सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 40 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।
स्रोत V1 द्वारा देखा गया समतुल्य प्रतिरोध Req ज्ञात कीजिए।
R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R3 से होकर धारा IR3 ज्ञात कीजिए।
नोडल विश्लेषण से तीर की दिशा में R4 से होकर धारा IR4 ज्ञात कीजिए।
मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R1 से होकर धारा IR1 ज्ञात कीजिए।
मेश विश्लेषण से तीर की दिशा में R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
अध्यारोपण से R3 द्वारा अवशोषित शक्ति PR3 ज्ञात कीजिए।
अध्यारोपण से तीर की दिशा में R2 से होकर धारा IR2 ज्ञात कीजिए।
a–b के बीच भार RL = 6 Ω जुड़ा है। बाकी परिपथ को उसके थेवेनिन समतुल्य से बदलें और भार धारा IL ज्ञात कीजिए।
a–b के बीच भार RL = 12 Ω जुड़ा है। थेवेनिन समतुल्य से भार को दी गई शक्ति PL ज्ञात कीजिए।
t = 0 पर स्विच बंद होने से पहले प्रेरक में कोई धारा नहीं है। t = 1 ms पर प्रेरक पर वोल्टता vL ज्ञात कीजिए।
t = 0 पर स्विच बंद होने से ठीक पहले संधारित्र पर दर्शाई ध्रुवता के साथ 30 V है। t = 300 ms पर संधारित्र वोल्टता vC ज्ञात कीजिए।
एक श्रेणी RLC परिपथ 12 V (rms), 100 Hz आपूर्ति से जुड़ा है। प्रतिबाधा का कलान्तर कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए (धनात्मक जब धारा वोल्टता से पीछे हो)।
एक श्रेणी RLC परिपथ को 24 V (rms) स्रोत से चलाया जाता है जिसकी आवृत्ति परिपथ की अनुनादी आवृत्ति पर सेट है। प्रेरक पर rms वोल्टता VL ज्ञात कीजिए।
230 V एकल-फ़ेज़ आपूर्ति से दो भार समांतर में जुड़े हैं: 0.85 पश्चगामी शक्ति गुणक पर एक 4 kW भार और एक 18 kW हीटर (एकांक शक्ति गुणक)। आपूर्ति से ली गई कुल धारा I ज्ञात कीजिए।
एक एकल-फ़ेज़ भार 230 V, 50 Hz आपूर्ति से 0.65 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 50 kW लेता है। समांतर में जुड़ा संधारित्र शक्ति गुणक को 0.9 तक बढ़ाता है। नई लाइन धारा Inew ज्ञात कीजिए।
प्रति फ़ेज़ 12 + j16 Ω प्रतिबाधा वाला एक संतुलित Δ-संयोजित भार 415 V लाइन-से-लाइन वोल्टता वाली संतुलित त्रि-फ़ेज़ आपूर्ति से जुड़ा है। भार द्वारा अवशोषित कुल वास्तविक शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।
एक संतुलित त्रि-फ़ेज़ भार 400 V (लाइन-से-लाइन), 60 Hz आपूर्ति से 0.78 पश्चगामी शक्ति गुणक पर 60 kW लेता है। भार के समांतर एक त्रि-फ़ेज़ संधारित्र बैंक को समग्र शक्ति गुणक 0.98 पश्चगामी तक बढ़ाना है। वास्तविक शक्ति समान रहती है। संधारित्र बैंक द्वारा दी जाने वाली कुल प्रतिघाती शक्ति QC kvar में ज्ञात कीजिए।
फेरा अनुपात N₁:N₂ = 5:1 वाले एक आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर की प्राथमिक कुंडली पर 600 V लगाया गया है। द्वितीयक कुंडली के सिरों पर 10 Ω का प्रतिरोधक जुड़ा है। प्राथमिक धारा I1 ज्ञात कीजिए।
एक एकल-फ़ेज़ 150 kVA ट्रांसफ़ॉर्मर की क्रोड हानि 750 W और निर्धारित भार पर ताम्र हानि 1500 W है। यह 0.95 पश्चगामी शक्ति गुणक पर अपने निर्धारित kVA का 75% देता है। इस भार पर कुल हानियाँ Ploss वाट में ज्ञात कीजिए।
पुनर्निवेश प्रतिरोधक Rf चुनें जो इस नॉन-इनवर्टिंग एम्पलीफ़ायर को 2 की वोल्टता लब्धि दे।
दो आदर्श ऑप-एम्प चरण सोपानी (कैस्केड) क्रम में जुड़े हैं: एक इनवर्टिंग एम्पलीफ़ायर (R1, Rf1) और उसके बाद एक नॉन-इनवर्टिंग एम्पलीफ़ायर (ग्राउंड तक R2, पुनर्निवेश में Rf2)। दोनों ±15 V आपूर्ति से चलते हैं। इनपुट Vin = 0.8 V है। आउटपुट वोल्टता Vout ज्ञात कीजिए।
5.6 V का ज़ेनर नियामक 12 V से 270 Ω के माध्यम से जुड़ा है और 680 Ω का भार चलाता है। ज़ेनर धारा IZ ज्ञात कीजिए।
एक डायोड को 5 Ω के साथ श्रेणी में 0.65 V के रूप में मॉडल किया गया है (वह 0.65 V से ऊपर चालन करता है)। वह 330 Ω प्रतिरोधक के साथ श्रेणी में 6 V आपूर्ति से जुड़ा है। प्रचालन धारा ID ज्ञात कीजिए, जहाँ डायोड रेखा भार रेखा से मिलती है।
8-बिट पैटर्न 1010 1100 दो के पूरक में एक चिह्नित पूर्णांक संग्रहीत करता है। दशमलव में इसका मान N क्या है?
बिट को 0011 0111 << 1 के 8-बिट परिणाम पर सेट करें। दशमलव में परिणाम का मान R क्या है?
F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 6, 7) का न्यूनतम गुणनफलों का योग (SOP) रूप कार्नो मानचित्र से ज्ञात करें। उसमें कुल कितने लिटरल L हैं (प्राइम वाला चर एक लिटरल गिना जाता है)?
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 10, 11, 12, 14, 15) + d(7, 8, 9, 13) का न्यूनतम SOP रूप ज्ञात करें, जहाँ d डोंट-केयर स्थितियों को दर्शाता है। उसमें कितने लिटरल L हैं?
आंशिक भिन्नों से F(s) = 60/(s(s + 4)(s + 6)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.3) का मान निकालिए।
एक तंत्र y″ + 9y′ + 18y = 27·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 5 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.3) ज्ञात कीजिए।
संयंत्र G(s) = 7/(s + 5) में लब्धि H₁ = 0.5 वाला एक भीतरी (गौण) ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप है। नियंत्रक लब्धि K = 19 और एक बाहरी एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप तंत्र को बंद करते हैं। संवृत-लूप ध्रुव p ज्ञात कीजिए।
संयंत्र G(s) = 14/(s(s + 4)) सेंसर लब्धि H = 0.5 वाले ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। संवृत-लूप ध्रुव सम्मिश्र हैं। उनका वास्तविक भाग σ ज्ञात कीजिए।
एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 75/(s² + 7s + 75) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।
एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 5)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 15 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।
दर्शाए गए RC उच्च-पारक फ़िल्टर में R = 3.3 kΩ, C = 100 nF है। 240 Hz का एक ज्यावक्रीय निवेश लगाया जाता है। vin के सापेक्ष vout का कला अंतर φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।
एकल-पुनर्भरण पाश का खुला-पाश अंतरण फलन L(s) = 64/(s(s + 4)) है। लब्धि क्रॉसओवर आवृत्ति ωc ज्ञात कीजिए, जहाँ |L(jω)| = 1।
संयंत्र G(s) = (s + 4)/((s − 3)(s + 5)) का एक अस्थायी ध्रुव s = 3 पर है। एक आनुपातिक लब्धि K इसके चारों ओर एकांक पुनर्निवेश लूप बनाती है। वह सबसे छोटी लब्धि Kmin ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप को स्थायी बनाती है।
L(s) = K(s + 15)/(s(s + 7)) का मूल बिंदुपथ s = 0 और s = −7 के बीच वास्तविक अक्ष को छोड़ता है, चक्कर लगाता है और शून्य के बाईं ओर फिर वास्तविक अक्ष से मिल जाता है। संगम बिंदु si ज्ञात कीजिए।
रैंप r(t) = 5t को G(s) = 5(s + 3)/(s(s + 1)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि ess ज्ञात कीजिए।
एक आनुपातिक नियंत्रक K = 40 संयंत्र G(s) = 2/(s(s + 8)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय tp ज्ञात कीजिए।
उत्तर: Req = 11.57 Ω
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
उत्तर: IR2 = 2.382 A
श्रेणी और समांतर प्रतिरोधक: श्रेणी में हर प्रतिरोधक से समान धारा बहती है और R = R₁ + R₂ + …। समांतर में हर प्रतिरोधक पर समान वोल्टता होती है और 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …। सीढ़ी नेटवर्क को एक-एक युग्म घटाया जाता है जब तक एक समतुल्य प्रतिरोध न बचे।
स्रोत से सबसे दूर वाले सिरे से शुरू करें और उसकी ओर लौटें। समान धारा वाले प्रतिरोधक श्रेणी में हैं; समान दो नोड के बीच वाले प्रतिरोधक समांतर में हैं।
स्रोत केवल Req देखता है, इसलिए ओम का नियम उसकी दी धारा देता है। यह धारा R₁ से होकर बहती है।
नोड A पर वोल्टता पाने के लिए R₁ पर पात घटाएँ, जो R₂ पर वोल्टता है।
उत्तर: IR3 = −0.4459 A
नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।
ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V1 = 12 V)। अज्ञात: VA, VB।
प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।
प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।
उत्तर: IR4 = 1.598 A
नोडल विश्लेषण: एक संदर्भ नोड चुनें, अज्ञात नोड वोल्टताओं को नाम दें, ओम के नियम (I = ΔV/R) से हर अज्ञात नोड पर किरचॉफ़ धारा नियम लिखें, और समीकरण हल करें।
ग्राउंड नीचे वाला तार है। ज्ञात नोड वोल्टताएँ सीधे स्रोतों से मिलती हैं (V1 = 24 V, V2 = −36 V)। अज्ञात: VA, VB।
प्रतिरोधकों से होकर A से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा A में भेजी गई धारा के बराबर हैं।
प्रतिरोधकों से होकर B से निकलने वाली धाराएँ स्रोतों द्वारा B में भेजी गई धारा के बराबर हैं।
उत्तर: IR1 = −0.2308 A
मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।
हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।
उत्तर: IR2 = −1.012 A
मेश विश्लेषण: समतलीय परिपथ की हर खिड़की को अपनी लूप धारा दें, हर लूप के चारों ओर किरचॉफ़ वोल्टता नियम लिखें (पातों का योग = वृद्धियों का योग), और हल करें। शाखा धाराएँ मेश धारा होती हैं, या साझा शाखा पर दो मेश धाराओं का अंतर।
हर खिड़की में दक्षिणावर्त धारा बनाएँ: I1, I2, I3। दो मेश में साझा प्रतिरोधक उनकी धाराओं का अंतर वहन करता है।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
दक्षिणावर्त चलते हुए प्रतिरोधकों पर वोल्टता पात, स्रोतों की वोल्टता वृद्धि के बराबर होते हैं (चलने की दिशा में − से +)।
ऋणात्मक मेश धारा वामावर्त बहती है।
उत्तर: PR3 = 11.46 W
अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।
Iₛ खुला परिपथ बन जाता है, इसलिए R₃ और R₄ A से ग्राउंड तक एक श्रेणी शाखा बनाते हैं, जो R₂ के समांतर है।
V₁ शॉर्ट बन जाता है, इसलिए R₁, R₂ के समांतर है। Iₛ, B पर R₄ और R₃ वाले पथ के बीच बँटता है।
शक्ति धारा के वर्ग पर निर्भर करती है, इसलिए वह अध्यारोपण का पालन नहीं करती: पहले धाराएँ जोड़ें, फिर वर्ग करें।
अलग-अलग स्थितियों की शक्तियाँ जोड़ने से 15.01 W आता, जो गलत है।
उत्तर: IR2 = −1.1 A
अध्यारोपण: रैखिक परिपथ में कोई भी वोल्टता या धारा, हर स्वतंत्र स्रोत के अकेले कार्य करने पर मिलने वाली अनुक्रियाओं का योग होती है। किसी स्रोत को बंद करने के लिए आदर्श वोल्टता स्रोत को शॉर्ट सर्किट और आदर्श धारा स्रोत को खुले परिपथ से बदलें। प्रतिरोधक अपनी जगह रहते हैं।
V₂ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। A से देखने पर R₃, श्रेणी युग्म R₂+R₄ के समांतर है।
दोनों वोल्टता स्रोत शॉर्ट बन जाते हैं। Iₛ, B पर R₄ (अब ग्राउंड तक) और R₁ ∥ R₃ के साथ श्रेणी में R₂ के बीच बँटता है।
V₁ शॉर्ट और Iₛ खुला परिपथ बन जाता है। R₁ ∥ R₃, A से जुड़ा है और R₂ के साथ श्रेणी में B तक लौटता है।
ऋणात्मक परिणाम का अर्थ है कि वास्तव में धारा तीर के विपरीत बहती है।
उत्तर: IL = 0.4286 A
थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।
वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।
a–b खुला होने पर R₃ में धारा नहीं बहती, इसलिए उस पर कोई पात नहीं और V_b = V_A। R₁ और R₂ वोल्टता विभाजक बनाते हैं।
थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।
उत्तर: PL = 36.37 W
थेवेनिन प्रमेय: कोई भी रैखिक दो-टर्मिनल नेटवर्क प्रतिरोध Rth के साथ श्रेणी में एक वोल्टता स्रोत Vth जैसा व्यवहार करता है। नॉर्टन प्रमेय उसी नेटवर्क को Rth के समांतर धारा स्रोत IN = Vth/Rth के रूप में देता है।
वोल्टता स्रोतों को शॉर्ट और धारा स्रोतों को खुले परिपथ से बदलें, फिर a–b से परिपथ में देखें।
a–b खुला होने पर Iₛ का एकमात्र मार्ग R₃ से होकर नोड A तक है। V₁ और Iₛ के अध्यारोपण से V_A ज्ञात करें, फिर R₃ पर पात जोड़ें।
थेवेनिन स्रोत और श्रेणी R_th, a–b पर बिल्कुल मूल परिपथ की तरह व्यवहार करते हैं, इसलिए भार एक सरल श्रेणी लूप देखता है।
उत्तर: vL = 4.56 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
स्विच बंद होने के बहुत बाद प्रेरक शॉर्ट सर्किट जैसा व्यवहार करता है, इसलिए अंतिम धारा केवल R से तय होती है।
t = 0 पर पूरी आपूर्ति वोल्टता प्रेरक पर होती है; फिर वह शून्य तक घटती है।
उत्तर: vC = 15.95 V
प्रथम-कोटि क्षणिक अवस्थाएँ: एक संधारित्र या एक प्रेरक वाले परिपथ में हर वोल्टता और धारा अपने प्रारंभिक मान से अंतिम मान तक घातांकी रूप से बदलती है: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, जहाँ τ = RC या τ = L/R। लगभग 5τ के बाद परिपथ स्थिर हो जाता है।
संधारित्र वोल्टता अचानक नहीं बदल सकती, इसलिए वह अपने संचित मान से शुरू होकर स्रोत वोल्टता की ओर जाती है।
उत्तर: φ = 17.22 °
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
श्रेणी में प्रतिबाधाएँ सम्मिश्र संख्याओं की तरह जुड़ती हैं: Z = R + j(XL − XC)।
उत्तर: VL = 341.1 V
फ़ेज़र के साथ AC परिपथ: प्रतिरोधक, प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधाएँ R, jωL और 1/(jωC) हैं, जहाँ ω = 2πf। श्रेणी में प्रतिबाधाएँ प्रतिरोधों की तरह, पर सम्मिश्र संख्याओं के रूप में जुड़ती हैं। rms धारा और वोल्टता |Z| के साथ ओम के नियम का पालन करती हैं।
अनुनाद पर प्रतिघात निरस्त हो जाते हैं, इसलिए प्रतिबाधा केवल R है।
यह आपूर्ति वोल्टता का Q = 14.21 गुना है।
उत्तर: I = 96.26 A
AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।
पश्चगामी भार प्रतिघाती शक्ति लेता है (Q > 0); अग्रगामी भार उसे देता है (Q < 0)।
उत्तर: Inew = 241.5 A
AC शक्ति: आभासी शक्ति S = V·I (VA) सक्रिय शक्ति P = S·cos φ (W), जो उपयोगी कार्य करती है, और प्रतिघाती शक्ति Q = S·sin φ (var), जो स्रोत और भार के बीच आगे-पीछे होती है, में बँटती है। शक्ति गुणक cos φ है। समांतर संधारित्र प्रतिघाती शक्ति स्थानीय रूप से देता है, इसलिए समान सक्रिय शक्ति के लिए लाइन धारा घटती है।
सक्रिय शक्ति P नहीं बदलती; केवल आपूर्ति से ली गई प्रतिघाती शक्ति बदलती है।
उत्तर: P = 15.5 kW
संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ।
हर प्रतिबाधा का केवल प्रतिरोधी भाग वास्तविक शक्ति अवशोषित करता है।
जाँच: cos φ = R/|Z| = 0.6, और √3·VL·IL·cos φ से वही शक्ति मिलती है।
उत्तर: QC = 35.95 kvar
संतुलित त्रि-फ़ेज़ तंत्र: Y (स्टार) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता की √3 गुना होती है, VL = √3·Vph, और लाइन धारा फ़ेज़ धारा के बराबर होती है। Δ (डेल्टा) संयोजन में लाइन-से-लाइन वोल्टता फ़ेज़ वोल्टता के बराबर होती है और लाइन धारा फ़ेज़ धारा की √3 गुना होती है, IL = √3·Iph। कुल शक्ति एक फ़ेज़ की शक्ति की तीन गुना होती है: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ। शक्ति गुणक सुधार: संधारित्र स्थानीय रूप से प्रतिघाती शक्ति देते हैं, QC = P·(tan φ1 − tan φ2)। तीनों संधारित्रों में से हर एक QC/3 = V²·ω·C देता है, जहाँ V उस संधारित्र पर वोल्टता है: Δ बैंक में VL, Y बैंक में VL/√3।
वास्तविक शक्ति अपरिवर्तित है, इसलिए हर शक्ति गुणक प्रतिघाती शक्ति तय करता है: Q = P·tan φ।
उत्तर: I1 = 2.4 A
आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर: वोल्टताएँ फेरों के अनुपात में और धाराएँ उसके व्युत्क्रम अनुपात में होती हैं: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a और I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, इसलिए निवेश शक्ति निर्गत शक्ति के बराबर होती है, V₁·I₁ = V₂·I₂। द्वितीयक पर लगी भार प्रतिबाधा Z प्राथमिक से a²·Z जैसी दिखती है।
आदर्श ट्रांसफ़ॉर्मर में कोई हानि नहीं होती: V₁·I₁ = V₂·I₂।
जाँच: प्राथमिक से दिखने वाला भार a²·RL = 250 Ω है, और 600/250 से वही धारा मिलती है।
उत्तर: Ploss = 1594 W
ट्रांसफ़ॉर्मर हानियाँ: क्रोड हानि (शैथिल्य और भँवर धाराएँ) वोल्टता पर निर्भर करती है और किसी भी भार पर समान रहती है। कुंडलियों में ताम्र हानि धारा के वर्ग के साथ बदलती है, इसलिए निर्धारित भार के x अंश पर यह x²·Pcu,fl होती है। दक्षता η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), जहाँ Pout = x·S·pf। दक्षता उस भार पर सबसे अधिक होती है जहाँ ताम्र हानि क्रोड हानि के बराबर होती है।
क्रोड हानि किसी भी भार पर समान रहती है।
इस भार पर दक्षता η = 98.53% है।
उत्तर: Rf = 2 kΩ
आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।
V₋ = V₊ = Vin, और R₁ की धारा Rf से भी बहती है, इसलिए Vout = Vin·(1 + Rf/R₁)।
उत्तर: Vout = −5.52 V
आदर्श ऑप-एम्प नियम: ऋणात्मक पुनर्निवेश के साथ ऑप-एम्प अपना आउटपुट ऐसे चलाता है कि दोनों इनपुट समान वोल्टता पर रहें (V₋ = V₊), और किसी भी इनपुट में धारा नहीं जाती। इन दो तथ्यों के साथ इनवर्टिंग इनपुट पर KCL लिखने से आउटपुट मिलता है।
उत्तर: IZ = 15.47 mA
ज़ेनर नियामक: विपरीत-अभिनत ज़ेनर डायोड अपनी वोल्टता VZ तब तक बनाए रखता है जब तक उसकी धारा न्यूनतम IZ,min से ऊपर रहे। श्रेणी प्रतिरोधक R निवेश और निर्गत का अंतर वहन करता है: IR = (Vin − VZ)/R। वह धारा भार, IL = VZ/RL, और ज़ेनर, IZ = IR − IL, के बीच बँटती है। सबसे बुरी स्थितियों के लिए अभिकल्पन करें: सबसे कम निवेश के साथ सबसे बड़े भार पर भी IZ,min बचना चाहिए, और सबसे ऊँचे निवेश के साथ बिना भार के ज़ेनर की सबसे बड़ी शक्ति PZ = VZ·IZ मिलती है।
उत्तर: ID = 15.97 mA
LED और डायोड परिपथ: अग्र-अभिनत LED धारा चाहे जो हो, लगभग अपनी अग्र वोल्टता VF गिराता है (लाल के लिए लगभग 2 V, नीले या सफ़ेद के लिए 3 V)। श्रेणी प्रतिरोधक धारा तय करता है: श्रेणी में n LED के लिए R = (Vs − n·VF)/I। अधिक यथातथ डायोड मॉडल V = V₀ + I·rd के साथ, प्रचालन बिंदु वहाँ है जहाँ डायोड रेखा भार रेखा I = (Vs − V)/R से मिलती है, इसलिए I = (Vs − V₀)/(R + rd)।
उत्तर: N = −84
स्थानीय मान संख्या पद्धतियाँ: हर अंक का मान उसके मान गुणा आधार की एक घात होता है। द्विआधारी में स्थान 1, 2, 4, 8, 16, … के होते हैं; षोडशआधारी में 1, 16, 256, …, जहाँ A–F का अर्थ 10–15 है। 8-बिट दो के पूरक में सबसे बाईं बिट +128 के बजाय −128 की होती है; ऋणात्मक संख्याएँ इसी तरह संग्रहीत होती हैं।
बाकी बिटें अपने सामान्य धनात्मक मान रखती हैं।
उत्तर: R = 110
बिट सेट करना: हर बिट दो की एक घात के बराबर है (128, 64, …, 1)। एक हेक्स अंक ठीक चार बिट होता है, और 8-बिट 2 के पूरक में सबसे बाएँ बिट का मान −128 होता है। बिटवाइज़ संक्रियाएँ हर बिट स्थान पर अलग-अलग काम करती हैं।
1 से बाईं ओर शिफ़्ट करने पर हर बिट 1 स्थान बाईं ओर खिसकता है; बाएँ सिरे से गिरे बिट खो जाते हैं और दाईं ओर शून्य आ जाते हैं।
उत्तर: L = 3
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
हर समूह 2ᵏ खानों का आयत होता है; किनारे के खाने विपरीत किनारे के खानों के पड़ोसी होते हैं।
उत्तर: L = 7
कार्नो मानचित्र: खाने ग्रे कोड (00, 01, 11, 10) में क्रमबद्ध होते हैं, इसलिए पड़ोसी खाने, किनारों के आर-पार वाले भी, ठीक एक चर में भिन्न होते हैं। 1 को 1, 2, 4, 8 या 16 खानों के आयतों में समूहित करें, जितने बड़े और जितने कम समूह हो सकें, जब तक हर 1 ढक न जाए। हर समूह एक गुणन पद है: वे चर जो उसके भीतर स्थिर रहते हैं। 2ᵏ खानों का समूह k चर खो देता है। डोंट-केयर (X) का उपयोग समूह बड़े करने के लिए किया जा सकता है पर उन्हें ढकना ज़रूरी नहीं है। इसके बजाय 0 को समूहित करने से न्यूनतम POS रूप मिलता है।
1 और X से बनने वाले सबसे बड़े समूह।
उसी आकार का एक और समूहन संभव है; उसमें पदों और लिटरलों की संख्या वही है।
उत्तर: f(0.3) = 1.068
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
उत्तर: y(0.3) = 2.641
लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lims→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)।
उत्तर: p = −141.5
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
उत्तर: σ = −2
ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + Kp) है, जहाँ Kp = G(0)।
उत्तर: %OS = 24.96 %
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।
उत्तर: K = 23.39
सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jωd हैं, जहाँ ωd = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), शिखर समय tp = π/ωd, और 2 % स्थिरीकरण समय ts ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।
उत्तर: φ = 63.54 °
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
उत्तर: ωc = 7.517 rad/s
आवृत्ति अनुक्रिया: अंतरण फलन में s = jω रखिए। डेसिबल में परिमाण 20·log₁₀|H(jω)| है और कला अंश के गुणनखंडों के कोणों के योग में से हर के गुणनखंडों के कोण घटाने पर मिलती है। प्रथम कोटि RC या RL फ़िल्टर की कोना (−3 dB) आवृत्ति ωc = 1/(RC) या R/L पर होती है, और fc = ωc/(2π); निम्न-पारक फ़िल्टर |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) और φ = −atan(ω/ωc) देता है। अनंतस्पर्शी (सीधी रेखा) बोडे आरेख में हर ध्रुव अपनी कोना आवृत्ति पर परिमाण को 20 dB/दशक से नीचे मोड़ता है, हर शून्य उसे 20 dB/दशक से ऊपर मोड़ता है, और समाकलक 1/s सभी आवृत्तियों पर −20 dB/दशक देता है। लब्धि क्रॉसओवर ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); कला सीमा PM = 180° + ∠L(jωc)। कला क्रॉसओवर ω180: ∠L(jω) = −180°; लब्धि सीमा GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB। दोनों सीमाएँ धनात्मक होने पर बंद पाश स्थिर होता है।
उत्तर: Kmin = 3.75
राउथ–हरविट्ज़ कसौटी: कोई रैखिक तंत्र तब स्थायी होता है जब उसके अभिलाक्षणिक बहुपद का हर मूल s-तल के बाएँ अर्ध-तल में हो। गुणांकों को बारी-बारी से राउथ सारणी की पहली दो पंक्तियों में लिखें। नई पंक्ति की हर प्रविष्टि ऊपर की दो पंक्तियों से बनती है; त्रिघात a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ के लिए s¹ प्रविष्टि b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂ है। पहले स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दाएँ अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर होती है। गुणांकों में लब्धि K होने पर पहले स्तंभ की हर प्रविष्टि धनात्मक रहनी चाहिए: जिस लब्धि पर s¹ प्रविष्टि शून्य हो जाती है वही स्थायित्व की सीमा है, और तब s² पंक्ति सतत दोलन की आवृत्ति देती है।
s² + c₁s + c₀ के सभी मूल बाएँ अर्ध-तल में ठीक तभी होते हैं जब c₁ > 0 और c₀ > 0 हो।
उत्तर: si = −25.95
मूल बिंदुपथ: जैसे-जैसे लब्धि K 0 से ∞ तक बढ़ती है, संवृत-लूप ध्रुव, यानी 1 + K·G(s) = 0 के मूल, विवृत-लूप ध्रुवों से विवृत-लूप शून्यों की ओर या अनंत की ओर चलते हैं। वास्तविक अक्ष पर कोई बिंदु तब बिंदुपथ का भाग होता है जब उसके दाईं ओर वास्तविक ध्रुवों और शून्यों की कुल संख्या विषम हो। अनंत की ओर जाने वाली n − m शाखाएँ कोणों (2q + 1)·180°/(n − m) वाली अनंतस्पर्शियों के अनुदिश चलती हैं, जो केंद्रक σₐ = (Σ ध्रुव − Σ शून्य)/(n − m) से शुरू होती हैं। शाखाएँ वहाँ वास्तविक अक्ष छोड़ती या उससे मिलती हैं जहाँ dK/ds = 0 हो। कोण शर्त ∠G(s) = 180° आकार तय करती है, और परिमाण शर्त K = 1/|G(s)| बिंदुपथ के किसी भी बिंदु पर लब्धि देती है।
भागफल नियम से अवकलन कीजिए और अंश को शून्य के बराबर रखिए।
दोनों विचलन/संगम बिंदुओं के बीच बिंदुपथ शून्य पर केंद्रित एक वृत्त है, जिसकी त्रिज्या √120 = 10.95 है।
उत्तर: ess = 0.3333
स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से ess = lims→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) और Ka = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान ess = A/(1 + Kp) देता है, रैंप A·t से A/Kv और परवलय A·t²/2 से A/Ka मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।
उत्तर: tp = 0.3927 s
P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζωns + ωn² से कीजिए। तब %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, जहाँ ωd = ωn√(1 − ζ²), और ts ≈ 4/(ζωn)।
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