FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 6 mP₁ = 40 kN पर 1 mP₂ = 60 kN पर 2 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

L = 6 mP = 50 kN पर 2.5 mw = 6 kN/m, 2 से 5 m तक

R_A = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

स्टील छड़ में अक्षीय विकृति ε माइक्रोस्ट्रेन (µε = 10⁻⁶) में ज्ञात कीजिए।

P = 65 kNd = 25 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

ε = µε

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 100 kNखंड 1: Ø35 mm, 0.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø12 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

स्टील का एक ठोस शाफ़्ट दीवार में जड़ित है और मुक्त सिरे पर बलाघूर्ण T से मरोड़ा जाता है। मुक्त सिरे का मरोड़ कोण φ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक खोखला शाफ़्ट 1450 rpm पर 30 kW संचारित करता है। शाफ़्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

कैंटिलीवर A पर स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और A से 1 m पर बिंदु भार P वहन करता है। स्थिर आलंब A पर बंकन आघूर्ण M_A ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 2 mP = 65 kN पर 1 mw = 3 kN/m, 0 से 2 m तक

M_A = kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

50 kN @ 0 m35 kN @ 6 m35 kN @ 4 m15 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 110 MPa, σᵧ = 0 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से उस तल के अभिलंब तक का कोण θ_s, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए जिस पर अपरूपण प्रतिबल का अधिकतम धनात्मक मान +R है (अपरूपण τₓᵧ की ही दिशा में धनात्मक)।

σ_x = 110 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

20 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 200 N·m के बलाघूर्ण के साथ 200 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 20 mmM = 200 N·mT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम आलंब A से a = 2.5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 6 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 200 GPa (स्टील)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 60 mm

σ_cr = MPa

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 25 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 25° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने तक उड़ान का समय t ज्ञात कीजिए।

v₀ = 10 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

10 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 16 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgθ = 30°μ = 0.1d = 16 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

एक 0.5 kg गाड़ी 15 m की ऊँचाई पर विराम से एक चिकने ट्रैक पर छोड़ी जाती है जो 5 m त्रिज्या वाले ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार लूप में जाता है। लूप के शीर्ष पर ट्रैक द्वारा गाड़ी पर लगाया गया अभिलंब बल N ज्ञात कीजिए।

m = 0.5 kgh = 15 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N = N

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

80 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग पर एक 500 kg द्रव्यमान के साथ एक श्यान अवमंदक है जो 0.45 का अवमंदन अनुपात देता है। इसके मुक्त कंपन की अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति f_d Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 500 kgk = 80 kN/mζ = 0.45

f_d = Hz

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान स्प्रिंग k₃ = 80 kN/m से लटका है। k₃ का ऊपरी सिरा एक दृढ़ छड़ से जुड़ा है जो अगल-बगल दो स्प्रिंगों k₁ = 15 kN/m और k₂ = 60 kN/m से लटकी है; छड़ समतल रहती है। अवमंदन तथा स्प्रिंगों और छड़ के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 550 °C पर गर्म भंडार और 40 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। अधिकतम संभव तापीय दक्षता η_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 550 °CT_L = 40 °C

η_max = %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 2 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 35 °C वाले तापन तंत्र को 6 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 55% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 35 °CT_L = 2 °Cη_II = 55%Q̇_H = 6 kW

Ẇ = kW

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 20 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.5 है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 20r_c = 2.5k = 1.4

η = %

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 12 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 12k = 1.4

η = %

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 40 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 110 kPa और वेग 2.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 110 kPav₁ = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

25 mm भीतरी व्यास वाला एक होज़ खुली टंकी से पानी साइफ़न करता है। होज़ का उच्चतम बिंदु C पानी की सतह से 2 m ऊपर है, और निकास (हवा में खुला) पानी की सतह से 5 m नीचे है। हानियों को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। बिंदु C पर परम दाब p_C ज्ञात कीजिए। वायुमंडलीय दाब 101.3 kPa है।

d = 25 mmz_C = +2 mz₂ = −5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 50 mm आंतरिक व्यास वाले 50 m लंबे पाइप से 2 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 2 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

300 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015) वाला 500 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 5)। g = 9.81 m/s² लें। 120 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 120 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

75% दक्षता वाला एक पंप 54 m शीर्ष के विरुद्ध 25 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 25 L/sH = 54 mη = 75%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 75 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 16 m ऊँची है। पाइप 600 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 200 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। ऊपरी टैंक बंद है और उसके जल के ऊपर की वायु 400 kPa के गेज दाब पर है। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 75 L/sΔz = 16 mL = 600 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार कंक्रीट की 200 mm और खनिज ऊन की 25 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 20 m²। बाहरी फलक 15 °C और -7 °C पर हैं। दीवार से ऊष्मा प्रवाह Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 200 mm, k₁ = 1.4 W/(m·K)L₂ = 25 mm, k₂ = 0.04 W/(m·K)A = 20 m²T₁ = 15 °CT₃ = -7 °C

Q̇ = W

32.ऊष्मा चालनकठिन

150 mm काँच और 50 mm लकड़ी की दीवार 22 °C वाले कमरे को 3 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 10 W/(m²·K) और बाहर 30 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 6 m² है। दीवार से ऊष्मा हानि Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 150 mm, k₁ = 0.96 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 6 m²h_i = 10 W/(m²·K)h_o = 30 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = 3 °C

Q̇ = W

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

120 mm की घिरनी 720 rpm पर पट्टे से 450 mm की घिरनी को 3 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n₂ ज्ञात कीजिए।

n₁ = 720 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 450 mms = 3 %

n₂ = rpm

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 960 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (32 दाँत) गियर B (50 दाँत) को चलाता है। गियर C (30 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (60 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 960 rpmA = 32B = 50C = 30D = 60

n_out = rpm

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

आंशिक भिन्नों से F(s) = 35/(s(s + 3)(s + 4)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.2) का मान निकालिए।

F(s) = 35/(s(s + 3)(s + 4))t = 0.2 s

f(0.2) =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र y″ + 7y′ + 12y = 48·u(t) का पालन करता है, जहाँ y(0) = 4 और y′(0) = 0। t = 0 पर एक सोपान इनपुट u(t) = 10 लगाया जाता है। लाप्लास रूपांतर से y(0.25) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 12y = 48·u(t)y(0) = 4y′(0) = 0u(t) = 10t = 0.25 s

y(0.25) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 50/(s(s + 6)) है। संदर्भ एक रैंप r(t) = 10·t है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 50/(s(s + 6))r(t) = 10·t

e_ss =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K = 20 एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में संयंत्र G(s) = 7/(s + 10) को चलाता है। एक विक्षोभ D संयंत्र इनपुट पर प्रवेश करता है (यह नियंत्रक आउटपुट में जोड़ा जाता है)। R = 0 के साथ आकार 1 का विक्षोभ सोपान लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था आउटपुट c_ss ज्ञात कीजिए।

K = 20G(s) = 7/(s + 10)D = 1R = 0

c_ss =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 33.5/(s² + 5s + 67) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। प्राकृतिक आवृत्ति ω_n rad/s में ज्ञात कीजिए।

G(s) = 33.5/(s² + 5s + 67)

ω_n = rad/s

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 6)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 15 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।

G(s) = K/(s(s + 6))%OS = 15 %

K =

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

निवेश r(t) = 5 + 2t (एक सोपान और एक रैंप का योग) G(s) = 5/(s(s + 10)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 5/(s(s + 10))r(t) = 5 + 2t

e_ss =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K = 8 संयंत्र G(s) = 1/(s(s + 2)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। t_s ≈ 4/(ζωₙ) का उपयोग करके सोपान अनुक्रिया का 2 % स्थिरीकरण समय t_s ज्ञात कीजिए।

G(s) = 1/(s(s + 2))K = 8

t_s = s

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 73.33 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·1 + 60·2

R_B = 160/6 = 26.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 26.67 = 73.33 kN

उत्तर

R_A = 73.33 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 36.67 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, x̄ = 3.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2.5 + 6·3·3.5

R_B = 188/6 = 31.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 31.33 = 36.67 kN

उत्तर

R_A = 36.67 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: ε = 662.1 µε

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 65·1000/490.9 = 132.4 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 132.4/200000 = 0.0006621 = 662.1 µε

उत्तर

ε = 662.1 µε

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 884.2 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 103.9 MPa

σ₂ = 884.2 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 884.2 MPa

उत्तर

σ_max = 884.2 MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ = 1.167 °

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

मरोड़ कोण

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(80000·613592) = 0.02037 rad

φ = 0.02037·180/π = 1.167°

उत्तर

φ = 1.167°

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: τ_max = 8.586 MPa

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल

τ_max = T·(d_o/2)/J = 197572·25/575243 = 8.586 MPa

उत्तर

τ_max = 8.586 MPa

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_A = −71 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

मुक्त-सिरे वाला भाग रखें

P: −65·1 = −65 kN·m

w: −3·2²/2 = −6 kN·m

M_A = −65 − 6 = −71 kN·m

उत्तर

M_A = −71 kN·m

ऋणात्मक का अर्थ है हॉगिंग: ऊपरी फलक पर तनाव।

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: B (x = 1 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 92.5 kN, R₂ = 87.5 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −15, M_D = 5, M_E = 10, M_F = −35, M_G = 0

उत्तर

चिह्न B: M_B = −50 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_s = −35.01 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर शीर्ष बिंदु (+R) मुख्य बिंदु σ₁ से 90° पर है; अवयव पर यह 45° है।

cos 2θ_s = 20/58.52 = 0.3417, sin 2θ_s = −55/58.52 = −0.9398

2θ_s = atan2(−55, 20) = −70.02°

अवयव पर कोण

θ_s = −35.01°

जाँच: θ_s − θ_p = −35.01 − 9.992 = −45°

उत्तर

θ_s = −35.01°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 307.4 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254.6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·20³) = 127.3 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 127.3 MPa

R = √(127.3² + 127.3²) = 180.1 MPa

σ₁ = C + R = 307.4 MPa

σ₂ = C − R = −52.74 MPa

उत्तर

σ₁ = 307.4 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 2.93 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 6000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·2500²·1500²/(3·2.4 × 10¹²·4000) = 2.93 mm

उत्तर

δ_P = 2.93 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·70000·22.22) = 1.714 × 10⁸ mm⁴

I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 171.4 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 27.56 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27.56 kN

उत्तर

P_cr = 27.56 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 38.86 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133.3

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133.3² = 38.86 MPa

उत्तर

σ_cr = 38.86 MPa

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 78.7 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 50° = 18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 50° = 21.45 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·21.45/9.81 = 4.373 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 18·4.373 = 78.7 m

उत्तर

x = 78.7 m

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: t = 2.729 s

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 25° = 9.063 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 25° = 4.226 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 25 + 4.226·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.226 + √(17.86 + 490.5))/9.81 = 2.729 s

उत्तर

t = 2.729 s

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 135.9 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 98.1·0.866 = 84.96 N

F = μN = 0.1·84.96 = 8.496 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 8.496·16 = 135.9 J

उत्तर

W_f = 135.9 J

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: N = 4.905 N

शीर्ष पर चाल

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(15 − 10) = 98.1 m²/s²

शीर्ष पर बल

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·98.1/5 − 4.905 = 4.905 N

उत्तर

N = 4.905 N

गाड़ी ठीक तब लूप पूरा करती है जब h = 2.5R; तब शीर्ष पर N = 0।

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_d = 1.798 Hz

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(80000/500) = 12.65 rad/s

f_n = 12.65/(2π) = 2.013 Hz

अवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.013·√(1 − 0.45²) = 1.798 Hz

उत्तर

f_d = 1.798 Hz

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 9.902 Hz

तुल्य दृढ़ता

केवल k₁ और k₂ समांतर में हैं। वह जोड़ी k₃ के श्रेणी में है, इसलिए उन्हें व्युत्क्रम के रूप में मिलाएँ।

k₁₂ = 15 + 60 = 75 kN/m

k_eq = 75·80/(75 + 80) = 38.71 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(38710/10) = 62.22 rad/s

f_n = 62.22/(2π) = 9.902 Hz

उत्तर

f_n = 9.902 Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_max = 61.96 %

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 313.1/823.1 = 61.96 %

उत्तर

η_max = 61.96 %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 1.168 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 275.1) = 9.338

COP = 0.55·9.338 = 5.136

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 6/5.136 = 1.168 kW

उत्तर

Ẇ = 1.168 kW

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 62.55 %

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

कटऑफ़ पद

(2.5^1.4 − 1)/(1.4·(2.5 − 1)) = 1.241

तापीय दक्षता

η = 1 − 0.3017·1.241 = 62.55%

उत्तर

η = 62.55%

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 50.83 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/12^0.2857 = 1 − 1/2.034 = 50.83%

उत्तर

η = 50.83%

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 67.05 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(75/40)² = 9.668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 9.668²)/1000 = −42.95 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 110 + (−42.95) = 67.05 kPa

उत्तर

p₂ = 67.05 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p_C = 32.63 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

होज़ में वेग

सतह और निकास दोनों हवा में खुले हैं, इसलिए दाब पद कट जाते हैं।

v = √(2g·5) = √(2·9.81·5) = 9.905 m/s

सतह से C तक बर्नूली

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(9.905²/2 + 9.81·2)/1000 = 101.3 − 68.67 = 32.63 kPa

उत्तर

p_C = 32.63 kPa

यदि यह दाब पानी के वाष्प दाब तक गिर जाए, तो साइफ़न काम करना बंद कर देता है।

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 0.7932 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.002/0.001963 = 1.019 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 1.019²/(2·9.81) = 0.05288 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(50/0.05)·1.019²/(2·9.81) = 0.7932 m

उत्तर

h_f = 0.7932 m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 4.715 m

वेग

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.015·500/0.3 = 25

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 25 + 6.1)·0.1469 = 4.715 m

उत्तर

H = 4.715 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 17.66 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·54 = 13.24 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 13.24/0.75 = 17.66 kW

उत्तर

P_shaft = 17.66 kW

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 74.2 m

वेग

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (54 + 6)·0.2905 = 17.43 m

दाब शीर्ष

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें लगभग विराम में हैं, इसलिए कोई वेग शीर्ष पद नहीं है।

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 16 + 40.77 + 17.43 = 74.2 m

उत्तर

H = 74.2 m

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 573 W

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (200/1000)/(1.4·20) = 0.007143 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (25/1000)/(0.04·20) = 0.03125 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 22/0.03839 = 573 W

उत्तर

Q̇ = 573 W

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 195.3 W

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(10·6) = 0.01667 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0.96·6) = 0.02604 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0.17·6) = 0.04902 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(30·6) = 0.005556 K/W

ΣR = 0.09728 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (22 − (3))/0.09728 = 195.3 W

उत्तर

Q̇ = 195.3 W

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n₂ = 186.2 rpm

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

फिसलन के बिना गति

720·120/450 = 192 rpm

फिसलन सहित

n₂ = 192·0.97 = 186.2 rpm

उत्तर

n₂ = 186.2 rpm

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 307.2 rpm

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

पहला चरण

n_B = 960·32/50 = 614.4 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 614.4·30/60 = 307.2 rpm

उत्तर

n_out = 307.2 rpm

कुल अनुपात = 3.125 : 1

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.2) = 0.4455

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

आंशिक भिन्न

F(s) = A/s + B/(s + 3) + C/(s + 4)

A = 35/(3·4) = 2.917

B = 35/((−3)·1) = −11.67

C = 35/((−4)·(−1)) = 8.75

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = 2.917 − 11.67·e^−3t + 8.75·e^−4t

मान निकालें

f(0.2) = 2.917 − 11.67·e^−3·0.2 + 8.75·e^−4·0.2 = 0.4455

उत्तर

f(0.2) = 0.4455

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.25) = 11.71

समीकरण का रूपांतर करें

(s² + 7s + 12)·Y(s) = 4s + 28 + 480/s

Y(s) = (4s² + 28s + 480)/(s(s + 3)(s + 4))

आंशिक भिन्न

A = 480/(3·4) = 40

B = 432/((−3)·1) = −144

C = 432/((−4)·(−1)) = 108

परिणाम

y(t) = 40 − 144·e^−3t + 108·e^−4t

y(0.25) = 11.71

उत्तर

y(0.25) = 11.71

जाँच: y(0) = A + B + C = 4।

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: e_ss = 1.2

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

वेग त्रुटि स्थिरांक

Kᵥ = lim_s→0 s·G(s) = 50/6 = 8.333

स्थायी-अवस्था त्रुटि

e_ss = A/Kᵥ = 10/8.333 = 1.2

उत्तर

e_ss = 1.2

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: c_ss = 0.04667

अंतरण फलन

C/D = G/(1 + K·G) = 7/(s + 10 + 140)

स्थायी अवस्था

c_ss = 1·7/150 = 0.04667

उत्तर

c_ss = 0.04667

बड़ा K विक्षोभ का प्रभाव घटाता है, पर आनुपातिक नियंत्रक के साथ कभी शून्य नहीं करता।

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ω_n = 8.185 rad/s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 67 → ωₙ = 8.185 rad/s

2ζωₙ = 5 → ζ = 5/(2·8.185) = 0.3054

परिणाम

ωₙ = 8.185 rad/s

उत्तर

ω_n = 8.185 rad/s

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: K = 33.68

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = K/(s² + 6s + K)

अतिलंघन से अवमंदन अनुपात

ζ = −ln(0.15)/√(π² + ln²(0.15)) = 0.5169

लब्धि

ωₙ = 6/(2ζ) = 5.803 rad/s

K = ωₙ² = 33.68

उत्तर

K = 33.68

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 4

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

वेग स्थिरांक

K_v = lim s·G(s) = 0.5

सोपान वाला भाग

K_p = ∞ → e_step = 0

रैंप त्रुटि

e_ss = 2/0.5 = 4

उत्तर

e_ss = 4

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: t_s = 4 s

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

s(s + 2) + 8·1 = s² + 2s + 8

ωₙ और ζ

ωₙ = √8 = 2.828 rad/s

ζ = 2/(2·2.828) = 0.3536

स्थिरीकरण समय

ζωₙ = 2/2 = 1

t_s ≈ 4/1 = 4 s

उत्तर

t_s = 4 s

यहाँ स्थिरीकरण काल K पर निर्भर नहीं करता: K बढ़ाने से अनुक्रिया केवल अधिक तेज़ी से दोलन करती है।

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