FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP₁ = 25 kN पर 1.5 mP₂ = 10 kN पर 2 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

कैंटिलीवर बीम A पर दीवार में स्थिर है। यह एक रैखिक रूप से बदलता भार वहन करता है जो दीवार पर 10 kN/m है और मुक्त सिरे B पर शून्य तक घटता है, साथ ही दीवार से 5 m पर एक बिंदु भार P। दीवार पर प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 40 kN पर 5 m

M_A = kN·m

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

ताँबा छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। कुल दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 120 kNखंड 1: Ø30 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)

δ = mm

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक मरोड़ परीक्षण में 20 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 75 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 400 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 4.21° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।

T = 75 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 4.21°

G = GPa

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 3000 rpm पर 75 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 80 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 75 kWN = 3000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 6 m पर खंड में अपरूपण बल V_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 8 mw = 3 kN/m, 0 से 8 m तकx = 6 m

V_x = kN

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 2.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 4 mP = 30 kN पर 2.5 mw = 2 kN/m, 0 से 4 m तकx = 2.5 m

M_x = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = 60 MPa, σ_z = 0 के साथ। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_abs ज्ञात कीजिए (तीन विमाओं में सभी तलों पर विचार करते हुए)।

σ_x = 160 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

एक पतली प्लेट का एक बिंदु समतल प्रतिबल में है: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa और τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0)। पदार्थ का पराभव सामर्थ्य 355 MPa है। ट्रेस्का (अधिकतम अपरूपण प्रतिबल) मानदंड से पराभव के विरुद्ध सुरक्षा गुणक n ज्ञात कीजिए।

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 3.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 26 kNa = 3.5 mL = 6 mE = 200 GPa (स्टील)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 20 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 50 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 80 mm

σ_cr = MPa

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 38 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 100 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 38 m/sR = 100 mg = 9.81 m/s²

θ = °

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 40 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11 m/sθ = 25°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

समतल सड़क पर 50 km/h से चल रही एक कार ज़ोर से ब्रेक लगाती है और पहिए जाम होकर फिसलते हुए रुक जाती है। टायरों और सड़क के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.8 है। रुकने की दूरी d ज्ञात कीजिए।

v = 50 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

10 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 3 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 30 mm के विस्थापन शिखर के 4 चक्र बाद 11 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 30 mmx₄ = 11 mmn = 4

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 100 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 60 kN/m और निचला k₂ = 30 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 350 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 10 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 27% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 350 °CT_L = 10 °Cη = 27%

η_II = %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 1050 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 10 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजन समान कार्य उत्पन्न करते हैं। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 1050 °CT_L = 10 °C

T_m = °C

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 15 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.8 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 300 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 15r_c = 1.8T₁ = 300 Kk = 1.4

T₃ = K

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 15 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 290 K पर संपीडक में और 1300 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 82% और टरबाइन की 88% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 15T₁ = 290 KT₃ = 1300 Kη_c = 82%η_t = 88%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक बड़ी खुली टंकी से 40 mm व्यास वाले तीक्ष्ण-धार छिद्र (ऑरिफ़िस) से निकलता है। जल स्तर छिद्र से 4 m ऊपर बनाए रखा जाता है और निस्सरण गुणांक 0.64 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। g = 9.81 m/s² लें।

d = 40 mmh = 4 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 200 mm से 100 mm तक संकरा होता है और 6 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 340 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 340 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल (ρ = 1000 kg/m³) 150 mm आंतरिक व्यास वाले 100 m लंबे क्षैतिज पाइप से 1.1 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।

V = 1.1 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

250 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018) वाला 300 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 2)। g = 9.81 m/s² लें। 75 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 75 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

60% दक्षता वाला एक पंप 72 m शीर्ष के विरुद्ध 40 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 40 L/sH = 72 mη = 60%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 15 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 6 m ऊँची है। पाइप 200 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 100 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 78% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 15 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 6η = 78%

P_shaft = kW

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार खनिज ऊन की 50 mm और विस्तारित पॉलीस्टाइरीन की 25 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 20 m²। बाहरी फलक 21 °C और -13 °C पर हैं। दीवार से ऊष्मा प्रवाह Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 50 mm, k₁ = 0.04 W/(m·K)L₂ = 25 mm, k₂ = 0.035 W/(m·K)A = 20 m²T₁ = 21 °CT₃ = -13 °C

Q̇ = W

32.ऊष्मा चालनकठिन

200 mm जिप्सम बोर्ड और 100 mm काँच की दीवार 22 °C वाले कमरे को -14 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 6 W/(m²·K) और बाहर 20 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 15 m² है। दीवार की भीतरी सतह का तापमान T_s ज्ञात कीजिए।

L₁ = 200 mm, k₁ = 0.17 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0.96 W/(m·K)A = 15 m²h_i = 6 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -14 °C

T_s = °C

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

960 rpm पर चल रही एक 3 kW मोटर 18 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 36 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 95% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 36η = 95%

T₁ = N·m

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (12 दाँत) 3000 rpm पर घूमता है और गियर B (18 दाँत) को चलाता है। गियर C (18 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 450 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 3000 rpmA = 12B = 18C = 18n_out = 450 rpm

N_D =

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

F(s) = (5s + 5)/(s² + 4s + 4) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए और f(0.6) का मान निकालिए।

F(s) = (5s + 5)/(s² + 4s + 4)t = 0.6 s

f(0.6) =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र अवकल समीकरण y″ + 8y′ + 12y = 4u′ + 14u से वर्णित है, जिसका इनपुट u(t) और आउटपुट y(t) है। इसका अंतरण फलन G(s) = Y(s)/U(s) (शून्य प्रारंभिक शर्तें) ज्ञात कीजिए और t = 0.2 s पर आवेग अनुक्रिया g(t) का मान निकालिए। g(0.2) ज्ञात कीजिए।

y″ + 8y′ + 12y = 4u′ + 14ut = 0.2 s

g(0.2) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

संयंत्र G(s) = K/((s + 3)(s + 6)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत लूप क्रांतिक अवमंदित है (दो बराबर वास्तविक ध्रुव)।

G(s) = K/((s + 3)(s + 6))एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश

K =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K = 5 एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में संयंत्र G(s) = 1/(s + 9) को चलाता है। एक विक्षोभ D संयंत्र इनपुट पर प्रवेश करता है (यह नियंत्रक आउटपुट में जोड़ा जाता है)। आकार 2 का संदर्भ सोपान और आकार 10 का विक्षोभ सोपान एक साथ लगाए जाते हैं। स्थायी-अवस्था आउटपुट c_ss ज्ञात कीजिए।

K = 5G(s) = 1/(s + 9)D = 10R = 2

c_ss =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 57/(s² + 6s + 19) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय t_p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 57/(s² + 6s + 19)

t_p = s

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 10)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 20 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।

G(s) = K/(s(s + 10))%OS = 20 %

K =

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

एक प्रक्रम G(s) = 2/(5s + 1) को एकांक पुनर्निवेश लूप में आनुपातिक लब्धि K = 20 से नियंत्रित किया जाता है। सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए, सोपान के आकार के प्रतिशत के रूप में।

G(s) = 2/(5s + 1)K = 20

e_ss = %

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K = 16 संयंत्र G(s) = 1/(s(s + 6)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।

G(s) = 1/(s(s + 6))K = 16

%OS = %

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 23.5 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1.5 + 10·2

R_B = 57.5/5 = 11.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 11.5 = 23.5 kN

उत्तर

R_A = 23.5 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: M_A = 260 kN·m

कैंटिलीवर संतुलन: स्थिर आलंब ऊपर धकेल सकता है और घूर्णन का प्रतिरोध भी कर सकता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A और एक प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A देता है। ΣF_y = 0 से R_A मिलता है, और दीवार के परितः आघूर्णों से M_A = Σ(भार × दीवार से दूरी)। वितरित भार भार आरेख के केंद्रक पर अपने परिणामी के रूप में कार्य करता है।

त्रिभुजाकार भार का परिणामी

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = L/3 = 2 m

दीवार के परितः आघूर्ण

M_A = W·x̄ + P·a = 30·2 + 40·5 = 260 kN·m

उत्तर

M_A = 260 kN·m

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 362.7 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 30·1000/706.9 = 42.44 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for ताँबा = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 42.44/117000 = 0.0003627 = 362.7 µε

उत्तर

ε = 362.7 µε

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 5.161 mm

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 169.8 MPa

σ₂ = 596.8 MPa

खंडों का दीर्घीकरण जोड़ें

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 169.8·1500/117000 = 2.176 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 596.8·1000/200000 = 2.984 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.161 mm

उत्तर

δ = 5.161 mm

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: G = 25.99 GPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण और कोण

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 4.21·π/180 = 0.07348 rad

अपरूपण गुणांक

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(15708·0.07348) = 25992 MPa

G = 25.99 GPa

उत्तर

G = 25.99 GPa

तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 24.77 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·238732/(π·80)) = 24.77 mm

उत्तर

d = 24.77 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: V_x = −6 kN

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

x = 6 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

V = R_A − (कट के बाईं ओर सभी नीचे की ओर भार)

V_x = 12 − 3·6 = −6 kN

उत्तर

V_x = −6 kN

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 31.88 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2.5 + 2·4·2

R_B = 91/4 = 22.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 38 − 22.75 = 15.25 kN

x = 2.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 15.25·2.5 − 2·2.5·1.25 = 31.88 kN·m

उत्तर

M_x = 31.88 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_abs = 100 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। तीन विमाओं में निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल तीनों मुख्य प्रतिबलों पर (σ_max − σ_min)/2 है; समतल प्रतिबल में तीसरा शून्य होता है।

तलीय मुख्य प्रतिबल

C = 80 MPa, R = √(80² + 60²) = 100 MPa

σ₁ = 180 MPa, σ₂ = −20 MPa, σ_z = 0

तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(200, 180, 20)/2 = 100 MPa

उत्तर

τ_abs = 100 MPa

यहाँ σ₁ और σ₂ के चिह्न विपरीत हैं, इसलिए तलीय अधिकतम R ही निरपेक्ष अधिकतम भी है।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: n = 4.403

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है। पराभव मानदंड: वॉन मीज़ेस के अनुसार पराभव तब होता है जब σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), σ_Y तक पहुँचे; ट्रेस्का के अनुसार तब जब निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल σ_Y/2 तक पहुँचे।

मुख्य प्रतिबल

C = 5 MPa, R = 40.31 MPa

σ₁ = 45.31 MPa, σ₂ = −35.31 MPa, σ₃ = 0

ट्रेस्का

σ_max − σ_min = 80.62 MPa

n = 355/80.62 = 4.403

उत्तर

n = 4.403

n > 1 का अर्थ है कि बिंदु पराभव नहीं करता; ट्रेस्का वॉन मीज़ेस से थोड़ा अधिक रूढ़िवादी (सुरक्षित पक्ष का) है।

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 24.04 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 26000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·3500²·2500²/(3·4.6 × 10¹²·6000) = 24.04 mm

उत्तर

δ_P = 24.04 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 289.3 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.893 × 10⁸ mm⁴

I_req = 289.3 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 289.3 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 96.89 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN

उत्तर

P_cr = 96.89 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 69.09 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

उत्तर

σ_cr = 69.09 MPa

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 21.4 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·100/38² = 0.6794

कोण

2θ = 42.79° → θ = 21.4°

उत्तर

θ = 21.4°

दूसरा हल 90° − θ = 68.6° है।

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 3.369 s

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 25° = 9.969 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 25° = 4.649 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 40 + 4.649·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.649 + √(21.61 + 784.8))/9.81 = 3.369 s

उत्तर

t = 3.369 s

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 12.29 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

मूल इकाइयों में चाल

v = 50/3.6 = 13.89 m/s

ऊर्जा संतुलन

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13.89²/(2·0.8·9.81) = 12.29 m

उत्तर

d = 12.29 m

चाल दोगुनी करने से रुकने की दूरी चार गुना हो जाती है।

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 26.2 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 98.1·(3 − 0.25·5) = 171.7 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 171.7 → x = √(2·171.7/5000) = 0.262 m = 26.2 cm

उत्तर

x = 26.2 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.03989

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/4)·ln(30/11) = 0.2508

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2508/√(39.48 + 0.06291) = 0.03989

उत्तर

ζ = 0.03989

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 20 kN/m

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/60 + 1/30 → k_eq = 60·30/(60 + 30) = 20 kN/m

उत्तर

k_eq = 20 kN/m

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 49.49 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 283.1/623.1 = 54.56 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 27/54.56 = 49.49 %

उत्तर

η_II = 49.49 %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 530 °C

परम तापमान

T_H = 1050 + 273.15 = 1323 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

समान कार्य

W = Q·(1 − T_low/T_high) और Q/T हर भंडार पर समान है, इसलिए W तापमान गिरावट के समानुपाती है।

T_m = (1323 + 283.1)/2 = 803.2 K = 530 °C

उत्तर

T_m = 530 °C

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 1595 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 300·15^0.4 = 886.3 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 1.8·886.3 = 1595 K

उत्तर

T₃ = 1595 K

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 204.3 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 290·15^0.2857 = 628.7 K

T_4s = 1300/15^0.2857 = 599.7 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(628.7 − 290)/0.82 = 415.1 kJ/kg

w_t = 0.88·1.005·(1300 − 599.7) = 619.4 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 619.4 − 415.1 = 204.3 kJ/kg

उत्तर

w_net = 204.3 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 67.02%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 7.125 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

आदर्श जेट वेग

√(2gh) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

निस्सरण गुणांक जेट के संकुचन और किनारे पर घर्षण को ध्यान में रखता है।

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.001257·8.859 = 0.007125 m³/s = 7.125 L/s

उत्तर

Q = 7.125 L/s

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 279.3 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(200/100)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 340 + (−1.875) − 58.86 = 279.3 kPa

उत्तर

p₂ = 279.3 kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δp = 8.067 kPa

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

शीर्ष हानि

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.15)·1.1²/(2·9.81) = 0.8223 m

दाब पात

पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·h_f बन जाता है।

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·0.8223 = 8067 Pa = 8.067 kPa

उत्तर

Δp = 8.067 kPa

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 3.129 m

वेग

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.018·300/0.25 = 21.6

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 21.6 + 3.7)·0.119 = 3.129 m

उत्तर

H = 3.129 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 47.09 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·72 = 28.25 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 28.25/0.6 = 47.09 kW

उत्तर

P_shaft = 47.09 kW

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 2.745 kW

वेग

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0.1859 = 8.552 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 6 + 8.552 = 14.55 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.015·14.55/0.78 = 2.745 kW

उत्तर

P_shaft = 2.745 kW

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 346.2 W

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (50/1000)/(0.04·20) = 0.0625 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (25/1000)/(0.035·20) = 0.03571 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 34/0.09821 = 346.2 W

उत्तर

Q̇ = 346.2 W

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: T_s = 17.99 °C

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(6·15) = 0.01111 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (200/1000)/(0.17·15) = 0.07843 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0.96·15) = 0.006944 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·15) = 0.003333 K/W

ΣR = 0.09982 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (22 − (-14))/0.09982 = 360.6 W

T_s = T_room − Q̇·R_i = 22 − 360.6·0.01111 = 17.99 °C

उत्तर

T_s = 17.99 °C

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 29.84 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100.5 = 29.84 N·m

उत्तर

T₁ = 29.84 N·m

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 80

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 3000·12/18 = 2000 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 18·2000/450 = 80

उत्तर

N_D = 80

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.6) = 0.6024

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

हर का गुणनखंड करें

s² + 4s + 4 = (s + 2)²

आंशिक भिन्न

5s + 5 = 5(s + 2) + −5

F(s) = 5/(s + 2) − 5/(s + 2)²

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = 5·e^−2t − 5·t·e^−2t

f(0.6) = (5 − 5·0.6)·e^−2·0.6 = 0.6024

उत्तर

f(0.6) = 0.6024

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: g(0.2) = 1.758

अंतरण फलन

G(s) = Y(s)/U(s) = (4s + 14)/(s² + 8s + 12)

आंशिक भिन्न

s² + 8s + 12 = (s + 2)(s + 6)

A = 1.5, B = 2.5

आवेग अनुक्रिया

g(t) = 1.5·e^−2t + 2.5·e^−6t

g(0.2) = 1.758

उत्तर

g(0.2) = 1.758

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: K = 2.25

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

अभिलाक्षणिक समीकरण

1 + K/((s + 3)(s + 6)) = 0 → s² + 9s + 18 + K = 0

दोहराया गया मूल

द्विघात s² + βs + γ का द्विक मूल तब होता है जब β² = 4γ।

9² = 4(18 + K) → K = 81/4 − 18 = 2.25

उत्तर

K = 2.25

तब दोनों संवृत-लूप ध्रुव s = −4.5 पर हैं।

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: c_ss = 1.429

अंतरण फलन

C/D = G/(1 + K·G) = 1/(s + 9 + 5)

C/R = K·G/(1 + K·G) = 5/(s + 9 + 5)

स्थायी अवस्था

c_ss = 2·5/14 + 10·1/14 = 1.429

उत्तर

c_ss = 1.429

बड़ा K विक्षोभ का प्रभाव घटाता है, पर आनुपातिक नियंत्रक के साथ कभी शून्य नहीं करता।

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_p = 0.9935 s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 19 → ωₙ = 4.359 rad/s

2ζωₙ = 6 → ζ = 6/(2·4.359) = 0.6882

परिणाम

ω_d = 4.359·√(1 − 0.6882²) = 3.162 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.9935 s

उत्तर

t_p = 0.9935 s

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: K = 120.3

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = K/(s² + 10s + K)

अतिलंघन से अवमंदन अनुपात

ζ = −ln(0.2)/√(π² + ln²(0.2)) = 0.4559

लब्धि

ωₙ = 10/(2ζ) = 10.97 rad/s

K = ωₙ² = 120.3

उत्तर

K = 120.3

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 2.439 %

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

स्थिति स्थिरांक

K_p = 20·2 = 40

सोपान त्रुटि

e_ss = 100/(1 + 40) = 2.439 %

उत्तर

e_ss = 2.439 %

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: %OS = 2.838 %

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

s(s + 6) + 16·1 = s² + 6s + 16

ωₙ और ζ

ωₙ = √16 = 4 rad/s

ζ = 6/(2·4) = 0.75

अतिलंघन

%OS = 100·e^{−0.75π/√(1 − 0.75²)} = 2.838 %

उत्तर

%OS = 2.838 %

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