FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम (A पर पिन, B पर रोलर) एक रैखिक रूप से बदलता भार वहन करता है जो A पर शून्य से B पर 8 kN/m तक बढ़ता है। A से 0.5 m पर एक बिंदु भार P भी कार्य करता है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 4 mw₀ = 8 kN/mP = 15 kN पर 0.5 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP = 50 kN पर 3 mw = 6 kN/m, 2 से 5 m तक

R_A = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

पीतल छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 115 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

ε = µε

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 150 MPa) एल्युमिनियम की बनी नलिका (बाहरी व्यास 80 mm, भीतरी व्यास 60 mm, E = 70 GPa, अनुमेय प्रतिबल 60 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार P_max ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaनलिका: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक मरोड़ परीक्षण में 20 mm व्यास वाला एक ठोस नमूना 75 N·m के बलाघूर्ण से मरोड़ा जाता है। 400 mm की गेज लंबाई के दोनों सिरे एक-दूसरे के सापेक्ष 4.21° घूमते हैं (पदार्थ अभी प्रत्यास्थ है)। पदार्थ का अपरूपण गुणांक G ज्ञात कीजिए।

T = 75 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 4.21°

G = GPa

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस पीतल शाफ़्ट 1000 rpm पर 75 kW संचारित करता है। अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए और मरोड़ प्रति m लंबाई 0.25° से अधिक नहीं होना चाहिए। दोनों सीमाओं को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 39 GPa

d = mm

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

45 kN @ 4 m4 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। पूरी लंबाई A–C पर समान वितरित भार w कार्य करता है। आलंबों के बीच A से प्रतिनमन बिंदु (जहाँ बंकन आघूर्ण का चिह्न बदलता है) तक की दूरी x_c ज्ञात कीजिए।

L = 8 mw = 12 kN/m, 0 से 8 m तकआलंब x = 0 और x = 6 m पर

x_c = m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 10 MPa, σᵧ = 100 MPa और τₓᵧ = 40 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_s = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

1200 mm भीतरी व्यास और 10 mm दीवार मोटाई वाली एक पतली दीवार की बेलनाकार टंकी में 1.5 MPa गेज दाब पर गैस है। यह बेलन की अक्ष से 50° पर एक सर्पिल सीवन के साथ वेल्ड की गई प्लेट से बनी है। वेल्ड सीवन के साथ कार्य करने वाले अपरूपण प्रतिबल |τ_n| का परिमाण ज्ञात कीजिए।

D = 1200 mmt = 10 mmp = 1.5 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 2.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 8 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक टेकयुक्त कैंटिलीवर A पर स्थिर है और B पर सरल आलंबित (टेक लगा) है। यह मध्य-विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। EI स्थिर है। स्थिर सिरे पर बंकन आघूर्ण M_A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP = 45 kN पर 2.5 m

M_A = kN·m

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 30 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2 के सुरक्षा गुणक के साथ 90 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 90 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

d = mm

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 16 m/s से क्षैतिज से 60° ऊपर 16 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 16 m/sθ = 60°x = 16 mg = 9.81 m/s²

y = m

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 29 m/s से क्षैतिज से 65° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 7 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 29 m/sθ = 65°h_roof = 7 mg = 9.81 m/s²

x = m

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक गुटका क्षैतिज से 20° पर झुकी ढलान पर विराम से फिसलता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। ढलान के साथ 14 m फिसलने के बाद उसकी चाल v ज्ञात कीजिए।

θ = 20°μ = 0.2d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 5 kg गुटका 30° की ढलान के तल पर विराम से शुरू होता है और ढलान के समांतर 40 N के स्थिर बल से ऊपर खींचा जाता है। गतिज घर्षण गुणांक 0.2 है। ढलान पर 6 m ऊपर चलने के बाद गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgF = 40 Nθ = 30°μ = 0.2d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 50 kg द्रव्यमान 20 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 1200 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk = 20 kN/mc = 1200 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 50 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 10 kN/m और निचला k₂ = 30 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 300 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 30 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 26% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 300 °CT_L = 30 °Cη = 26%

η_II = %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा इंजन प्रति चक्र 300 °C वाले भंडार से 800 kJ ऊष्मा लेता है, 200 kJ कार्य उत्पन्न करता है और शेष को 10 °C वाले भंडार को त्यागता है। प्रति चक्र उत्पन्न कुल एन्ट्रॉपी S_gen ज्ञात कीजिए।

T_H = 300 °CT_L = 10 °CQ_H = 800 kJW = 200 kJ

S_gen = kJ/K

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 20 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.5 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 295 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। ऊष्मा योग के अंत में तापमान T₃ K में ज्ञात कीजिए।

r = 20r_c = 1.5T₁ = 295 Kk = 1.4

T₃ = K

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 16 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 295 K पर संपीडक में और 1100 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। दोनों मशीनें समएन्ट्रॉपिक हैं। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 16T₁ = 295 KT₃ = 1100 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज वेंचुरी मीटर से बहता है जिसका प्रवेश व्यास 80 mm और कंठ व्यास 40 mm है। प्रवेश पर दाब कंठ की तुलना में 59 kPa अधिक है। हानियों को नगण्य मानते हुए प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए।

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 59 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 150 mm से 50 mm तक संकरा होता है और 6 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 140 kPa और वेग 1.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 140 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 200 mm आंतरिक व्यास वाले 500 m लंबे पाइप से 1.2 m/s के औसत वेग से बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

V = 1.2 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

दो खुले जलाशय 200 m लंबे, 200 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 3 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 2) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 50 L/s की प्रवाह दर देता है?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक परीक्षण में पंप 34 m शीर्ष के विरुद्ध 80 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 31.4 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

Q = 80 L/sH = 34 mP_shaft = 31.4 kWg = 9.81 m/s²

η = %

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 12 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 7 m ऊँची है। पाइप 150 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 100 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 12 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 6

H = m

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार विस्तारित पॉलीस्टाइरीन की 100 mm और लकड़ी की 75 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 10 m²। बाहरी फलक 21 °C और -6 °C पर हैं। दीवार से ऊष्मा प्रवाह Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 100 mm, k₁ = 0.035 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 10 m²T₁ = 21 °CT₃ = -6 °C

Q̇ = W

32.ऊष्मा चालनकठिन

150 mm विस्तारित पॉलीस्टाइरीन और 25 mm खनिज ऊन की दीवार 21 °C वाले कमरे को -8 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 6 W/(m²·K) और बाहर 20 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 4 m² है। दीवार का समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक U ज्ञात कीजिए।

L₁ = 150 mm, k₁ = 0.035 W/(m·K)L₂ = 25 mm, k₂ = 0.04 W/(m·K)A = 4 m²h_i = 6 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 21 °CT_out = -8 °C

U = W/(m²·K)

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

एक पट्टा 125 mm की चालक घिरनी पर 960 rpm पर चलता है। कसी हुई ओर तनाव 1000 N और ढीली ओर 400 N है। संचरित शक्ति P kW में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 125 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 400 N

P = kW

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1450 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (45 दाँत) गियर B (60 दाँत) को चलाता है। गियर C (20 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (30 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1450 rpmA = 45B = 60C = 20D = 30

n_out = rpm

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

F(s) = (s + 4)/(s² + 11s + 24)। इसका प्रतिलोम रूपांतर f(t) = A·e^−3t + B·e^−8t के रूप का है। आंशिक भिन्नों से गुणांक A ज्ञात कीजिए।

F(s) = (s + 4)/(s² + 11s + 24)

A =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र अवकल समीकरण y″ + 4y′ + 8y = 2u′ + 14u से वर्णित है, जिसका इनपुट u(t) और आउटपुट y(t) है। इसका अंतरण फलन G(s) = Y(s)/U(s) (शून्य प्रारंभिक शर्तें) ज्ञात कीजिए और t = 0.6 s पर आवेग अनुक्रिया g(t) का मान निकालिए। g(0.6) ज्ञात कीजिए।

y″ + 4y′ + 8y = 2u′ + 14ut = 0.6 s

g(0.6) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

संयंत्र G(s) = 7/(s + 1) में लब्धि H₁ = 4 वाला एक भीतरी (गौण) ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप है। नियंत्रक लब्धि K = 12 और एक बाहरी एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप तंत्र को बंद करते हैं। संवृत-लूप ध्रुव p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 7/(s + 1)H₁ = 4K = 12

p =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

संयंत्र G(s) = 12/(s(s + 3)) सेंसर लब्धि H = 2 वाले ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। संवृत-लूप ध्रुव सम्मिश्र हैं। उनका वास्तविक भाग σ ज्ञात कीजिए।

G(s) = 12/(s(s + 3))H = 2

σ =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 90/(s² + 10s + 90) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय t_p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 90/(s² + 10s + 90)

t_p = s

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

R = 600 Ω, L = 500 mH और C = 2 µF वाला एक श्रेणी RLC परिपथ t = 0 पर 24 V सोपान से जोड़ा जाता है। सोपान से पहले संधारित्र अनावेशित है और कोई धारा नहीं बहती। पहले वोल्टता शिखर का समय t_p ms में ज्ञात कीजिए।

R = 600 ΩL = 500 mHC = 2 µFV = 24 V

t_p = ms

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

निवेश r(t) = 10 + 2t (एक सोपान और एक रैंप का योग) G(s) = 10/(s(s + 4)(s + 5)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 10/(s(s + 4)(s + 5))r(t) = 10 + 2t

e_ss =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक PI नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s संयंत्र G(s) = 10/(s + 1) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। संवृत-लूप में ωₙ = 8 rad/s और ζ = 0.8 होना चाहिए। आनुपातिक लब्धि K_p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 10/(s + 1)ωₙ = 8 rad/sζ = 0.8

K_p =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 18.46 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

त्रिभुजाकार भार का परिणामी

W = ½·8·4 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·4 = 16·2.667 + 15·0.5

R_B = 12.54 kN

R_A = 31 − 12.54 = 18.46 kN

उत्तर

R_A = 18.46 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 25.4 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, x̄ = 3.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3 + 6·3·3.5

R_B = 213/5 = 42.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 42.6 = 25.4 kN

उत्तर

R_A = 25.4 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 5720 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 115·1000/201.1 = 572 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 572/100000 = 0.00572 = 5720 µε

उत्तर

ε = 5720 µε

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P_max = 303.9 kN

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.00075, 0.0008571) = 0.00075 (स्टील)

सबसे बड़ा भार

P_max = 0.00075·4.053 × 10⁸ = 303949 N = 303.9 kN

उत्तर

P_max = 303.9 kN

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: G = 25.99 GPa

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय आघूर्ण और कोण

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 4.21·π/180 = 0.07348 rad

अपरूपण गुणांक

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(15708·0.07348) = 25992 MPa

G = 25.99 GPa

उत्तर

G = 25.99 GPa

तुलना करें: इस्पात ≈ 80 GPa, पीतल ≈ 39 GPa, ऐलुमिनियम ≈ 26 GPa।

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 80.92 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

सामर्थ्य के लिए व्यास

T = 716.2 N·m = 716197 N·mm

d_τ = ∛(16·716197/(π·40)) = 45.01 mm

दृढ़ता के लिए व्यास

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·716197/(π·39000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 80.92 mm

निर्णायक व्यास

दोनों सीमाएँ लागू होनी चाहिए, इसलिए बड़ा व्यास निर्णायक है।

d = max(45.01, 80.92) = 80.92 mm

उत्तर

d = 80.92 mm

यहाँ दृढ़ता निर्णायक है।

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: C (x = 4 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 40 kN, R₂ = 29 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 80, M_C = 160 kN·m, M_D = 142, M_E = 108, M_F = 58, M_G = 0

उत्तर

चिह्न C: M_C = 160 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: x_c = 5.333 m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

ओवरहैंग पर भार सहित पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·8·4

R_B = 384/6 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 64 = 32 kN

शून्य आघूर्ण

आलंबों के बीच M(x) = R_A·x − w·x²/2। x = 0 के अलावा यह x = 2R_A/w पर शून्य है।

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·32/12 = 5.333 m

उत्तर

x_c = 5.333 m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = 24.18 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 40/60.21 = 0.6644, sin 2θ_s = −(−45)/60.21 = 0.7474

2θ_s = atan2(45, 40) = 48.37°

अवयव पर कोण

θ_s = 24.18°

जाँच: θ_s − θ_p = 24.18 − 69.18 = −45°

उत्तर

θ_s = 24.18°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: |τ_n| = 22.16 MPa

दीवार के प्रतिबल

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1.5·600/10 = 90 MPa

σ_a = pr/(2t) = 45 MPa

सीवन पर रूपांतरित करें

x को अक्ष के साथ (σ_a) और y को परिधि के साथ (σ_h) लें। सीवन का अभिलंब अक्ष से 90° − α बनाता है।

|τ_n| = (90 − 45)·sin 50°·cos 50° = 22.16 MPa

उत्तर

|τ_n| = 22.16 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 4.96 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 8000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa³/(3EI) = 8000·2500³/(3·8.4 × 10¹²) = 4.96 mm

उत्तर

δ_P = 4.96 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: M_A = 42.19 kN·m

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)। स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य बीम के लिए एक अतिरिक्त (रिडंडेंट) आलंब हटाएँ और वहाँ विक्षेप को शून्य रखें (संगतता)।

टेक हटाएँ

टेक के बिना बीम एक कैंटिलीवर है। उसका मुक्त सिरा भार के नीचे विक्षेपित होगा।

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

टेक पर संगतता

अकेला टेक बल R_B मुक्त सिरे को R_BL³/(3EI) ऊपर उठाता है। टेक B को शून्य विक्षेप पर रखता है, इसलिए दोनों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा। EI कट जाता है।

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14.06 kN

स्थिर सिरे पर आघूर्ण

भारों और टेक बल के A के परितः आघूर्ण।

M_A = P·L/2 − R_B·L = 112.5 − 70.31 = 42.19 kN·m

उत्तर

M_A = 42.19 kN·m

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 8.97 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1750² = 8970 N = 8.97 kN

उत्तर

P_cr = 8.97 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 83.14 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 83.14 mm

उत्तर

d = 83.14 mm

जाँच: तनुता KL/r = 144.3 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 8.093 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 16·cos 60° = 8 m/s

t = x/v_x = 16/8 = 2 s

उस समय ऊँचाई

y = 13.86·2 − ½·9.81·2² = 8.093 m

उत्तर

y = 8.093 m

दीवार पर गेंद पहले से नीचे आ रही है।

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 62.23 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 12.26 m/s, v_y = 26.28 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

7 = 26.28·t − 4.905·t²

t = (26.28 + √(26.28² − 2·9.81·7))/9.81 = 5.077 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 12.26·5.077 = 62.23 m

उत्तर

x = 62.23 m

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 6.506 m/s

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

गुटका d·sin θ ऊँचाई गिरता है जबकि घर्षण μmg·cos θ·d हटाता है। द्रव्यमान कट जाता है।

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.342 − 0.2·0.9397)) = 6.506 m/s

उत्तर

v = 6.506 m/s

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 4.093 m/s

ढलान के अनुदिश बल

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

mg·sin θ = 24.52 N

μ·mg·cos θ = 8.496 N

कार्य–ऊर्जा

½mv² = (40 − 33.02)·6 = 41.88 J

v = √(2·41.88/5) = 4.093 m/s

उत्तर

v = 4.093 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.6

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·50) = 2000 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 1200/2000 = 0.6

उत्तर

ζ = 0.6

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 1.949 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/10 + 1/30 → k_eq = 10·30/(10 + 30) = 7.5 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(7500/50) = 12.25 rad/s

f_n = 12.25/(2π) = 1.949 Hz

उत्तर

f_n = 1.949 Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 55.19 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 303.1/573.1 = 47.11 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 26/47.11 = 55.19 %

उत्तर

η_II = 55.19 %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: S_gen = 0.7232 kJ/K

एन्ट्रॉपी उत्पादन: पूरे चक्र में कार्यकारी तरल का कोई नेट एन्ट्रॉपी परिवर्तन नहीं होता। गर्म भंडार Q_H/T_H खोता है और ठंडा भंडार Q_L/T_L पाता है। इनका योग उत्पन्न एन्ट्रॉपी है, जो उत्क्रमणीय चक्र के लिए शून्य और हर वास्तविक चक्र के लिए धनात्मक है।

त्यागी गई ऊष्मा

Q_L = Q_H − W = 800 − 200 = 600 kJ

परम तापमान

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

भंडारों के एन्ट्रॉपी परिवर्तन

ΔS_H = −800/573.1 = −1.396 kJ/K

ΔS_L = 600/283.1 = 2.119 kJ/K

S_gen = 2.119 − 1.396 = 0.7232 kJ/K

उत्तर

S_gen = 0.7232 kJ/K

S_gen > 0, इसलिए इंजन संभव है पर अनुत्क्रमणीय है।

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: T₃ = 1467 K

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

संपीडन का अंत

T₂ = 295·20^0.4 = 977.8 K

नियत दाब पर ऊष्मा का योग

T₃ = r_c·T₂ = 1.5·977.8 = 1467 K

उत्तर

T₃ = 1467 K

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 246.7 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T₂ = 295·16^0.2857 = 651.4 K

T₄ = 1100/16^0.2857 = 498.1 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(651.4 − 295) = 358.2 kJ/kg

w_t = 1.005·(1100 − 498.1) = 604.9 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 604.9 − 358.2 = 246.7 kJ/kg

उत्तर

w_net = 246.7 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 59.22%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 14.1 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

सांतत्य

v₁ = v₂·(40/80)² = 0.25·v₂

प्रवेश और कंठ के बीच बर्नूली

पाइप क्षैतिज है, इसलिए केवल दाब और वेग बदलते हैं।

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·59000/(1000·(1 − 0.0625))) = 11.22 m/s

v₁ = 2.805 m/s

प्रवाह दर

Q = A₂·v₂ = 0.001257·11.22 = 0.0141 m³/s = 14.1 L/s

उत्तर

Q = 14.1 L/s

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 18.64 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(150/50)² = 11.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 11.25²)/1000 = −62.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 140 + (−62.5) − 58.86 = 18.64 kPa

उत्तर

p₂ = 18.64 kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 3.303 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 1.2²/(2·9.81) = 0.07339 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(500/0.2)·1.2²/(2·9.81) = 3.303 m

उत्तर

h_f = 3.303 m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δz = 3.796 m

वेग

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.025·200/0.2 = 25

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

कुल शीर्ष हानि

h_f = 25·0.1291 = 3.228 m

h_m = 4.4·0.1291 = 0.5681 m

Δz = h_f + h_m = 3.796 m

उत्तर

Δz = 3.796 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: η = 84.98 %

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·34 = 26.68 kW

दक्षता

η = P_h/P_shaft = 26.68/31.4 = 84.98%

उत्तर

η = 84.98%

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 10.93 m

वेग

V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0.119 = 3.926 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें खुली और लगभग विराम में हैं, इसलिए दाब और वेग पद हट जाते हैं।

H = Δz + h_L = 7 + 3.926 = 10.93 m

उत्तर

H = 10.93 m

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 81.86 W

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (100/1000)/(0.035·10) = 0.2857 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(0.17·10) = 0.04412 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 27/0.3298 = 81.86 W

उत्तर

Q̇ = 81.86 W

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: U = 0.195 W/(m²·K)

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(6·4) = 0.04167 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0.035·4) = 1.071 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (25/1000)/(0.04·4) = 0.1563 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·4) = 0.0125 K/W

ΣR = 1.282 K/W

समग्र गुणांक

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·1.282) = 0.195 W/(m²·K)

उत्तर

U = 0.195 W/(m²·K)

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: P = 3.77 kW

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

पट्टे की चाल

v = 6.283 m/s

शक्ति

P = (1000 − 400)·6.283 = 3770 W = 3.77 kW

उत्तर

P = 3.77 kW

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 725 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 1450·45/60 = 1088 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1088·20/30 = 725 rpm

उत्तर

n_out = 725 rpm

कुल अनुपात = 2 : 1

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: A = 0.2

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

हर का गुणनखंड करें

s² + 11s + 24 = (s + 3)(s + 8)

F(s) = A/(s + 3) + B/(s + 8)

कवर-अप नियम

(s + 3) से गुणा करें और s = −3 रखें: B-पद लुप्त हो जाता है।

A = (s + 4)/(s + 8) |_{s = −3} = 1/5 = 0.2

उत्तर

A = 0.2

(B = 0.8, इसलिए f(t) = 0.2·e^−3t + 0.8·e^−8t)

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: g(0.6) = 1.622

अंतरण फलन

G(s) = Y(s)/U(s) = (2s + 14)/(s² + 4s + 8)

आंशिक भिन्न

s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2²

G(s) = 2·(s + 2)/((s + 2)² + 2²) + (10/2)·2/((s + 2)² + 2²)

आवेग अनुक्रिया

g(t) = e^−2t·(2·cos 2t + 5·sin 2t)

g(0.6) = 1.622

उत्तर

g(0.6) = 1.622

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: p = −113

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

भीतरी लूप

Gᵢ = G/(1 + G·H₁) = 7/(s + 1 + 7·4) = 7/(s + 29)

बाहरी लूप

T(s) = K·Gᵢ/(1 + K·Gᵢ) = 84/(s + 29 + 84) = 84/(s + 113)

परिणाम

p = −113

उत्तर

p = −113

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: σ = −1.5

अभिलाक्षणिक समीकरण

s(s + 3) + 12·2 = 0 → s² + 3s + 24 = 0

मूल

s = −1.5 ± j·√(24 − 2.25) = −1.5 ± j4.664

σ = −1.5

उत्तर

σ = −1.5

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_p = 0.3897 s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 90 → ωₙ = 9.487 rad/s

2ζωₙ = 10 → ζ = 10/(2·9.487) = 0.527

परिणाम

ω_d = 9.487·√(1 − 0.527²) = 8.062 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.3897 s

उत्तर

t_p = 0.3897 s

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_p = 3.927 ms

प्राकृतिक आवृत्ति और अवमंदन अनुपात

ωₙ = 1/√(LC) = 1/√(0.5·2 × 10⁻⁶) = 1000 rad/s

ζ = (R/2)·√(C/L) = (600/2)·√(2 × 10⁻⁶/0.5) = 0.6

परिणाम

ω_d = 800 rad/s

t_p = π/ω_d = 3.927 ms

उत्तर

t_p = 3.927 ms

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 4

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

वेग स्थिरांक

K_v = lim s·G(s) = 0.5

सोपान वाला भाग

K_p = ∞ → e_step = 0

रैंप त्रुटि

e_ss = 2/0.5 = 4

उत्तर

e_ss = 4

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K_p = 1.18

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

1 + C(s)G(s) = 0, जिसे s(s + 1) से गुणा किया गया है।

s² + (1 + 10K_p)s + 10K_i

लक्ष्य बहुपद

s² + 2·0.8·8s + 8² = s² + 12.8s + 64

गुणांक मिलाइए

1 + 10K_p = 12.8 → K_p = 1.18

उत्तर

K_p = 1.18

समाकल पद लूप को प्रकार-1 बना देता है, इसलिए सोपान का अनुसरण स्थायी-अवस्था त्रुटि के बिना होता है।

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