञात कीजिए।
अध्यारोपण से दर्शाई गई ध्रुवता के साथ R3 के सिरों पर वोल्टता VR3 ज्ञात कीजिए।
टर्मिनल a–b से देखी गई थेवेनिन वोल्टता Vth ज्ञात कीजिए।
टर्मिनल a–b से देखी गई थेवेनिन वोल्टता Vth ज्ञात कीजिए।
स्रोत Vₛ, R₁ के माध्यम से संधारित्र को आवेशित करता है, और R₂, C के समांतर जुड़ा है। t = 0 पर स्विच बंद होते समय संधारित्र अनावेशित है। t = 50 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
R2 के आर-पार लगा स्विच लंबे समय से खुला है, इसलिए प्रेरक धारा स्थिर है। t = 0 पर स्विच बंद होता है और R2 को शॉर्ट कर देता है। t = 0 के कितनी देर बाद प्रेरक धारा 1.124 A तक पहुँचती है? t ज्ञात कीजिए।
एक श्रेणी RLC परिपथ 100 V (rms), 50 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।
एक प्रतिरोधक R1, R2 और एक संधारित्र C के समांतर संयोजन के साथ श्रेणी में, 100 V (rms), 50 Hz आपूर्ति के आर-पार जुड़ा है। rms धारा I ज्ञात कीजिए।
एक एकल-फ़ेज़ मोटर 230 V आपूर्ति से 0.9 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 34 kW लेती है। लाइन धारा I ज्ञात कीजिए।
एक एकल-फ़ेज़ भार 230 V, 50 Hz आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 35 kW लेता है। समांतर में जुड़ा संधारित्र शक्ति गुणक को 0.92 तक बढ़ाता है। संधारित्र द्वारा दी जाने वाली प्रतिघाती शक्ति QC ज्ञात कीजिए।
प्रति फ़ेज़ 24 + j7 Ω प्रतिबाधा वाला एक संतुलित Δ-संयोजित भार 480 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली संतुलित त्रि-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। भार द्वारा अवशोषित कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V (लाइन-से-लाइन), 50 Hz आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 120 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.92 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति QC kvar में ज्ञात कीजिए।
एक एकल-फ़ेज़ 25 kVA, 4800/240 V ट्रांसफ़ॉर्मर अपने निर्धारित भार पर चल रहा है। इसे आदर्श मानें। निम्न-वोल्टता कुंडली में धारा ILV ज्ञात कीजिए।
एक एकल-फ़ेज़ 75 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 450 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 1350 W है। किस भार Sη,max पर, kVA में, इसकी दक्षता सबसे अधिक होती है?
ऑप-एम्प आदर्श है और ±15 V आपूर्ति से चलता है। आउटपुट वोल्टता Vout ज्ञात कीजिए।
समाकलक ±15 V आपूर्ति वाले एक आदर्श ऑप-एम्प का उपयोग करता है; इसका आउटपुट ±12 V पर संतृप्त होता है। t = 0 पर स्थिर इनपुट Vin = −0.7 V लगाए जाने के समय संधारित्र अनावेशित है। t = 500 ms पर आउटपुट वोल्टता Vout ज्ञात कीजिए।
β = 80 वाले एक NPN ट्रांज़िस्टर को VCC = 20 V से वोल्टता-विभाजक बायस दिया गया है: VCC से आधार तक R₁ = 39 kΩ और आधार से भू तक R₂ = 10 kΩ। संग्राहक प्रतिरोधक RC = 1.5 kΩ और उत्सर्जक प्रतिरोधक RE = 1 kΩ है। VBE = 0.7 V लें और विभाजक के थेवेनिन तुल्य का उपयोग करें (आधार धारा की उपेक्षा न करें)। संग्राहक धारा IC mA में ज्ञात कीजिए।
5.1 V का ज़ेनर नियामक एक भार को 25 mA तक देता है। निवेश 12 V तक गिर सकता है, और नियमन के लिए ज़ेनर को कम से कम 1 mA चाहिए। वह सबसे बड़ा श्रेणी प्रतिरोध Rmax ज्ञात कीजिए जो नियमन बनाए रखे।
8-बिट पैटर्न 1111 1111 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?
एक प्रणाली को 1628 वस्तुओं में से हर एक को समान लंबाई का अपना द्विआधारी कोड देना है। कम से कम कितनी बिटें b चाहिए?
F = A′B′C + A′BC + AB′C′ + ABC को उसके न्यूनतम गुणनफलों के योग रूप में सरल करें। सरल किए गए व्यंजक में कितने लिटरल L हैं?
एक mod-6 काउंटर न्यूनतम संख्या के फ़्लिप-फ़्लॉप से बना है। संभव अवस्थाओं में से कितनी U कभी उपयोग नहीं होतीं?
आंशिक भिन्नों से F(s) = 10/(s(s + 1)(s + 6)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.8) का मान निकालिए।
एक तंत्र y″ + 8y′ + 12y = 12·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 2 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.5) ज्ञात कीजिए।
संयंत्र G(s) = K/((s + 2)(s + 4)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत लूप क्रांतिक अवमंदित है (दो बराबर वास्तविक ध्रुव)।
एक आनुपातिक नियंत्रक K एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में संयंत्र G(s) = 9/(s + 6) को चलाता है। R = 0 रहते हुए आकार 5 का विक्षोभ सोपान संयंत्र इनपुट पर प्रवेश करता है। वह न्यूनतम लब्धि K ज्ञात कीजिए जो स्थायी-अवस्था आउटपुट को 0.375 या उससे कम रखे।
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 87/(s² + 2s + 29) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। ts ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय ts ज्ञात कीजिए।
शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया 4.3 % अतिलंघन दिखाती है, और पहला शिखर t = 0.2 s पर आता है। प्राकृतिक आवृत्ति ωn ज्ञात कीजिए।
दर्शाए गए श्रेणी RLC बैंड-पारक फ़िल्टर में निर्गम R = 2 Ω के आर-पार लिया गया है, L = 1 mH और C = 0.1 µF के साथ। केंद्र (अनुनाद) आवृत्ति f0 Hz में ज्ञात कीजिए।
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 3 dB की लब्धि सीमा देती है।
आरेख वाले लूप का विवृत-लूप अंतरण फलन L(s) = K/(s(s + 5)(s + 6)) है। लब्धि तब तक बढ़ाई जाती है जब तक संवृत-लूप स्थायित्व की कगार पर नहीं आ जाता। सतत दोलन की आवृत्ति ω ज्ञात कीजिए।
L(s) = K/((s + 1)(s + 7)) का मूल बिंदुपथ दिखाया गया है। विचलन बिंदु sb पर लब्धि K ज्ञात कीजिए, जहाँ दोनों संवृत-लूप ध्रुव वास्तविक अक्ष पर मिलते हैं।
रैंप r(t) = 4t को G(s) = 5(s + 3)/(s(s + 4)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि ess ज्ञात कीजिए।
एक आनुपातिक नियंत्रक K = 40 संयंत्र G(s) = 1/(s(s + 10)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय tp ज्ञात कीजिए।
उत्तर: IR2 = 0.9906 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।
उत्तर: IR1 = 1.888 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
उत्तर: VA = −1 V
नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।
A और B के बीच का वोल्टता स्रोत एक अज्ञात धारा वहन करता है, इसलिए KCL को A या B पर अलग-अलग नहीं लिखा जा सकता। A, B और स्रोत को एक सुपरनोड में घेरें: उसमें प्रवेश करने वाली धारा उससे निकलने वाली धारा के बराबर है।
उत्तर: Ix = −3.475 A
नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।
A और B के बीच का वोल्टता स्रोत एक अज्ञात धारा वहन करता है, इसलिए KCL को A या B पर अलग-अलग नहीं लिखा जा सकता। A, B और स्रोत को एक सुपरनोड में घेरें: उसमें प्रवेश करने वाली धारा उससे निकलने वाली धारा के बराबर है।
केवल नोड A पर KCL: R₁ से होकर आने वाली धारा R₂ से और वोल्टता स्रोत से होकर निकलती है।
ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तविक धारा तीर के विपरीत बहती है।
उत्तर: IR1 = −0.09259 A
मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।
हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।
उत्तर: IR4 = 0.3678 A
मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।
हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2, I3। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।
उत्तर: VR4 = 18.5 V
अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।
Iₛ खुला परिपथ बन जाता है, इसलिए R₃ और R₄ A से ग्राउंड तक एक श्रेणी शाखा बनाते हैं, जो R₂ के समांतर है।
V₁ शॉर्ट बन जाता है, इसलिए R₁, R₂ के समांतर है। Iₛ, B पर R₄ और R₃ वाले पथ के बीच बँटता है।
ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तव में ध्रुवता अंकित के विपरीत है।
उत्तर: VR3 = 6.109 V
अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।
V₂ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। A से देखने पर R₃, श्रेणी युग्म R₂+R₄ के समांतर है।
दोनों वोल्टता स्रोत शॉर्ट बन जाते हैं। Iₛ, B पर R₄ (अब ग्राउंड तक) और R₁ ∥ R₃ के साथ श्रेणी में R₂ के बीच बँटता है।
V₁ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। R₁ ∥ R₃, A से जुड़ा है और R₂ के साथ श्रेणी में B तक लौटता है।
ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तव में ध्रुवता अंकित के विपरीत है।
उत्तर: Vth = 9 V
थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।
वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।
a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।
उत्तर: Vth = 35.14 V
थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।
वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।
a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।
उत्तर: vC = 2.245 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
Rth के लिए स्रोत को शॉर्ट करें; संधारित्र को हटाकर (खुला करके) वह वोल्टता ज्ञात करें जिस पर वह स्थिर होगा।
उत्तर: t = 1.523 ms
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
t = 0 से पहले दोनों प्रतिरोधक लूप में हैं; बाद में बंद स्विच R₂ को बायपास करता है।
उत्तर: I = 0.1474 A
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
श्रेणी परिपथ के हर अवयव से समान धारा बहती है।
उत्तर: I = 2.2 A
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
Zp को वास्तविक और काल्पनिक भागों में बाँटने के लिए अंश और हर को सम्मिश्र संयुग्मी से गुणा करें।
उत्तर: I = 164.3 A
AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।
शक्ति का केवल सक्रिय भाग कार्य करता है, इसलिए शक्ति गुणक से भाग दें।
उत्तर: QC = 26.01 kvar
AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।
सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।
उत्तर: P = 26.54 kW
संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ।
हर प्रतिबाधा का केवल प्रतिरोधी भाग वास्तविक शक्ति अवशोषित करता है।
जाँच: cos φ = R/|Z| = 0.96, और √3·VL·IL·cos φ से वही शक्ति मिलती है।
उत्तर: QC = 89.18 kvar
संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, QC = P·(tan φ1 − tan φ2)। तीनों संधारित्रों में से हर एक QC/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में VL, Y बैंक में VL/√3।
वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।
उत्तर: ILV = 104.2 A
आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।
दोनों कुंडलियाँ समान आभासी शक्ति वहन करती हैं।
उत्तर: Sη,max = 43.3 kVA
ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·Pcu,fl होती है। दक्षता η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), जहाँ Pout = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।
उत्तर: Vout = −3.781 V
आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।
V₋ = V₊, और R₁ से होकर धारा Rf से होकर भी बहती है।
उत्तर: Vout = 7.447 V
आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।
kΩ गुणा µF से मिलीसेकंड मिलते हैं।
आदर्श मान ±Vsat के भीतर है, इसलिए समाकलक अभी क्लिप नहीं हुआ है।
उत्तर: IC = 3.041 mA
BJT बायस बिंदु: सक्रिय क्षेत्र में VBE = 0.7 V, IC = β·IB और IE = (β + 1)·IB। KVL से आधार लूप में IB ज्ञात करें, फिर IC, फिर संग्राहक–उत्सर्जक लूप से VCE। आधार पर वोल्टता विभाजक को उसके थेवेनिन तुल्य VTH = VCC·R₂/(R₁ + R₂), RTH = R₁∥R₂ से बदला जाता है; उत्सर्जक प्रतिरोधक आधार लूप में (β + 1) गुना बड़ा दिखता है।
आधार लूप के चारों ओर KVL; उत्सर्जक धारा (β + 1)·IB है।
उत्तर: Rmax = 265.4 Ω
ज़ेनर नियामक: विपरीत-अभिनत ज़ेनर डायोड अपनी वोल्टता VZ तब तक बनाए रखता है जब तक उसकी धारा न्यूनतम IZ,min से ऊपर रहे। श्रेणी प्रतिरोधक R निवेश और निर्गत का अंतर वहन करता है: IR = (Vin − VZ)/R। वह धारा भार, IL = VZ/RL, और ज़ेनर, IZ = IR − IL, के बीच बँटती है। सबसे बुरी स्थितियों के लिए अभिकल्पन करें: सबसे कम निवेश के साथ सबसे बड़े भार पर भी IZ,min बचना चाहिए, और सबसे ऊँचे निवेश के साथ बिना भार के ज़ेनर की सबसे बड़ी शक्ति PZ = VZ·IZ मिलती है।
उत्तर: N = −1
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।
उत्तर: b = 11 bit
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
उत्तर: L = 7
बूलीय बीजगणित: व्यंजकों को सरल करने वाले नियम हैं X + X′ = 1 और X·X′ = 0, X + X = X, अवशोषण X + X·Y = X, संयोजन नियम X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y और सहमति प्रमेय XY + X′Z + YZ = XY + X′Z। डी मॉर्गन के नियम (X·Y)′ को X′ + Y′ में और (X + Y)′ को X′·Y′ में बदलते हैं। कार्नो मानचित्र इन नियमों को चित्रात्मक रूप से लगाता है: दो पड़ोसी खानों का हर समूह XY + XY′ = X का एक उपयोग है।
उत्तर: U = 2
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।
उत्तर: f(0.8) = 0.7708
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
उत्तर: y(0.5) = 0.9461
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
उत्तर: K = 1
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
द्विघात s² + βs + γ का द्विक मूल तब होता है जब β² = 4γ।
उत्तर: K = 12.67
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
उत्तर: ts = 4 s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
उत्तर: ωn = 22.23 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
उत्तर: f0 = 15915 Hz
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
उत्तर: K = 396.4
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
उत्तर: ω = 5.477 rad/s
राउथ–हरविट्ज़ कसौटी: कोई रैखिक तंत्र तब स्थायी होता है जब उसके अभिलाक्षणिक बहुपद का हर मूल s-तल के बाएँ अर्ध-तल में हो। गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में लिखें। नई पंक्ति की हर प्रविष्टि ऊपर की दो पंक्तियों से बनती है; त्रिघात a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ के लिए s¹ प्रविष्टि b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ है। पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दाएँ अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर होती है। गुणांकों में लब्धि K होने पर पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहनी चाहिए: जिस लब्धि पर s¹ प्रविष्टि शून्य हो जाती है वही स्थायित्व की सीमा है, और तब s² पंक्ति सतत दोलन की आवृत्ति देती है।
क्रांतिक लब्धि पर s¹ पंक्ति शून्य होती है; s² पंक्ति काल्पनिक अक्ष पर स्थित ध्रुव देती है।
उत्तर: K = 9
मूल बिंदुपथ: जैसे-जैसे लब्धि K 0 से ∞ तक बढ़ती है, संवृत-लूप ध्रुव, यानी 1 + K·G(s) = 0 के मूल, विवृत-लूप ध्रुवों से विवृत-लूप शून्यों की ओर या अनंत की ओर चलते हैं। वास्तविक अक्ष पर कोई बिंदु तब बिंदुपथ का भाग होता है जब उसके दाईं ओर वास्तविक ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या विषम हो। अनंत की ओर जाने वाली n − m शाखाएँ कोणों (2q + 1)·180°/(n − m) वाली अनंतस्पर्शियों के अनुदिश चलती हैं, जो केंद्रक σₐ = (Σ ध्रुव − Σ शून्य)/(n − m) से शुरू होती हैं। शाखाएँ वहाँ वास्तविक अक्ष छोड़ती या उससे मिलती हैं जहाँ dK/ds = 0 हो। कोण शर्त ∠G(s) = 180° आकार तय करती है, और परिमाण शर्त K = 1/|G(s)| बिंदुपथ के किसी भी बिंदु पर लब्धि देती है।
K = −(s + 1)(s + 7) के लिए dK/ds = 0 से 2s + 8 = 0 मिलता है।
इस लब्धि पर संवृत-लूप क्रांतिक रूप से अवमंदित होता है (ζ = 1)।
उत्तर: ess = 1.067
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
उत्तर: tp = 0.8112 s
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
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