सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 40 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
स्रोत द्वारा दी गई धारा IR1 ज्ञात कीजिए, जो R1 से होकर बहती है।
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
नोडल विश्लेषण से नोड वोल्टता VB (ग्राउंड के सापेक्ष) ज्ञात कीजिए।
धारा स्रोत को तब तक समायोजित किया जाता है जब तक A पर नोड वोल्टता VA = 14 V न हो जाए। नोडल विश्लेषण से स्रोत धारा Is (दिखाई गई दिशा) ज्ञात कीजिए।
मेश विश्लेषण से मेश धारा I2 (दक्षिणावर्त) ज्ञात कीजिए।
मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R1 से होकर धारा IR1 ज्ञात कीजिए।
अध्यारोपण से तीर की दिशा में R1 से होकर धारा IR1 ज्ञात कीजिए।
अध्यारोपण से दर्शाई गई ध्रुवता के साथ R3 के सिरों पर वोल्टता VR3 ज्ञात कीजिए।
टर्मिनल a–b से देखा गया थेवेनिन प्रतिरोध Rth ज्ञात कीजिए।
a–b के बीच भार RL = 15 Ω जुड़ा है। थेवेनिन समतुल्य से भार को दी गई शक्ति PL ज्ञात कीजिए।
प्रेरक 2.5 A की स्थिर धारा वहन करता है। t = 0 पर स्विच R से होकर लूप बंद करता है और स्रोत हटा दिया जाता है, इसलिए प्रेरक धारा R से होकर क्षय होती है। t = 1 ms पर धारा i ज्ञात कीजिए।
t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 6 V है। t = 750 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
एक श्रेणी RLC परिपथ 24 V (rms), 60 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।
एक प्रतिरोधक R1, R2 और एक संधारित्र C के समांतर संयोजन के साथ श्रेणी में, 12 V (rms), 100 Hz आपूर्ति के आर-पार जुड़ा है। प्रतिबाधा का परिमाण |Z| ज्ञात कीजिए।
एक प्रेरकीय भार 240 V (rms) एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से 5 A और 720 W लेता है। इसे प्रतिघात X के साथ श्रेणी में एक प्रतिरोध R के रूप में मॉडल करें। R ज्ञात कीजिए।
एक 150 kVA एकल-फ़ेज़ ट्रांसफ़ॉर्मर 0.75 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 57 kW का भार आपूर्ति करता है। ट्रांसफ़ॉर्मर के अपनी kVA रेटिंग तक पहुँचने से पहले प्रतिरोधी (एकांक शक्ति गुणक) भार के रूप में कितनी अतिरिक्त सक्रिय शक्ति ΔP जोड़ी जा सकती है?
प्रति फ़ेज़ 12 + j9 Ω प्रतिबाधा वाला एक संतुलित Y-संयोजित भार 415 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली संतुलित त्रि-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। भार द्वारा अवशोषित कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 415 V (लाइन-से-लाइन), 50 Hz आपूर्ति से 0.78 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 60 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.95 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति QC kvar में ज्ञात कीजिए।
फेरा अनुपात N₁:N₂ = 5:1 वाले एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर की प्राथमिक कुंडली पर 600 V लगाया गया है। द्वितीयक कुंडली के सिरों पर 10 Ω का प्रतिरोधक जुड़ा है। प्राथमिक धारा I1 ज्ञात कीजिए।
एक एकल-फ़ेज़ 25 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 125 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 500 W है। यह 0.9 पश्चगामी शक्ति गुणक पर अपने निर्धारित kVA का 75% देता है। इस भार पर कुल हानियाँ Ploss वाट में ज्ञात कीजिए।
अंतर एम्पलीफ़ायर ±15 V आपूर्ति वाले एक आदर्श ऑप-एम्प का उपयोग करता है, जहाँ R3 = R1 और R4 = R2। आउटपुट वोल्टता Vout ज्ञात कीजिए।
ऑप-एम्प आदर्श है और ±15 V आपूर्ति से चलता है। प्रतिरोधक अनुपात मेल नहीं खाते। आउटपुट वोल्टता Vout ज्ञात कीजिए।
3.3 V का ज़ेनर नियामक 20 V से 220 Ω के माध्यम से जुड़ा है और 3300 Ω का भार चलाता है। ज़ेनर धारा IZ ज्ञात कीजिए।
6.2 V के ज़ेनर नियामक में 680 Ω का श्रेणी प्रतिरोधक है। निवेश 19 V तक बढ़ सकता है, और भार हट सकता है। वह सबसे बड़ी शक्ति PZ,max ज्ञात कीजिए जो ज़ेनर को क्षयित करनी पड़ेगी।
8-बिट पैटर्न 1101 1101 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?
एक प्रणाली को 1285 वस्तुओं में से हर एक को समान लंबाई का अपना द्विआधारी कोड देना है। कम से कम कितनी बिटें b चाहिए?
एक 4-से-1 मल्टीप्लेक्सर के चयन निवेश S₁ = A और S₀ = B हैं, और उसके डेटा निवेश I₀ = C′, I₁ = C′, I₂ = C′, I₃ = 0 से जुड़े हैं। A, B और C के 8 संयोजनों में से कितनों के लिए निर्गत F = 1 है? N ज्ञात करें।
एक mod-6 काउंटर न्यूनतम संख्या के फ़्लिप-फ़्लॉप से बना है। संभव अवस्थाओं में से कितनी U कभी उपयोग नहीं होतीं?
F(s) = (6s + 26)/(s² + 4s + 4) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए और f(0.6) का मान निकालिए।
एक तंत्र y″ + 11y′ + 30y = 150·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 5 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.1) ज्ञात कीजिए।
एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 28/(s(s + 9)) है। संदर्भ एक रैंप r(t) = 10·t है। स्थायी-अवस्था त्रुटि ess ज्ञात कीजिए।
संयंत्र G(s) = K/((s + 1)(s + 7)(s + 8)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। अधिकतम स्थायी लब्धि पर लूप दोलन करता है। दोलन की आवृत्ति ω rad/s में ज्ञात कीजिए।
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 87/(s² + 13s + 87) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
R = 117 Ω, L = 100 mH और C = 4.7 µF वाला एक श्रेणी RLC परिपथ t = 0 पर 12 V सोपान से जोड़ा जाता है। सोपान से पहले संधारित्र अनावेशित है और कोई धारा नहीं बहती। अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति ωn rad/s में ज्ञात कीजिए।
G(s) = 315/((s + 3)(s + 7)) का ω = 30 rad/s पर सटीक परिमाण |G(jω)| dB में ज्ञात कीजिए।
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 47.5/(s(s + 5)) है। लब्धि क्रॉसओवर आवृत्ति ωc ज्ञात कीजिए, जहाँ |L(jω)| = 1।
संयंत्र G(s) = (s + 1)/((s − 1)(s + 5)) का एक अस्थायी ध्रुव s = 1 पर है। एक आनुपातिक लब्धि K इसके चारों ओर एकांक पुनर्निवेश लूप बनाती है। वह सबसे छोटी लब्धि Kmin ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप को स्थायी बनाती है।
एक एकांक पुनर्निवेश लूप में L(s) = K(s + 1)/((s + 2)(s + 3)(s + 6)(s + 8)) है। वह बिंदु σa ज्ञात कीजिए जहाँ मूल बिंदुपथ की अनंतस्पर्शियाँ वास्तविक अक्ष को काटती हैं।
G(s) = K/(s(s + 1)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप को रैंप r(t) = 10t का अनुसरण 0.1 की स्थायी-अवस्था त्रुटि के साथ करना है। लब्धि K ज्ञात कीजिए।
एक PI नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s संयंत्र G(s) = 10/(s + 2) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। संवृत-लूप में ωₙ = 6 rad/s और ζ = 0.8 होना चाहिए। समाकल लब्धि Ki ज्ञात कीजिए।
उत्तर: IR1 = 0.2457 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
उत्तर: Req = 36.12 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
उत्तर: VB = −4.324 V
नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।
ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V1 = 15 V)। अज्ञात: VA, VB।
प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।
प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।
उत्तर: Is = 3.528 A
नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।
VA ज्ञात है, इसलिए यह समीकरण VB देता है।
प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में धकेली गई धारा के बराबर हैं।
उत्तर: I2 = −2.647 A
मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।
हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।
उत्तर: IR1 = 3.008 A
मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।
हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2, I3। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।
उत्तर: IR1 = 0.3409 A
अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।
Iₛ खुला परिपथ बन जाता है, इसलिए R₃ और R₄ A से ग्राउंड तक एक श्रेणी शाखा बनाते हैं, जो R₂ के समांतर है।
V₁ शॉर्ट बन जाता है, इसलिए R₁, R₂ के समांतर है। Iₛ, B पर R₄ और R₃ वाले पथ के बीच बँटता है।
ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तव में धारा तीर के विपरीत बहती है।
उत्तर: VR3 = −3.882 V
अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।
V₂ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। A से देखने पर R₃, श्रेणी युग्म R₂+R₄ के समांतर है।
दोनों वोल्टता स्रोत शॉर्ट बन जाते हैं। Iₛ, B पर R₄ (अब ग्राउंड तक) और R₁ ∥ R₃ के साथ श्रेणी में R₂ के बीच बँटता है।
V₁ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। R₁ ∥ R₃, A से जुड़ा है और R₂ के साथ श्रेणी में B तक लौटता है।
ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तव में ध्रुवता अंकित के विपरीत है।
उत्तर: Rth = 15.08 Ω
थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।
वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।
उत्तर: PL = 76.48 W
थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।
वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।
a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।
थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।
उत्तर: i = 0.02274 A
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
उत्तर: vC = 7.577 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।
उत्तर: φ = −73.7 °
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
उत्तर: |Z| = 76.85 Ω
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
Zp को वास्तविक और काल्पनिक भागों में बाँटने के लिए अंश और हर को सम्मिश्र संयुग्मी से गुणा करें।
उत्तर: R = 28.8 Ω
AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।
उत्तर: ΔP = 84.33 kW
AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।
पूरी रेटिंग पर S = Smax, और प्रतिरोधी भार से Q नहीं बदलता।
उत्तर: P = 9.185 kW
संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ।
हर प्रतिबाधा का केवल प्रतिरोधी भाग वास्तविक शक्ति अवशोषित करता है।
जाँच: cos φ = R/|Z| = 0.8, और √3·VL·IL·cos φ से वही शक्ति मिलती है।
उत्तर: QC = 28.42 kvar
संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, QC = P·(tan φ1 − tan φ2)। तीनों संधारित्रों में से हर एक QC/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में VL, Y बैंक में VL/√3।
वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।
उत्तर: I1 = 2.4 A
आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।
आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर में कोई हानि नहीं होती: V₁·I₁ = V₂·I₂।
जाँच: प्राथमिक से दिखने वाला भार a²·RL = 250 Ω है, और 600/250 से वही धारा मिलती है।
उत्तर: Ploss = 406.3 W
ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·Pcu,fl होती है। दक्षता η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), जहाँ Pout = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।
क्रोड हानि किसी भी भार पर समान रहती है।
इस भार पर दक्षता η = 97.65% है।
उत्तर: Vout = −0.5149 V
आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।
R₃ और R₄ समान धारा वहन करते हैं, इसलिए वे वोल्टता विभाजक बनाते हैं; पुनर्निवेश V₋ = V₊ बनाता है।
उत्तर: Vout = 6.14 V
आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।
V₂ = 0 पर V₁ एक इनवर्टिंग एम्पलीफ़ायर देखता है। V₁ = 0 पर V₊ नॉन-इनवर्टिंग लब्धि 1 + R₂/R₁ से प्रवर्धित होता है।
उत्तर: IZ = 74.91 mA
ज़ेनर नियामक: विपरीत-अभिनत ज़ेनर डायोड अपनी वोल्टता VZ तब तक बनाए रखता है जब तक उसकी धारा न्यूनतम IZ,min से ऊपर रहे। श्रेणी प्रतिरोधक R निवेश और निर्गत का अंतर वहन करता है: IR = (Vin − VZ)/R। वह धारा भार, IL = VZ/RL, और ज़ेनर, IZ = IR − IL, के बीच बँटती है। सबसे बुरी स्थितियों के लिए अभिकल्पन करें: सबसे कम निवेश के साथ सबसे बड़े भार पर भी IZ,min बचना चाहिए, और सबसे ऊँचे निवेश के साथ बिना भार के ज़ेनर की सबसे बड़ी शक्ति PZ = VZ·IZ मिलती है।
उत्तर: PZ,max = 116.7 mW
ज़ेनर नियामक: विपरीत-अभिनत ज़ेनर डायोड अपनी वोल्टता VZ तब तक बनाए रखता है जब तक उसकी धारा न्यूनतम IZ,min से ऊपर रहे। श्रेणी प्रतिरोधक R निवेश और निर्गत का अंतर वहन करता है: IR = (Vin − VZ)/R। वह धारा भार, IL = VZ/RL, और ज़ेनर, IZ = IR − IL, के बीच बँटती है। सबसे बुरी स्थितियों के लिए अभिकल्पन करें: सबसे कम निवेश के साथ सबसे बड़े भार पर भी IZ,min बचना चाहिए, और सबसे ऊँचे निवेश के साथ बिना भार के ज़ेनर की सबसे बड़ी शक्ति PZ = VZ·IZ मिलती है।
उत्तर: N = −35
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।
उत्तर: b = 11 bit
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
उत्तर: N = 3
मल्टीप्लेक्सर: 2ⁿ-से-1 मल्टीप्लेक्सर अपने डेटा निवेशों में से एक को निर्गत तक पहुँचाता है; चयन लाइनें, द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ी जाकर, तय करती हैं कि कौन-सा। चयन S₁S₀ = AB वाले 4-से-1 MUX के लिए F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃। डेटा निवेशों को 0, 1, C या C′ से जोड़ने पर MUX A, B और C का कोई भी फलन बना सकता है, जो एक ही चिप से लॉजिक बनाने का आम तरीका है।
उत्तर: U = 2
फ़्लिप-फ़्लॉप और काउंटर: फ़्लिप-फ़्लॉप केवल सक्रिय क्लॉक कोर पर बदलता है। D अपना निवेश कॉपी करता है (Q⁺ = D); T तब टॉगल करता है जब T = 1; JK 00 पर स्थिर रहता है, 01 पर रीसेट करता है, 10 पर सेट करता है और 11 पर टॉगल करता है। n-बिट द्विआधारी काउंटर की 2ⁿ अवस्थाएँ होती हैं और वह 2ⁿ के मापांक में गिनता है; mod-N काउंटर 0, 1, …, N − 1 तक जाकर फिर 0 पर लौटता है, और उसे ऐसे सबसे छोटे n फ़्लिप-फ़्लॉप चाहिए जिसमें 2ⁿ ≥ N हो। रिपल काउंटर का हर चरण आवृत्ति को आधा कर देता है, इसलिए mod-N काउंटर का अंतिम निर्गत fclk/N पर चलता है। n फ़्लिप-फ़्लॉप वाले जॉनसन काउंटर की 2n अवस्थाएँ होती हैं, रिंग काउंटर की n।
उत्तर: f(0.6) = 4.337
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
उत्तर: y(0.1) = 2.622
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
उत्तर: ess = 3.214
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
उत्तर: ω = 8.426 rad/s
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
पहले स्तंभ की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक होनी चाहिए।
उत्तर: %OS = 4.724 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
उत्तर: ωn = 1459 rad/s
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
उत्तर: |G(jω)| = −9.392 dB
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
उत्तर: ωc = 6.051 rad/s
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
उत्तर: Kmin = 5
राउथ–हरविट्ज़ कसौटी: कोई रैखिक तंत्र तब स्थायी होता है जब उसके अभिलाक्षणिक बहुपद का हर मूल s-तल के बाएँ अर्ध-तल में हो। गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में लिखें। नई पंक्ति की हर प्रविष्टि ऊपर की दो पंक्तियों से बनती है; त्रिघात a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ के लिए s¹ प्रविष्टि b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ है। पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दाएँ अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर होती है। गुणांकों में लब्धि K होने पर पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहनी चाहिए: जिस लब्धि पर s¹ प्रविष्टि शून्य हो जाती है वही स्थायित्व की सीमा है, और तब s² पंक्ति सतत दोलन की आवृत्ति देती है।
s² + c₁s + c₀ के सभी मूल बाएँ अर्ध-तल में ठीक तभी होते हैं जब c₁ > 0 और c₀ > 0 हो।
उत्तर: σa = −6
मूल बिंदुपथ: जैसे-जैसे लब्धि K 0 से ∞ तक बढ़ती है, संवृत-लूप ध्रुव, यानी 1 + K·G(s) = 0 के मूल, विवृत-लूप ध्रुवों से विवृत-लूप शून्यों की ओर या अनंत की ओर चलते हैं। वास्तविक अक्ष पर कोई बिंदु तब बिंदुपथ का भाग होता है जब उसके दाईं ओर वास्तविक ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या विषम हो। अनंत की ओर जाने वाली n − m शाखाएँ कोणों (2q + 1)·180°/(n − m) वाली अनंतस्पर्शियों के अनुदिश चलती हैं, जो केंद्रक σₐ = (Σ ध्रुव − Σ शून्य)/(n − m) से शुरू होती हैं। शाखाएँ वहाँ वास्तविक अक्ष छोड़ती या उससे मिलती हैं जहाँ dK/ds = 0 हो। कोण शर्त ∠G(s) = 180° आकार तय करती है, और परिमाण शर्त K = 1/|G(s)| बिंदुपथ के किसी भी बिंदु पर लब्धि देती है।
3 अनंतस्पर्शियाँ केंद्रक से 60°, 180°, 300° के कोणों पर निकलती हैं।
उत्तर: K = 100
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
बड़ी लब्धि इस लूप को बहुत हल्का अवमंदित बना देती है: ζ = 0.05। इसी विरोध के कारण क्षतिपूरक (कम्पेन्सेटर) उपयोग किए जाते हैं।
उत्तर: Ki = 3.6
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
1 + C(s)G(s) = 0, जिसे s(s + 2) से गुणा किया गया है।
समाकल पद लूप को प्रकार-1 बना देता है, इसलिए सोपान का अनुसरण स्थायी-अवस्था त्रुटि के बिना होता है।
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