FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। यह A से 8 m पर बिंदु भार P और A से 7 m पर एक वामावर्त बलयुग्म M वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP = 10 kN पर 8 mM = 30 kN·m (वामावर्त) पर 7 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP = 45 kN पर 7 mw = 3 kN/m, 0 से 6 m तक

R_B = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत एल्युमिनियम छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 45 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 10 kNखंड 1: Ø30 mm, 0.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1 m, स्टील (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

पीतल का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 100 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

φ = °

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 750 rpm पर 100 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 4.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A पर बंकन आघूर्ण M_A ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 5 mP = 30 kN पर 4.5 mw = 12 kN/m, 0 से 5 m तक

M_A = kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 4 mP = 20 kN पर 1 mw = 5 kN/m, 0 से 4 m तकx = 1 m

M_x = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

1500 mm भीतरी व्यास और 10 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 3 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 50° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के आर-पार कार्य करने वाला अभिलंब प्रतिबल σ_n ज्ञात कीजिए।

D = 1500 mmt = 10 mmp = 3 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (स्टील)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 200 GPa (स्टील)d = 60 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

σ_cr = MPa

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 34 m/s से क्षैतिज से 25° ऊपर 27 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 34 m/sθ = 25°x = 27 mg = 9.81 m/s²

y = m

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 60 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 11 m/s से क्षैतिज से 60° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 11 m/sθ = 60°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

0.5 kg का एक गुटका क्षैतिज से 15° पर झुकी ढलान पर 8 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.15 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgθ = 15°μ = 0.15d = 8 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 2 kg गुटका खुरदरी क्षैतिज मेज़ (μ = 0.4) पर रखा है। एक हल्की डोरी उससे मेज़ के किनारे पर एक चिकनी घिरनी के ऊपर से होकर एक लटकते 5 kg गुटके तक जाती है। तंत्र को विराम से छोड़ा जाता है। लटकते गुटके के 0.5 m गिरने के बाद गुटकों की चाल v ज्ञात कीजिए।

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0.4d = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 15 mm के विस्थापन शिखर के 4 चक्र बाद 2 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 15 mmx₄ = 2 mmn = 4

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 100 kg द्रव्यमान अगल-बगल (समांतर में) दो स्प्रिंगों से लटका है, जिनकी दृढ़ताएँ k₁ = 80 kN/m और k₂ = 80 kN/m हैं। द्रव्यमान समतल रहता है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 500 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 2700 kJ ऊष्मा लेता है और 1076 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 500 °CQ_H = 2700 kJQ_L = 1076 kJ

T_L = °C

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 550 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 30 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजन समान कार्य उत्पन्न करते हैं। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 550 °CT_L = 30 °C

T_m = °C

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 20 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 295 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 20r_c = 2.5T₁ = 295 Kk = 1.4

T₃ = K

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 15 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 290 K पर संपीडक में और 1500 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 82% और टरबाइन की 92% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 15T₁ = 290 KT₃ = 1500 Kη_c = 82%η_t = 92%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 25 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 190 kPa और वेग 1 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 190 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर (प्रवेश 100 mm, कंठ 60 mm) पानी ले जाता है। प्रवेश और कंठ के बीच जुड़ा पारे का U-नली मैनोमीटर 390 mm का स्तर अंतर दिखाता है। निस्सरण गुणांक 0.99 है। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए। पानी के लिए ρ = 1000 kg/m³, पारे के लिए 13 600 kg/m³ और g = 9.81 m/s² लें।

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmΔh = 390 mmC_d = 0.99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 300 mm आंतरिक व्यास वाले 1000 m लंबे पाइप से 50 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.03 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 50 L/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

दो खुले जलाशय 150 m लंबे, 250 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 वाले पाइप से जुड़े हैं। ऊपरी जलाशय की जल सतह निचले जलाशय की सतह से 9 m ऊपर है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 5) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। प्रवाह दर Q L/s में ज्ञात कीजिए।

Δz = 9 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक पंप 72 m शीर्ष के विरुद्ध 100 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। पंप दक्षता 78% है और उसे चलाने वाली विद्युत मोटर की दक्षता 88% है। g = 9.81 m/s² लें। मोटर द्वारा ली गई विद्युत शक्ति P_el kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 100 L/sH = 72 mη_pump = 78%η_motor = 88%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 15 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 14 m ऊँची है। पाइप 500 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 100 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 8 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 78% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 15 L/sΔz = 14 mL = 500 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार ईंट की 50 mm और लकड़ी की 75 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 12 m²। बाहरी फलक 16 °C और -12 °C पर हैं। दीवार से ऊष्मा प्रवाह Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 50 mm, k₁ = 0.72 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²T₁ = 16 °CT₃ = -12 °C

Q̇ = W

32.ऊष्मा चालनकठिन

250 mm काँच और 150 mm विस्तारित पॉलीस्टाइरीन की दीवार 22 °C वाले कमरे को -5 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 7.7 W/(m²·K) और बाहर 30 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 12 m² है। दीवार का समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक U ज्ञात कीजिए।

L₁ = 250 mm, k₁ = 0.96 W/(m·K)L₂ = 150 mm, k₂ = 0.035 W/(m·K)A = 12 m²h_i = 7.7 W/(m²·K)h_o = 30 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -5 °C

U = W/(m²·K)

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

960 rpm पर चल रही एक 0.75 kW मोटर 45 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 50 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 96% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 0.75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 45N₂ = 50η = 96%

T₁ = N·m

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 150 mm की घिरनी और 500 mm की घिरनी को जोड़ता है, जिनके केंद्र 500 mm दूर हैं। छोटी घिरनी पर लपेट कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmd₂ = 500 mmC = 500 mm

θ = °

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

F(s) = (s + 20)/(s² + 13s + 42)। इसका प्रतिलोम रूपांतर f(t) = A·e^−6t + B·e^−7t के रूप का है। आंशिक भिन्नों से गुणांक A ज्ञात कीजिए।

F(s) = (s + 20)/(s² + 13s + 42)

A =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र y″ + 6y′ + 5y = 2.5·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 1 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.6) ज्ञात कीजिए।

y″ + 6y′ + 5y = 2.5·u(t)u(t) = 1y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.6 s

y(0.6) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

एक संयंत्र G(s) = 8/(s + 1) को एक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में नियंत्रित किया जाता है जिसके सेंसर की लब्धि H = 0.2 है। R पर आकार 12 का सोपान लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था आउटपुट c_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 8/(s + 1)H = 0.2R = 12

c_ss =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

G₁ = 4/(s + 5), G₂ = 4/(s + 2), G₂ के चारों ओर एक भीतरी ऋणात्मक पुनर्निवेश H₁ = 1 और एक बाहरी ऋणात्मक पुनर्निवेश H₂ = 0.5 वाले ब्लॉक आरेख को सरल करें। C(s)/R(s) की DC लब्धि T(0) ज्ञात कीजिए।

G₁ = 4/(s + 5)G₂ = 4/(s + 2)H₁ = 1H₂ = 0.5

T(0) =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 22/(s² + 9s + 44) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। ध्रुव s = σ ± jω_d हैं। वास्तविक भाग σ ज्ञात कीजिए।

G(s) = 22/(s² + 9s + 44)

σ =

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 140/(s(s + 5)) है। t_s ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके संवृत-लूप सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय t_s ज्ञात कीजिए।

G(s) = 140/(s(s + 5))

t_s = s

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

एक एकांक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/((s + 4)(s + 10)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो सोपान निवेश के लिए 25 % की स्थायी-अवस्था त्रुटि दे।

G(s) = K/((s + 4)(s + 10))e_ss = 25 %

K =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक PD नियंत्रक C(s) = 5 + K_d·s संयंत्र G(s) = 4/(s(s + 1)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। वह अवकल लब्धि K_d ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप को अवमंदन अनुपात ζ = 0.8 दे।

G(s) = 4/(s(s + 1))K_p = 5ζ = 0.8

K_d = s

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 5 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

A के परितः आघूर्ण

वामावर्त धनात्मक।

ΣM_A = 0: R_B·10 − 10·8 + 30 = 0

R_B = 50/10 = 5 kN

ऊर्ध्वाधर संतुलन

R_A = 10 − 5 = 5 kN

उत्तर

R_A = 5 kN

ऋणात्मक प्रतिक्रिया नीचे की ओर कार्य करती है।

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 46.13 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·7 + 3·6·3

R_B = 369/8 = 46.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 46.13 = 16.88 kN

उत्तर

R_B = 46.13 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 17.05 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113.1 = 397.9 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for एल्युमिनियम = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 397.9/70000 = 0.005684 = 5684 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.005684·3000 mm = 17.05 mm

उत्तर

δ = 17.05 mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 88.42 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 14.15 MPa

σ₂ = 88.42 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 88.42 MPa

उत्तर

σ_max = 88.42 MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 5.746 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·38350) = 0.1003 rad

φ = 0.1003·180/π = 5.746°

उत्तर

φ = 5.746°

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 18.53 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2.749 × 10⁶ mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.273 × 10⁶·40/2.749 × 10⁶ = 18.53 MPa

उत्तर

τ_max = 18.53 MPa

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_A = −285 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

मुक्त-सिरे वाला भाग रखें

P: −30·4.5 = −135 kN·m

w: −12·5²/2 = −150 kN·m

M_A = −135 − 150 = −285 kN·m

उत्तर

M_A = −285 kN·m

ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 22.5 kN·m

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1 + 5·4·2

R_B = 60/4 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 15 = 25 kN

x = 1 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 25·1 − 5·1·0.5 = 22.5 kN·m

उत्तर

M_x = 22.5 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 50.99 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((120 − 100)/2)² + 50²) = 50.99 MPa

उत्तर

τ_max = 50.99 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_n = 159 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 3·750/10 = 225 MPa

σ_a = pr/(2t) = 112.5 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

σ_n = 112.5·sin²50° + 225·cos²50° = 159 MPa

उत्तर

σ_n = 159 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 61.65 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·3.96 × 10¹¹) = 61.65 mm

उत्तर

δ = 61.65 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 48 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·8000⁴/(384·200000·22.22) = 4.8 × 10⁷ mm⁴

I_req = 48 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 48 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 50.23 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·2500 = 5000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/5000² = 50230 N = 50.23 kN

उत्तर

P_cr = 50.23 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 17.27 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

उत्तर

σ_cr = 17.27 MPa

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 8.825 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 34·cos 25° = 30.81 m/s

t = x/v_x = 27/30.81 = 0.8762 s

उस समय ऊँचाई

y = 14.37·0.8762 − ½·9.81·0.8762² = 8.825 m

उत्तर

y = 8.825 m

दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 64.63 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 11·sin 60° = 9.526 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 9.526²/(2·9.81) = 4.625 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 60 + 4.625 = 64.63 m

उत्तर

H = 64.63 m

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 5.685 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 4.905·0.9659 = 4.738 N

F = μN = 0.15·4.738 = 0.7107 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 0.7107·8 = 5.685 J

उत्तर

W_f = 5.685 J

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 2.426 m/s

मुक्त और खोई गई ऊर्जा

m₂g·d = 49.05·0.5 = 24.53 J

μ·m₁g·d = 0.4·19.62·0.5 = 3.924 J

दोनों गुटकों की गतिज ऊर्जा

½(m₁ + m₂)v² = 20.6 → v = √(2·20.6/7) = 2.426 m/s

उत्तर

v = 2.426 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.07991

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/4)·ln(15/2) = 0.5037

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5037/√(39.48 + 0.2537) = 0.07991

उत्तर

ζ = 0.07991

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 6.366 Hz

तुल्य दृढ़ता

अगल-बगल के स्प्रिंग विक्षेप साझा करते हैं और उनके बल जुड़ते हैं, इसलिए उनकी दृढ़ताएँ सीधे जुड़ती हैं: k = k₁ + k₂।

k_eq = 80 + 80 = 160 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(160000/100) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

उत्तर

f_n = 6.366 Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 34.96 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 773.1·1076/2700 = 308.1 K = 34.96 °C

उत्तर

T_L = 34.96 °C

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 290 °C

परम तापमान

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

समान कार्य

W = Q·(1 − T_low/T_high) और Q/T हर भंडार पर समान है, इसलिए W तापमान गिरावट के समानुपाती है।

T_m = (823.1 + 303.1)/2 = 563.1 K = 290 °C

उत्तर

T_m = 290 °C

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 2444 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 295·20^0.4 = 977.8 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 2.5·977.8 = 2444 K

उत्तर

T₃ = 2444 K

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 332.1 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 290·15^0.2857 = 628.7 K

T_4s = 1500/15^0.2857 = 691.9 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(628.7 − 290)/0.82 = 415.1 kJ/kg

w_t = 0.92·1.005·(1500 − 691.9) = 747.1 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 747.1 − 415.1 = 332.1 kJ/kg

उत्तर

w_net = 332.1 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 55.56%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 150 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 190 + (−40) = 150 kPa

उत्तर

p₂ = 150 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 29.46 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

मैनोमीटर से दाबांतर

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.39 = 48206 Pa

कंठ वेग

सांतत्य और बर्नूली मिलकर आदर्श कंठ वेग देते हैं।

β = 60/100 = 0.6

v₂ = √(2·48206/(1000·(1 − 0.1296))) = 10.52 m/s

वास्तविक प्रवाह दर

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.99·0.002827·10.52 = 0.02946 m³/s = 29.46 L/s

उत्तर

Q = 29.46 L/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 2.55 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.05/0.07069 = 0.7074 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 0.7074²/(2·9.81) = 0.0255 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(1000/0.3)·0.7074²/(2·9.81) = 2.55 m

उत्तर

h_f = 2.55 m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Q = 154.2 L/s

हानि गुणांक

f·L/D = 0.018·150/0.25 = 10.8

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

ऊर्जा समीकरण

दोनों सतहें वायु के लिए खुली हैं और लगभग विराम में हैं, इसलिए पूरा Δz पाइप में खो जाता है।

9 = (10.8 + 7.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·9/17.9) = 3.141 m/s

प्रवाह दर

Q = V·π·D²/4 = 3.141·0.04909 = 0.1542 m³/s = 154.2 L/s

उत्तर

Q = 154.2 L/s

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_el = 102.9 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·72 = 70.63 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = 70.63/0.78 = 90.55 kW

विद्युत शक्ति

P_el = 90.55/0.88 = 102.9 kW

उत्तर

P_el = 102.9 kW

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 5.552 kW

वेग

V = Q/A = 0.015/0.007854 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (75 + 8)·0.1859 = 15.43 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 14 + 15.43 = 29.43 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.015·29.43/0.78 = 5.552 kW

उत्तर

P_shaft = 5.552 kW

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 658 W

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (50/1000)/(0.72·12) = 0.005787 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(0.17·12) = 0.03676 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 28/0.04255 = 658 W

उत्तर

Q̇ = 658 W

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: U = 0.2123 W/(m²·K)

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(7.7·12) = 0.01082 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (250/1000)/(0.96·12) = 0.0217 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (150/1000)/(0.035·12) = 0.3571 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(30·12) = 0.002778 K/W

ΣR = 0.3924 K/W

समग्र गुणांक

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0.3924) = 0.2123 W/(m²·K)

उत्तर

U = 0.2123 W/(m²·K)

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 7.46 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100.5 = 7.46 N·m

उत्तर

T₁ = 7.46 N·m

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: θ = 139 °

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे का कोण

asin(0.35) = 20.49°

लपेट कोण

θ = 180 − 2·20.49 = 139°

उत्तर

θ = 139°

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: A = 14

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

हर का गुणनखंड करें

s² + 13s + 42 = (s + 6)(s + 7)

F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 7)

कवर-अप नियम

(s + 6) से गुणा करें और s = −6 रखें: B-पद लुप्त हो जाता है।

A = (s + 20)/(s + 7) |_{s = −6} = 14/1 = 14

उत्तर

A = 14

(B = −13, इसलिए f(t) = 14·e^−6t − 13·e^−7t)

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.6) = 0.1632

समीकरण का रूपांतर करें

Y(s) = 2.5/(s(s + 1)(s + 5))

आंशिक भिन्न

A = 2.5/(1·5) = 0.5

B = 2.5/((−1)·4) = −0.625

C = 2.5/((−5)·(−4)) = 0.125

निर्गम

y(t) = 0.5 − 0.625·e^−t + 0.125·e^−5t

y(0.6) = 0.1632

उत्तर

y(0.6) = 0.1632

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: c_ss = 36.92

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = G/(1 + G·H) = 8/(s + 1 + 1.6) = 8/(s + 2.6)

परिणाम

c_ss = R·T(0) = 12·8/2.6 = 36.92

उत्तर

c_ss = 36.92

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: T(0) = 0.4211

भीतरी लूप

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 4/(s + 6)

बाहरी लूप

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 16/((s + 5)(s + 6) + 8)

DC लब्धि

T(0) = 16/(5·6 + 8) = 16/38 = 0.4211

उत्तर

T(0) = 0.4211

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: σ = −4.5

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 44 → ωₙ = 6.633 rad/s

2ζωₙ = 9 → ζ = 9/(2·6.633) = 0.6784

परिणाम

σ = −ζωₙ = −9/2 = −4.5

उत्तर

σ = −4.5

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_s = 1.6 s

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = 140/(s² + 5s + 140): ωₙ = 11.83 rad/s, ζ = 0.2113

स्थिरीकरण समय

ζωₙ = 5/2 = 2.5

t_s ≈ 4/(ζωₙ) = 1.6 s

उत्तर

t_s = 1.6 s

इस लूप के लिए K जो भी हो, ζωₙ = a/2: K बढ़ाने से अतिलंघन बढ़ता है पर स्थिरीकरण समय छोटा नहीं होता।

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K = 120

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

आवश्यक त्रुटि स्थिरांक

1/(1 + K_p) = 0.25 → K_p = 3

लब्धि

K/40 = 3 → K = 120

उत्तर

K = 120

संवृत-लूप स्थायित्व भी जाँचिए: इस द्वितीय-कोटि लूप के लिए कोई भी K > 0 स्थायी है।

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K_d = 1.539 s

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

s(s + 1) + 4(5 + K_ds) = s² + (1 + 4K_d)s + 20

प्राकृतिक आवृत्ति

ωₙ = √20 = 4.472 rad/s

अवकल लब्धि

1 + 4K_d = 2·0.8·4.472 = 7.155

K_d = 1.539 s

उत्तर

K_d = 1.539 s

अवकल पद ωₙ बदले बिना अवमंदन जोड़ता है।

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