FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 6 mP₁ = 20 kN पर 2 mP₂ = 60 kN पर 3.5 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

L = 4 mP = 40 kN पर 2 mw = 10 kN/m, 1 से 2 m तक

R_A = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक छड़ स्टील के खंड (व्यास 25 mm, लंबाई 600 mm, E = 200 GPa) से बनी है, जो एल्युमिनियम के बने खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 400 mm, E = 70 GPa) से सिरे से सिरा जोड़कर जुड़ा है। वह एक सिरे पर स्थिर है और दूसरे पर खींची जाती है। वह अक्षीय भार P ज्ञात कीजिए जो उसे कुल 0.25 mm खींचता है।

खंड 1: स्टील, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 300 mm, E = 200 GPa) और काँसा का बना खंड (व्यास 40 mm, लंबाई 200 mm, E = 110 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 20 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaखंड 2: काँसा, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 200 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

25 mm व्यास वाला एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 2.5 m पर B पर 400 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 0.8 m और आगे मुक्त सिरे C पर विपरीत दिशा में 250 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

d = 25 mmT_B = 400 N·mT_C = 250 N·mAB = 2.5 mBC = 0.8 m

τ_max = MPa

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 10 mw = 6 kN/m, 0 से 10 m तकx = 5 m

M_x = kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 3.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 4 mP = 25 kN पर 1 mw = 5 kN/m, 0 से 4 m तकx = 3.5 m

M_x = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 10 MPa, σᵧ = −30 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = 10 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

30 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 1500 N·m के बलाघूर्ण के साथ 100 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 30 mmM = 100 N·mT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

आयताकार खंड वाला एक सरल आलंबित लकड़ी का बीम, 75 mm चौड़ा, अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। उसका मध्य विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। खंड की न्यूनतम गहराई h_req ज्ञात कीजिए।

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)b = 75 mm

h_req = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 5 mE = 200 GPa (स्टील)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 50 mm

σ_cr = MPa

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 38 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 60 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 40° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 14 m/sθ = 40°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 2000 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.1 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 6 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.1 kgk = 2000 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 2 kg गुटका 20° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 25 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.25 है। ढलान पर 8 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgF = 25 Nθ = 20°μ = 0.25d = 8 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 20 mm के विस्थापन शिखर के 2 चक्र बाद 10.7 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 20 mmx₂ = 10.7 mmn = 2

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 5 kN/m और निचला k₂ = 60 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 425 °C पर गर्म भंडार और 40 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 4300 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 425 °CT_L = 40 °CQ_H = 4300 kJ

W_max = kJ

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 0 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 55 °C वाले तापन तंत्र को 13.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 45% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 55 °CT_L = 0 °Cη_II = 45%Q̇_H = 13.5 kW

Ẇ = kW

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 17 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 290 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा q_in kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 17r_c = 2.5T₁ = 290 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 16 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 288 K पर संपीडक में और 1500 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 85% और टरबाइन की 90% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 16T₁ = 288 KT₃ = 1500 Kη_c = 85%η_t = 90%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 100 mm से 40 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 240 kPa और वेग 0.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 240 kPav₁ = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 100 mm से 40 mm तक संकरा होता है और 6 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 120 kPa और वेग 1.5 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 120 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 250 mm आंतरिक व्यास वाले 150 m लंबे पाइप से 25 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.028 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 25 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

दो खुले जलाशय 100 m लंबे, 250 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 4 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 2) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 100 L/s की प्रवाह दर देता है?

Q = 100 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

72% दक्षता वाला एक पंप 12 m शीर्ष के विरुद्ध 60 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 60 L/sH = 12 mη = 72%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 60 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 16 m ऊँची है। पाइप 400 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 200 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 8 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 82% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 60 L/sΔz = 16 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार विस्तारित पॉलीस्टाइरीन की 250 mm और कंक्रीट की 75 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 8 m²। बाहरी फलक 22 °C और -15 °C पर हैं। दीवार से ऊष्मा प्रवाह Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 250 mm, k₁ = 0.035 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 1.4 W/(m·K)A = 8 m²T₁ = 22 °CT₃ = -15 °C

Q̇ = W

32.ऊष्मा चालनकठिन

200 mm विस्तारित पॉलीस्टाइरीन और 100 mm ईंट की दीवार 21 °C वाले कमरे को 3 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 10 W/(m²·K) और बाहर 30 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 6 m² है। दीवार से ऊष्मा हानि Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 200 mm, k₁ = 0.035 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0.72 W/(m·K)A = 6 m²h_i = 10 W/(m²·K)h_o = 30 W/(m²·K)T_room = 21 °CT_out = 3 °C

Q̇ = W

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

दो समांतर शाफ़्ट 72 mm दूर हैं। इन्हें 2 mm मॉड्यूल और 2 : 1 चाल अपचयन वाले स्पर गियरों की एक जोड़ी से जोड़ना है। गियर में कितने दाँत N₂ होने चाहिए?

a = 72 mmm = 2 mmi = 2

N₂ =

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1450 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (25 दाँत) गियर B (60 दाँत) को चलाता है। गियर C (16 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (30 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1450 rpmA = 25B = 60C = 16D = 30

n_out = rpm

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

आंशिक भिन्नों से F(s) = 20/(s(s + 3)(s + 6)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.25) का मान निकालिए।

F(s) = 20/(s(s + 3)(s + 6))t = 0.25 s

f(0.25) =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र y″ + 5y′ + 6y = 36·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 2 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.6) ज्ञात कीजिए।

y″ + 5y′ + 6y = 36·u(t)u(t) = 2y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.6 s

y(0.6) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 58/(s(s + 10)) है। संदर्भ एक रैंप r(t) = 2·t है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 58/(s(s + 10))r(t) = 2·t

e_ss =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

संयंत्र G(s) = K/((s + 1)(s + 4)(s + 5)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। राउथ–हर्विट्ज़ मानदंड से वह अधिकतम लब्धि K_max ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत लूप स्थायी है।

G(s) = K/((s + 1)(s + 4)(s + 5))एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश

K_max =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 216/(s² + 3s + 72) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

G(s) = 216/(s² + 3s + 72)

ζ =

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 120/(s(s + 5)) है। t_s ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके संवृत-लूप सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय t_s ज्ञात कीजिए।

G(s) = 120/(s(s + 5))

t_s = s

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

रैंप r(t) = 5t को G(s) = 20(s + 3)/(s(s + 5)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 20(s + 3)/(s(s + 5))r(t) = 5t

e_ss =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K संयंत्र G(s) = 5/(s(s + 8)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप को अवमंदन अनुपात ζ = 0.5 दे।

G(s) = 5/(s(s + 8))ζ = 0.5

K =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 38.33 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2 + 60·3.5

R_B = 250/6 = 41.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 41.67 = 38.33 kN

उत्तर

R_A = 38.33 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 26.25 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, x̄ = 1.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 10·1·1.5

R_B = 95/4 = 23.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 23.75 = 26.25 kN

उत्तर

R_A = 26.25 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P = 17.61 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

नम्यताएँ

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706.9) = 8.084 × 10⁻⁶ mm/N

भार

P = 0.25/1.42 × 10⁻⁵ = 17611 N = 17.61 kN

उत्तर

P = 17.61 kN

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 9.463 MPa

कठोरताएँ

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 20000·691150/1.162 × 10⁶ = 11892 N

प्रतिबल

σ₂ = 11892/1257 = 9.463 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 9.463 MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 2.702 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·79522) = 0.04716 rad

φ = 0.04716·180/π = 2.702°

उत्तर

φ = 2.702°

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 81.49 MPa

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 400 = −150 N·m

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

सबसे बड़े आंतरिक बलाघूर्ण वाले खंड में प्रतिबल सबसे बड़ा है (समान व्यास)।

|T|_max = 250 N·m

τ_max = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa

उत्तर

τ_max = 81.49 MPa

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 75 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 30·5 − 6·5·2.5 = 75 kN·m

उत्तर

M_x = 75 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 7.5 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1 + 5·4·2

R_B = 65/4 = 16.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 16.25 = 28.75 kN

x = 3.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 28.75·3.5 − 25·(3.5 − 1) − 5·3.5·1.75 = 7.5 kN·m

उत्तर

M_x = 7.5 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 36.06 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((10 − −30)/2)² + 30²) = 36.06 MPa

उत्तर

τ_max = 36.06 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 302.4 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37.73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282.9 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 18.86 MPa

R = √(18.86² + 282.9²) = 283.6 MPa

σ₁ = C + R = 302.4 MPa

σ₂ = C − R = −264.7 MPa

उत्तर

σ₁ = 302.4 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 17.23 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·1.7 × 10¹²) = 17.23 mm

उत्तर

δ = 17.23 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: h_req = 176.8 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·8.333) = 3.452 × 10⁷ mm⁴

आवश्यक गहराई

bh³/12 = I_req → h = (12·3.452 × 10⁷/75)^1/3 = 176.8 mm

उत्तर

h_req = 176.8 mm

व्यवहार में, इस मान से ऊपर की अगली मानक गहराई चुनें।

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 21.06 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 1·5000 = 5000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/5000² = 21055 N = 21.06 kN

उत्तर

P_cr = 21.06 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 55.08 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/12.5 = 112

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55.08 MPa

उत्तर

σ_cr = 55.08 MPa

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 13.15 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 25° = 34.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 25° = 16.06 m/s

उच्चतम बिंदु

शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है: v_y² = 2gH।

H = v_y²/(2g) = 16.06²/(2·9.81) = 13.15 m

उत्तर

H = 13.15 m

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 4.533 s

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10.72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8.999 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 60 + 8.999·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.999 + √(80.98 + 1177))/9.81 = 4.533 s

उत्तर

t = 4.533 s

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 3.67 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·2000·0.06² = 3.6 J

ऊँचाई

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 3.6/0.981 = 3.67 m

उत्तर

h = 3.67 m

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 10.46 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

mg·sin θ = 6.71 N

μ·mg·cos θ = 4.609 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (25 − 11.32)·8 = 109.4 J

v = √(2·109.4/2) = 10.46 m/s

उत्तर

v = 10.46 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.04971

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/2)·ln(20/10.7) = 0.3127

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3127/√(39.48 + 0.09781) = 0.04971

उत्तर

ζ = 0.04971

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 1.529 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/5 + 1/60 → k_eq = 5·60/(5 + 60) = 4.615 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(4615/50) = 9.608 rad/s

f_n = 9.608/(2π) = 1.529 Hz

उत्तर

f_n = 1.529 Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 2371 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 425 + 273.15 = 698.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/698.1 = 55.15 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.5515·4300 = 2371 kJ

उत्तर

W_max = 2371 kJ

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 5.028 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 55 + 273.15 = 328.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 328.1/(328.1 − 273.1) = 5.966

COP = 0.45·5.966 = 2.685

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 13.5/2.685 = 5.028 kW

उत्तर

Ẇ = 5.028 kW

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: q_in = 1358 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

तापमान

T₂ = 290·17^0.4 = 900.7 K

T₃ = 2.5·900.7 = 2252 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

q_in = 1.005·(2252 − 900.7) = 1358 kJ/kg

उत्तर

q_in = 1358 kJ/kg

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 330.9 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 288·16^0.2857 = 636 K

T_4s = 1500/16^0.2857 = 679.3 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(636 − 288)/0.85 = 411.4 kJ/kg

w_t = 0.9·1.005·(1500 − 679.3) = 742.3 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 742.3 − 411.4 = 330.9 kJ/kg

उत्तर

w_net = 330.9 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 55.42%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 235.2 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(100/40)² = 3.125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 3.125²)/1000 = −4.758 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−4.758) = 235.2 kPa

उत्तर

p₂ = 235.2 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 18.32 kPa

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/40)² = 9.375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 9.375²)/1000 = −42.82 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 120 + (−42.82) − 58.86 = 18.32 kPa

उत्तर

p₂ = 18.32 kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 0.2221 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²

V = Q/A = 0.025/0.04909 = 0.5093 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 0.5093²/(2·9.81) = 0.01322 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(150/0.25)·0.5093²/(2·9.81) = 0.2221 m

उत्तर

h_f = 0.2221 m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δz = 2.517 m

वेग

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.018·100/0.25 = 7.2

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

कुल शीर्ष हानि

h_f = 7.2·0.2115 = 1.523 m

h_m = 4.7·0.2115 = 0.9942 m

Δz = h_f + h_m = 2.517 m

उत्तर

Δz = 2.517 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 9.81 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·12 = 7.063 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 7.063/0.72 = 9.81 kW

उत्तर

P_shaft = 9.81 kW

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 16.56 kW

वेग

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.1859 = 7.065 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 16 + 7.065 = 23.06 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·23.06/0.82 = 16.56 kW

उत्तर

P_shaft = 16.56 kW

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 41.13 W

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (250/1000)/(0.035·8) = 0.8929 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(1.4·8) = 0.006696 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 37/0.8996 = 41.13 W

उत्तर

Q̇ = 41.13 W

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 18.04 W

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(10·6) = 0.01667 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (200/1000)/(0.035·6) = 0.9524 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0.72·6) = 0.02315 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(30·6) = 0.005556 K/W

ΣR = 0.9978 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (21 − (3))/0.9978 = 18.04 W

उत्तर

Q̇ = 18.04 W

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N₂ = 48

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

दाँतों की कुल संख्या

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·72/2 = 72

अनुपात से बाँटें

N₁ = 72/(1 + 2) = 24

N₂ = 2·24 = 48

उत्तर

N₂ = 48

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 322.2 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 1450·25/60 = 604.2 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 604.2·16/30 = 322.2 rpm

उत्तर

n_out = 322.2 rpm

कुल अनुपात = 4.5 : 1

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.25) = 0.3093

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

आंशिक भिन्न

F(s) = A/s + B/(s + 3) + C/(s + 6)

A = 20/(3·6) = 1.111

B = 20/((−3)·3) = −2.222

C = 20/((−6)·(−3)) = 1.111

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = 1.111 − 2.222·e^−3t + 1.111·e^−6t

मान निकालें

f(0.25) = 1.111 − 2.222·e^−3·0.25 + 1.111·e^−6·0.25 = 0.3093

उत्तर

f(0.25) = 0.3093

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.6) = 5.124

समीकरण का रूपांतर करें

Y(s) = 72/(s(s + 2)(s + 3))

आंशिक भिन्न

A = 72/(2·3) = 12

B = 72/((−2)·1) = −36

C = 72/((−3)·(−1)) = 24

निर्गम

y(t) = 12 − 36·e^−2t + 24·e^−3t

y(0.6) = 5.124

उत्तर

y(0.6) = 5.124

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: e_ss = 0.3448

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

वेग त्रुटि स्थिरांक

Kᵥ = lim_s→0 s·G(s) = 58/10 = 5.8

स्थायी-अवस्था त्रुटि

e_ss = A/Kᵥ = 2/5.8 = 0.3448

उत्तर

e_ss = 0.3448

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: K_max = 270

अभिलाक्षणिक समीकरण

s³ + 10s² + 29s + 20 + K = 0

राउथ सारणी

s³ | 1 29

s² | 10 20 + K

s¹ | (10·29 − 20 − K)/10

s⁰ | 20 + K

स्थायित्व सीमा

पहले स्तंभ की सभी प्रविष्टियाँ धनात्मक होनी चाहिए।

K_max = 10·29 − 20 = 270

उत्तर

K_max = 270

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ζ = 0.1768

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 72 → ωₙ = 8.485 rad/s

2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·8.485) = 0.1768

परिणाम

ζ = 0.1768

उत्तर

ζ = 0.1768

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_s = 1.6 s

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = 120/(s² + 5s + 120): ωₙ = 10.95 rad/s, ζ = 0.2282

स्थिरीकरण समय

ζωₙ = 5/2 = 2.5

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 1.6 s

उत्तर

t_s = 1.6 s

इस लूप के लिए K जो भी हो, ζωₙ = a/2: K बढ़ाने से अतिलंघन बढ़ता है पर स्थिरीकरण समय छोटा नहीं होता।

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 0.4167

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

वेग स्थिरांक

K_v = lim s·G(s) = 12

रैंप त्रुटि

e_ss = 5/12 = 0.4167

उत्तर

e_ss = 0.4167

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K = 12.8

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

s(s + 8) + 5K = s² + 8s + 5K

प्राकृतिक आवृत्ति

2·0.5·ωₙ = 8 → ωₙ = 8 rad/s

लब्धि

5K = ωₙ² = 64 → K = 12.8

उत्तर

K = 12.8

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