FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP₁ = 30 kN पर 2 mP₂ = 10 kN पर 2.5 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

L = 8 mP = 55 kN पर 5 mw = 12 kN/m, 2 से 8 m तक

R_A = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत ताँबा छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 115 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

δ = mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील छड़ (व्यास 25 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 160 MPa) काँसा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 120 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 110 GPa, अनुमेय प्रतिबल 70 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार P_max ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaनलिका: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

40 mm व्यास वाला एक ठोस स्टील शाफ़्ट दोनों सिरों A और B पर दृढ़ दीवारों में स्थिर है। A से 1 m और B से 2.5 m पर C पर 100 N·m का बलाघूर्ण लगाया जाता है। दीवार A पर प्रतिक्रिया बलाघूर्ण T_A ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmT₀ = 100 N·ma = 1 mb = 2.5 m

T_A = N·m

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

25 kN @ 10 m20 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 2.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 8 mP = 40 kN पर 1 mw = 5 kN/m, 0 से 8 m तकx = 2.5 m

M_x = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 90 MPa, σᵧ = −70 MPa और τₓᵧ = −20 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = 90 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 10 MPa और τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 350 MPa है। वॉन मीज़ेस (विरूपण ऊर्जा) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 2.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। मुक्त सिरे B पर विक्षेप δ_B ज्ञात कीजिए।

P = 5 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 200 GPa (स्टील)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। EI स्थिर है। टेक पर प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 4 mP = 45 kN पर 2 m

R_B = kN

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 145 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 145 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

x = m

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 45 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 20° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 30 m/sθ = 20°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 45° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। ढलान के साथ 17 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 45°μ = 0.2d = 17 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

10 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 1.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 2000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 40 kg द्रव्यमान 40 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 250 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk = 40 kN/mc = 250 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 25 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 15 kN/m और k₂ = 12 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय रेफ़्रिजरेटर 3.5 kW ऊष्मा निकालकर एक ठंडे कमरे को 5 °C पर रखता है, और 40 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। वह दर Q̇_H ज्ञात कीजिए जिस पर यह ऊष्मा त्यागता है।

T_L = 5 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 3.5 kW

Q̇_H = kW

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 950 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 35 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजन समान कार्य उत्पन्न करते हैं। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 950 °CT_L = 35 °C

T_m = °C

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 18 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 3 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 305 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 18r_c = 3T₁ = 305 Kk = 1.4

T₃ = K

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 20 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 290 K पर संपीडक में और 1500 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 80% और टरबाइन की 85% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 20T₁ = 290 KT₃ = 1500 Kη_c = 80%η_t = 85%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 50 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 310 kPa और वेग 2.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 2 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 110 kPa और वेग 2.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 110 kPav₁ = 2.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 100 mm आंतरिक व्यास वाले 150 m लंबे पाइप से 2.2 m/s के औसत वेग से बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.028 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

V = 2.2 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

दो खुले जलाशय 100 m लंबे, 100 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 3 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 0.2) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 10 L/s की प्रवाह दर देता है?

Q = 10 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक परीक्षण में पंप 52 m शीर्ष के विरुद्ध 15 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 9 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

Q = 15 L/sH = 52 mP_shaft = 9 kWg = 9.81 m/s²

η = %

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 25 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 7 m ऊँची है। पाइप 300 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 150 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 25 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 6

H = m

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार ईंट की 150 mm और खनिज ऊन की 50 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 20 m²। बाहरी फलक 18 °C और -13 °C पर हैं। दोनों परतों के अंतरापृष्ठ पर तापमान T_i ज्ञात कीजिए।

L₁ = 150 mm, k₁ = 0.72 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0.04 W/(m·K)A = 20 m²T₁ = 18 °CT₃ = -13 °C

T_i = °C

32.ऊष्मा चालनकठिन

50 mm ईंट और 25 mm काँच की दीवार 22 °C वाले कमरे को -12 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 7.7 W/(m²·K) और बाहर 20 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 6 m² है। दीवार से ऊष्मा हानि Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 50 mm, k₁ = 0.72 W/(m·K)L₂ = 25 mm, k₂ = 0.96 W/(m·K)A = 6 m²h_i = 7.7 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -12 °C

Q̇ = W

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1440 rpm पर चल रही एक 1.5 kW मोटर 20 दाँतों और 5 mm मॉड्यूल वाले पिनियन को चलाती है। पिनियन के दाँतों पर स्पर्शरेखीय बल F_t ज्ञात कीजिए।

P = 1.5 kWn = 1440 rpmN₁ = 20m = 5 mm

F_t = N

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 960 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (18 दाँत) गियर B (24 दाँत) को चलाता है। गियर C (12 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (60 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 960 rpmA = 18B = 24C = 12D = 60

n_out = rpm

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

आंशिक भिन्नों से F(s) = 25/(s(s + 1)(s + 4)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.3) का मान निकालिए।

F(s) = 25/(s(s + 1)(s + 4))t = 0.3 s

f(0.3) =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र y″ + 7y′ + 12y = 36·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 1 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.3) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 12y = 36·u(t)u(t) = 1y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.3 s

y(0.3) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

संयंत्र G(s) = 3/(s + 5) में लब्धि H₁ = 4 वाला एक भीतरी (गौण) ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप है। नियंत्रक लब्धि K = 7 और एक बाहरी एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप तंत्र को बंद करते हैं। संवृत-लूप ध्रुव p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 3/(s + 5)H₁ = 4K = 7

p =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

संयंत्र G(s) = K/(s(s + 4)(s + 7)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। अधिकतम स्थायी लब्धि पर लूप दोलन करता है। दोलन की आवृत्ति ω rad/s में ज्ञात कीजिए।

G(s) = K/(s(s + 4)(s + 7))एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश

ω = rad/s

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 10/(s² + s + 10) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।

G(s) = 10/(s² + s + 10)

%OS = %

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 6)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 10 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।

G(s) = K/(s(s + 6))%OS = 10 %

K =

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

परवलयिक निवेश r(t) = 2·t²/2 को G(s) = 20(s + 4)/(s²(s + 10)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 20(s + 4)/(s²(s + 10))r(t) = 2·t²/2

e_ss =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक PI नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s संयंत्र G(s) = 2/(s + 5) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। संवृत-लूप में ωₙ = 8 rad/s और ζ = 0.8 होना चाहिए। आनुपातिक लब्धि K_p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 2/(s + 5)ωₙ = 8 rad/sζ = 0.8

K_p =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 23 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·2 + 10·2.5

R_B = 85/5 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 17 = 23 kN

उत्तर

R_A = 23 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 47.63 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·5 + 12·6·5

R_B = 635/8 = 79.38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 127 − 79.38 = 47.63 kN

उत्तर

R_A = 47.63 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 31.29 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78.54 = 1464 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1464/117000 = 0.01251 = 12515 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.01251·2500 mm = 31.29 mm

उत्तर

δ = 31.29 mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P_max = 656.2 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·8482 = 1.031 × 10⁹ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.0008, 0.0006364) = 0.0006364 (काँसा)

सबसे बड़ा भार

P_max = 0.0006364·1.031 × 10⁹ = 656236 N = 656.2 kN

उत्तर

P_max = 656.2 kN

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 5.603 °

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·38350) = 0.09778 rad

φ = 0.09778·180/π = 5.603°

उत्तर

φ = 5.603°

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: T_A = 71.43 N·m

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं। जब दोनों सिरे स्थिर हों, तो स्थैतिकी अकेले केवल T_A + T_B = T₀ देती है; दूसरा समीकरण संगतता है (भारित खंड पर दोनों भागों का समान मरोड़)।

संतुलन और संगतता

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·2.5/3.5 = 71.43 N·m

T_B = 100·1/3.5 = 28.57 N·m

उत्तर

T_A = 71.43 N·m

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: D (x = 6 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 14.17 kN, R₂ = 30.83 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 28.33, M_C = 56.67, M_D = 85 kN·m, M_E = 73.33, M_F = 61.67, M_G = 0

उत्तर

चिह्न D: M_D = 85 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 61.88 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 5·8·4

R_B = 200/8 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 25 = 55 kN

x = 2.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 55·2.5 − 40·(2.5 − 1) − 5·2.5·1.25 = 61.88 kN·m

उत्तर

M_x = 61.88 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 82.46 MPa

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((90 − −70)/2)² + −20²) = 82.46 MPa

उत्तर

τ_max = 82.46 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 2.052

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = 75 MPa, R = 88.46 MPa

σ₁ = 163.5 MPa, σ₂ = −13.46 MPa, σ₃ = 0

वॉन मीज़ेस

σ_vM = √(163.5² − 163.5·(−13.46) + (−13.46)²) = 170.6 MPa

n = 350/170.6 = 2.052

उत्तर

n = 2.052

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_B = 2.945 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 5000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

मुक्त सिरे पर विक्षेप

भार पर विक्षेप जमा भार पर प्रवणता गुणा शेष लंबाई।

δ_P = Pa³/(3EI) = 1.55 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0009301 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.945 mm

उत्तर

δ_B = 2.945 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: R_B = 14.06 kN

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल R_B मुक्त सिरे को R_BL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14.06 kN

उत्तर

R_B = 14.06 kN

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 7.369 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2500² = 7369 N = 7.369 kN

उत्तर

P_cr = 7.369 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 72.78 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 72.78 mm

उत्तर

d = 72.78 mm

जाँच: तनुता KL/r = 137.4 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 78.7 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 40° = 21.45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 40° = 18 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·18/9.81 = 3.669 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 21.45·3.669 = 78.7 m

उत्तर

x = 78.7 m

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 119.8 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 20° = 28.19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 20° = 10.26 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 45 + 10.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.26 + √(105.3 + 882.9))/9.81 = 4.25 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 28.19·4.25 = 119.8 m

उत्तर

x = 119.8 m

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 13.74 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·17·(0.7071 − 0.2·0.7071)) = 13.74 m/s

उत्तर

v = 13.74 m/s

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 55.37 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 98.1·(3.5 − 0.25·1.5) = 306.6 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 306.6 → x = √(2·306.6/2000) = 0.5537 m = 55.37 cm

उत्तर

x = 55.37 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.09882

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(40000·40) = 2530 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 250/2530 = 0.09882

उत्तर

ζ = 0.09882

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 27 kN/m

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 15 + 12 = 27 kN/m

उत्तर

k_eq = 27 kN/m

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Q̇_H = 3.94 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 3.5·313.1/278.1 = 3.94 kW

उत्तर

Q̇_H = 3.94 kW

निवेश शक्ति: Ẇ = 0.4404 kW।

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 492.5 °C

परम तापमान

T_H = 950 + 273.15 = 1223 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

समान कार्य

W = Q·(1 − T_low/T_high) और Q/T हर भंडार पर समान है, इसलिए W तापमान गिरावट के समानुपाती है।

T_m = (1223 + 308.1)/2 = 765.7 K = 492.5 °C

उत्तर

T_m = 492.5 °C

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 2908 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 305·18^0.4 = 969.2 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 3·969.2 = 2908 K

उत्तर

T₃ = 2908 K

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 243.8 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 290·20^0.2857 = 682.5 K

T_4s = 1500/20^0.2857 = 637.3 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(682.5 − 290)/0.8 = 493.1 kJ/kg

w_t = 0.85·1.005·(1500 − 637.3) = 736.9 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 736.9 − 493.1 = 243.8 kJ/kg

उत्तर

w_net = 243.8 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 66.91%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 297.3 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−12.7) = 297.3 kPa

उत्तर

p₂ = 297.3 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 54.88 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/40)² = 8.789 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 8.789²)/1000 = −35.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 110 + (−35.5) − 19.62 = 54.88 kPa

उत्तर

p₂ = 54.88 kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 10.36 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 2.2²/(2·9.81) = 0.2467 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(150/0.1)·2.2²/(2·9.81) = 10.36 m

उत्तर

h_f = 10.36 m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δz = 1.867 m

वेग

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.02·100/0.1 = 20

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6

कुल शीर्ष हानि

h_f = 20·0.08263 = 1.653 m

h_m = 2.6·0.08263 = 0.2148 m

Δz = h_f + h_m = 1.867 m

उत्तर

Δz = 1.867 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: η = 85.02 %

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·52 = 7.652 kW

दक्षता

η = P_h/P_shaft = 7.652/9 = 85.02%

उत्तर

η = 85.02%

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 12.1 m

वेग

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 6)·0.102 = 5.1 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें खुली और लगभग विराम में हैं, इसलिए दाब और वेग पद हट जाते हैं।

H = Δz + h_L = 7 + 5.1 = 12.1 m

उत्तर

H = 12.1 m

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: T_i = 13.57 °C

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0.72·20) = 0.01042 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0.04·20) = 0.0625 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 31/0.07292 = 425.1 W

अंतरापृष्ठ तापमान

पहली परत में तापमान Q̇·R₁ घटता है।

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 18 − 425.1·0.01042 = 13.57 °C

उत्तर

T_i = 13.57 °C

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 740.9 W

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(7.7·6) = 0.02165 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (50/1000)/(0.72·6) = 0.01157 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (25/1000)/(0.96·6) = 0.00434 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·6) = 0.008333 K/W

ΣR = 0.04589 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (22 − (-12))/0.04589 = 740.9 W

उत्तर

Q̇ = 740.9 W

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: F_t = 198.9 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

पिनियन पर बलाघूर्ण

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 1500/150.8 = 9.947 N·m

पिच व्यास

d = m·N = 5·20 = 100 mm

स्पर्शरेखीय बल

F_t = 2T/d = 2·9.947/0.1 = 198.9 N

उत्तर

F_t = 198.9 N

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 144 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 960·18/24 = 720 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 720·12/60 = 144 rpm

उत्तर

n_out = 144 rpm

कुल अनुपात = 6.667 : 1

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.3) = 0.704

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

आंशिक भिन्न

F(s) = A/s + B/(s + 1) + C/(s + 4)

A = 25/(1·4) = 6.25

B = 25/((−1)·3) = −8.333

C = 25/((−4)·(−3)) = 2.083

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = 6.25 − 8.333·e^−t + 2.083·e^−4t

मान निकालें

f(0.3) = 6.25 − 8.333·e^−0.3 + 2.083·e^−4·0.3 = 0.704

उत्तर

f(0.3) = 0.704

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.3) = 0.8319

समीकरण का रूपांतर करें

Y(s) = 36/(s(s + 3)(s + 4))

आंशिक भिन्न

A = 36/(3·4) = 3

B = 36/((−3)·1) = −12

C = 36/((−4)·(−1)) = 9

निर्गम

y(t) = 3 − 12·e^−3t + 9·e^−4t

y(0.3) = 0.8319

उत्तर

y(0.3) = 0.8319

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: p = −38

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

भीतरी लूप

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 3/(s + 5 + 3·4) = 3/(s + 17)

बाहरी लूप

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 21/(s + 17 + 21) = 21/(s + 38)

परिणाम

p = −38

उत्तर

p = −38

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: ω = 5.292 rad/s

अभिलाक्षणिक समीकरण

s³ + 11s² + 28s + K = 0

राउथ सारणी

s³ | 1 28

s² | 11 K

s¹ | (11·28 − K)/11

s⁰ | K

स्थायित्व सीमा

पहले स्तंभ की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक होनी चाहिए।

K_max = 11·28 = 308

दोलन की आवृत्ति

11·(jω)² + 308 = 0 → ω² = 308/11 = 28

ω = 5.292 rad/s

उत्तर

ω = 5.292 rad/s

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: %OS = 60.47 %

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 10 → ωₙ = 3.162 rad/s

2ζωₙ = 1 → ζ = 1/(2·3.162) = 0.1581

परिणाम

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−0.5031 = 60.47 %

उत्तर

%OS = 60.47 %

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: K = 25.75

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = K/(s² + 6s + K)

अतिलंघन से अवमंदन अनुपात

ζ = −ln(0.1)/√(π² + ln²(0.1)) = 0.5912

लब्धि

ωₙ = 6/(2ζ) = 5.075 rad/s

K = ωₙ² = 25.75

उत्तर

K = 25.75

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 0.25

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

त्वरण स्थिरांक

K_a = 20·4/10 = 8

परवलय त्रुटि

e_ss = 2/8 = 0.25

उत्तर

e_ss = 0.25

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K_p = 3.9

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

1 + C(s)G(s) = 0, जिसे s(s + 5) से गुणा किया गया है।

s² + (5 + 2K_p)s + 2K_i

लक्ष्य बहुपद

s² + 2·0.8·8s + 8² = s² + 12.8s + 64

गुणांक मिलाइए

5 + 2K_p = 12.8 → K_p = 3.9

उत्तर

K_p = 3.9

समाकल पद लूप को प्रकार-1 बना देता है, इसलिए सोपान का अनुसरण स्थायी-अवस्था त्रुटि के बिना होता है।

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