FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_B ज्ञात कीजिए।

L = 10 mP₁ = 20 kN पर 5 mP₂ = 35 kN पर 7 m

R_B = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

बीम में A पर पिन और A से 6 m पर B पर रोलर है, और यह B से आगे मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह A से 1 m पर बिंदु भार P और 5 m से 8 m पर मुक्त सिरे तक समान वितरित भार w वहन करता है। ऊपर की ओर को धनात्मक लेते हुए ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

AB = 6 mAC = 8 mP = 50 kN पर 1 mw = 5 kN/m, 5 से 8 m तक

R_A = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत स्टील छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 50 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 200 GPa

δ = mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 85 kNखंड 1: Ø25 mm, 1.5 m, एल्युमिनियम (E = 70 GPa)खंड 2: Ø20 mm, 1 m, ताँबा (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक खोखले शाफ़्ट को 2000 N·m का बलाघूर्ण वहन करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.8 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 40 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

T = 2000 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

40 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 1.5 m पर B पर 1500 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 0.8 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 200 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φ_C का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 40 mmT_B = 1500 N·mT_C = 200 N·mAB = 1.5 mBC = 0.8 mG = 39 GPa

φ_C = °

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

चिह्न A से G धरन को छह बराबर भागों में बाँटते हैं। किस चिह्न पर बंकन आघूर्ण परिमाण में सबसे बड़ा है, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी? उसे आरेख में क्लिक करें।

50 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

आलंब A से x = 1.5 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 4 mP = 25 kN पर 2 mw = 10 kN/m, 0 से 4 m तकx = 1.5 m

M_x = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −30 MPa, σᵧ = 10 MPa और τₓᵧ = 50 MPa है (तनन धनात्मक)। तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल τ_max ज्ञात कीजिए।

σ_x = −30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −50 MPa, σᵧ = 100 MPa और τₓᵧ = 20 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 20° दक्षिणावर्त घुमाया गया है।

σ_x = −50 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w वहन करता है। मध्य विस्तार पर अधिकतम विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (इमारती लकड़ी)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम अपने तृतीयांश बिंदुओं (हर आलंब से L/3) पर दो बराबर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 30 kNL = 5 mE = 200 GPa (स्टील)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 20 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर पिन किया हुआ है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 2.5 के सुरक्षा गुणक के साथ 125 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 125 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद को 14 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर 6 m दूर एक दीवार की ओर किक मारी जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। गेंद किस ऊँचाई y पर दीवार से गुज़रती है?

v₀ = 14 m/sθ = 50°x = 6 mg = 9.81 m/s²

y = m

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 33 m/s से क्षैतिज से 55° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 6 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 33 m/sθ = 55°h_roof = 6 mg = 9.81 m/s²

x = m

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 1500 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.1 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 5 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.1 kgk = 1500 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

25° ढलान के तल पर 5000 N/m कठोरता वाले एक स्प्रिंग को एक 1 kg गुटके के विरुद्ध 12 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। गुटके और ढलान के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। रुकने से पहले गुटका छोड़ने के बिंदु से ढलान पर कितनी दूर d ऊपर जाता है? (स्प्रिंग के धकेलने वाली छोटी दूरी को नगण्य मानें, अर्थात घर्षण और गुरुत्व को पूरी दूरी d पर लें।)

m = 1 kgk = 5000 N/mx = 12 cmθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक 50 kg द्रव्यमान 150 kN/m दृढ़ता वाले स्प्रिंग और 550 N·s/m अवमंदन गुणांक वाले श्यान अवमंदक पर टिका है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

m = 50 kgk = 150 kN/mc = 550 N·s/m

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 100 kN/m और निचला k₂ = 12 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक उत्क्रमणीय (कार्नो) ऊष्मा इंजन 700 °C वाले भंडार से प्रति चक्र 4800 kJ ऊष्मा लेता है और 1619 kJ त्यागता है। ठंडे भंडार का तापमान T_L °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 700 °CQ_H = 4800 kJQ_L = 1619 kJ

T_L = °C

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा पंप 7 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेकर 35 °C वाले तापन तंत्र को 5.5 kW ऊष्मा देता है। इसका वास्तविक COP इन तापमानों के बीच कार्नो COP का 50% है। इसके द्वारा ली गई विद्युत शक्ति Ẇ ज्ञात कीजिए।

T_H = 35 °CT_L = 7 °Cη_II = 50%Q̇_H = 5.5 kW

Ẇ = kW

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 14 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.5 है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 14r_c = 1.5k = 1.4

η = %

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 18 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 300 K पर संपीडक में और 1500 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। दोनों मशीनें समएन्ट्रॉपिक हैं। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 18T₁ = 300 KT₃ = 1500 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 150 mm से 75 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 140 kPa और वेग 2.75 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 140 kPav₁ = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

32 mm भीतरी व्यास वाला एक होज़ खुली टंकी से पानी साइफ़न करता है। होज़ का उच्चतम बिंदु C पानी की सतह से 2 m ऊपर है, और निकास (हवा में खुला) पानी की सतह से 2 m नीचे है। हानियों को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रवाह दर Q ज्ञात कीजिए।

d = 32 mmz_C = +2 mz₂ = −2 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल (ρ = 1000 kg/m³) 200 mm आंतरिक व्यास वाले 1000 m लंबे क्षैतिज पाइप से 2 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।

V = 2 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

150 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022) वाला 100 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 3 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 5)। g = 9.81 m/s² लें। 30 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 30 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

70% दक्षता वाला एक पंप 10 m शीर्ष के विरुद्ध 30 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 30 L/sH = 10 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 80 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 6 m ऊँची है। पाइप 600 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 250 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.018 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 70% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 80 L/sΔz = 6 mL = 600 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार ईंट की 50 mm और जिप्सम बोर्ड की 100 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 20 m²। बाहरी फलक 18 °C और -8 °C पर हैं। दीवार से ऊष्मा प्रवाह Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 50 mm, k₁ = 0.72 W/(m·K)L₂ = 100 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²T₁ = 18 °CT₃ = -8 °C

Q̇ = W

32.ऊष्मा चालनकठिन

50 mm जिप्सम बोर्ड और 75 mm लकड़ी की दीवार 22 °C वाले कमरे को -12 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 10 W/(m²·K) और बाहर 20 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 15 m² है। दीवार से ऊष्मा हानि Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 50 mm, k₁ = 0.17 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²h_i = 10 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 22 °CT_out = -12 °C

Q̇ = W

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

960 rpm पर चल रही एक 7.5 kW मोटर 18 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 25 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 7.5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 25η = 100%

T₁ = N·m

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में निवेश शाफ़्ट पर गियर A (16 दाँत) 2880 rpm पर घूमता है और गियर B (40 दाँत) को चलाता है। गियर C (18 दाँत) B के ही शाफ़्ट पर लगा है और निर्गम शाफ़्ट पर गियर D को चलाता है। निर्गम को 864 rpm पर घूमना है। गियर D में कितने दाँत N_D होने चाहिए?

n_in = 2880 rpmA = 16B = 40C = 18n_out = 864 rpm

N_D =

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

F(s) = (5s + 39)/(s² + 7s + 10)। इसका प्रतिलोम रूपांतर f(t) = A·e^−2t + B·e^−5t के रूप का है। आंशिक भिन्नों से गुणांक A ज्ञात कीजिए।

F(s) = (5s + 39)/(s² + 7s + 10)

A =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र y″ + 7y′ + 10y = 10·u(t) का पालन करता है। यह विराम से शुरू होता है (y(0) = 0, y′(0) = 0) और इनपुट t ≥ 0 के लिए एक सोपान u(t) = 5 है। लाप्लास रूपांतर से आउटपुट y(0.2) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 10y = 10·u(t)u(t) = 5y(0) = 0, y′(0) = 0t = 0.2 s

y(0.2) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

संयंत्र G(s) = K/((s + 3)(s + 4)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत लूप क्रांतिक अवमंदित है (दो बराबर वास्तविक ध्रुव)।

G(s) = K/((s + 3)(s + 4))एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश

K =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में संयंत्र G(s) = 9/(s + 10) को चलाता है। R = 0 रहते हुए आकार 0.5 का विक्षोभ सोपान संयंत्र इनपुट पर प्रवेश करता है। वह न्यूनतम लब्धि K ज्ञात कीजिए जो स्थायी-अवस्था आउटपुट को 0.045 या उससे कम रखे।

G(s) = 9/(s + 10)D = 0.5c_ss ≤ 0.045

K =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 76/(s² + 7s + 76) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

G(s) = 76/(s² + 7s + 76)

ζ =

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया में 5 % अतिलंघन होना चाहिए। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

%OS = 5 %

ζ =

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

रैंप r(t) = 0.5t को G(s) = 50(s + 3)/(s(s + 10)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 50(s + 3)/(s(s + 10))r(t) = 0.5t

e_ss =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K संयंत्र G(s) = 4/(s(s + 6)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो संवृत-लूप को अवमंदन अनुपात ζ = 0.4 दे।

G(s) = 4/(s(s + 6))ζ = 0.4

K =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_B = 34.5 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·5 + 35·7

R_B = 345/10 = 34.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 34.5 = 20.5 kN

उत्तर

R_B = 34.5 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 40.42 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए।

वितरित भार का परिणामी

W = 5·3 = 15 kN, x̄ = (5 + 8)/2 = 6.5 m

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·1 + 15·6.5

R_B = 147.5/6 = 24.58 kN

R_A = 65 − 24.58 = 40.42 kN

उत्तर

R_A = 40.42 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.8842 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 50·1000/706.9 = 70.74 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for स्टील = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 70.74/200000 = 0.0003537 = 353.7 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.0003537·2500 mm = 0.8842 mm

उत्तर

δ = 0.8842 mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 270.6 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 173.2 MPa

σ₂ = 270.6 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 270.6 MPa

उत्तर

σ_max = 270.6 MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 75.56 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·40·0.5904)) = 75.56 mm

d_i = 0.8·75.56 = 60.44 mm

उत्तर

d_o = 75.56 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 63.38 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 15.84 °

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 1500 = 1700 N·m

हर खंड का मरोड़

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1.7 × 10⁶·1500/(39000·251327) = 0.2602 rad

φ_BC = 200000·800/(39000·251327) = 0.01632 rad

सिरे C का मरोड़

φ_C = 0.2602 + 0.01632 = 0.2765 rad → |φ_C| = 15.84°

उत्तर

φ_C = 15.84°

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: E (x = 4 m)

सबसे बड़ा बंकन आघूर्ण: जहाँ भी अपरूपण बल बदलता है वहाँ M का ढाल बदलता है, इसलिए उसके शिखर वहाँ होते हैं जहाँ अपरूपण बल शून्य को पार करता है: बिंदु भार के नीचे, वितरित भार के भीतर, या ओवरहैंग वाले आधार के ऊपर। कैंटिलीवर के जड़े आधार पर आघूर्ण दीवार पर सबसे अधिक होता है। उन स्थानों पर M के परिमाण की तुलना करें, अधोमुखी या ऊर्ध्वमुखी।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

एक आधार के परितः आघूर्ण लें, फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन का उपयोग करें।

R₁ = 34.67 kN, R₂ = 51.33 kN

हर चिह्न पर बंकन आघूर्ण

कट की एक ओर के सभी बलों के आघूर्ण जोड़ें। अधोमुखी धनात्मक है, ऊर्ध्वमुखी ऋणात्मक।

M_A = 0, M_B = 31.67, M_C = 57.33, M_D = 77, M_E = 90.67 kN·m, M_F = 48.33, M_G = 0

उत्तर

चिह्न E: M_E = 90.67 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 37.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, x̄ = 2 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 10·4·2

R_B = 130/4 = 32.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 32.5 = 32.5 kN

x = 1.5 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 32.5·1.5 − 10·1.5·0.75 = 37.5 kN·m

उत्तर

M_x = 37.5 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_max = 53.85 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

मोर वृत्त की त्रिज्या

τ_max = R = √(((−30 − 10)/2)² + 50²) = 53.85 MPa

उत्तर

τ_max = 53.85 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = −45.31 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 25 + −75·0.766 + 20·−0.6428 = −45.31 MPa

उत्तर

σ_θ = −45.31 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 7.891 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

विक्षेप

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 7.891 mm

उत्तर

δ_max = 7.891 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 5.546 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 30000 N, L = 5000 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

L/3 पर एक भार

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 2.773 mm

दोनों भार जोड़ें

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 5.546 mm

उत्तर

δ_max = 5.546 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 9.646 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·1500 = 750 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/750² = 9646 N = 9.646 kN

उत्तर

P_cr = 9.646 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 103.8 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 103.8 mm

उत्तर

d = 103.8 mm

जाँच: तनुता KL/r = 231.2 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: y = 4.97 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

दीवार तक समय

v_x = 14·cos 50° = 8.999 m/s

t = x/v_x = 6/8.999 = 0.6667 s

उस समय ऊँचाई

y = 10.72·0.6667 − ½·9.81·0.6667² = 4.97 m

उत्तर

y = 4.97 m

दीवार पर गेंद अभी ऊपर उठ रही है।

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 99.93 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 18.93 m/s, v_y = 27.03 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

6 = 27.03·t − 4.905·t²

t = (27.03 + √(27.03² − 2·9.81·6))/9.81 = 5.279 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 18.93·5.279 = 99.93 m

उत्तर

x = 99.93 m

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 1.911 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1500·0.05² = 1.875 J

ऊँचाई

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 1.875/0.981 = 1.911 m

उत्तर

h = 1.911 m

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: d = 5.284 m

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·5000·0.12² = 36 J

ढलान के साथ ऊर्जा संतुलन

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 36/(9.81·(0.4226 + 0.3·0.9063)) = 5.284 m

उत्तर

d = 5.284 m

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.1004

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

क्रांतिक अवमंदन

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·50) = 5477 N·s/m

अवमंदन अनुपात

ζ = c/c_c = 550/5477 = 0.1004

उत्तर

ζ = 0.1004

ζ < 1, इसलिए तंत्र अल्प-अवमंदित है और क्षीण होते हुए दोलन करता है।

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 2.605 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/100 + 1/12 → k_eq = 100·12/(100 + 12) = 10.71 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(10714/40) = 16.37 rad/s

f_n = 16.37/(2π) = 2.605 Hz

उत्तर

f_n = 2.605 Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_L = 55.09 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

स्रोत का परम तापमान

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

उत्क्रमणीय ऊष्मा अनुपात

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 973.1·1619/4800 = 328.2 K = 55.09 °C

उत्तर

T_L = 55.09 °C

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ = 0.9995 kW

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

कार्नो और वास्तविक COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 280.1) = 11.01

COP = 0.5·11.01 = 5.503

निवेश शक्ति

Ẇ = Q̇_H/COP = 5.5/5.503 = 0.9995 kW

उत्तर

Ẇ = 0.9995 kW

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 62.02 %

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

कटऑफ़ पद

(1.5^1.4 − 1)/(1.4·(1.5 − 1)) = 1.092

तापीय दक्षता

η = 1 − 0.348·1.092 = 62.02%

उत्तर

η = 62.02%

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 460.4 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T₂ = 300·18^0.2857 = 685.1 K

T₄ = 1500/18^0.2857 = 656.8 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(685.1 − 300) = 387.1 kJ/kg

w_t = 1.005·(1500 − 656.8) = 847.4 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 847.4 − 387.1 = 460.4 kJ/kg

उत्तर

w_net = 460.4 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 45.68%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 83.28 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(150/75)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 11²)/1000 = −56.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 140 + (−56.72) = 83.28 kPa

उत्तर

p₂ = 83.28 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: Q = 5.038 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

होज़ में वेग

सतह और निकास दोनों हवा में खुले हैं, इसलिए दाब पद कट जाते हैं।

v = √(2g·2) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s

प्रवाह दर

Q = A·v = 0.0008042·6.264 = 0.005038 m³/s = 5.038 L/s

उत्तर

Q = 5.038 L/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δp = 220 kPa

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

शीर्ष हानि

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(1000/0.2)·2²/(2·9.81) = 22.43 m

दाब पात

पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·h_f बन जाता है।

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·22.43 = 220000 Pa = 220 kPa

उत्तर

Δp = 220 kPa

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 3.241 m

वेग

V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.022·100/0.15 = 14.67

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 14.67 + 6.4)·0.1469 = 3.241 m

उत्तर

H = 3.241 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 4.204 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·10 = 2.943 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 2.943/0.7 = 4.204 kW

उत्तर

P_shaft = 4.204 kW

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 14.19 kW

वेग

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s

V²/(2g) = 0.1354 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (43.2 + 6)·0.1354 = 6.66 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 6 + 6.66 = 12.66 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·12.66/0.7 = 14.19 kW

उत्तर

P_shaft = 14.19 kW

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 790.7 W

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (50/1000)/(0.72·20) = 0.003472 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (100/1000)/(0.17·20) = 0.02941 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 26/0.03288 = 790.7 W

उत्तर

Q̇ = 790.7 W

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 576.1 W

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(10·15) = 0.006667 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (50/1000)/(0.17·15) = 0.01961 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(0.17·15) = 0.02941 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·15) = 0.003333 K/W

ΣR = 0.05902 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (22 − (-12))/0.05902 = 576.1 W

उत्तर

Q̇ = 576.1 W

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 74.6 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100.5 = 74.6 N·m

उत्तर

T₁ = 74.6 N·m

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: N_D = 24

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

मध्यवर्ती शाफ़्ट की चाल

n_B = n_C = 2880·16/40 = 1152 rpm

गियर D के दाँत

N_D = C·n_C/n_out = 18·1152/864 = 24

उत्तर

N_D = 24

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: A = 9.667

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

हर का गुणनखंड करें

s² + 7s + 10 = (s + 2)(s + 5)

F(s) = A/(s + 2) + B/(s + 5)

कवर-अप नियम

(s + 2) से गुणा करें और s = −2 रखें: B-पद लुप्त हो जाता है।

A = (5s + 39)/(s + 5) |_{s = −2} = 29/3 = 9.667

उत्तर

A = 9.667

(B = −4.667, इसलिए f(t) = 9.667·e^−2t − 4.667·e^−5t)

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.2) = 0.6403

समीकरण का रूपांतर करें

Y(s) = 50/(s(s + 2)(s + 5))

आंशिक भिन्न

A = 50/(2·5) = 5

B = 50/((−2)·3) = −8.333

C = 50/((−5)·(−3)) = 3.333

निर्गम

y(t) = 5 − 8.333·e^−2t + 3.333·e^−5t

y(0.2) = 0.6403

उत्तर

y(0.2) = 0.6403

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: K = 0.25

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

अभिलाक्षणिक समीकरण

1 + K/((s + 3)(s + 4)) = 0 → s² + 7s + 12 + K = 0

दोहराया गया मूल

द्विघात s² + βs + γ का द्विक मूल तब होता है जब β² = 4γ।

7² = 4(12 + K) → K = 49/4 − 12 = 0.25

उत्तर

K = 0.25

तब दोनों संवृत-लूप ध्रुव s = −3.5 पर हैं।

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: K = 10

विक्षोभ अनुक्रिया

c_ss = D·G(0)/(1 + K·G(0)) = 0.5·9/(10 + 9K)

K के लिए हल करें

10 + 9K = 0.5·9/0.045 = 100

K = (100 − 10)/9 = 10

उत्तर

K = 10

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ζ = 0.4015

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 76 → ωₙ = 8.718 rad/s

2ζωₙ = 7 → ζ = 7/(2·8.718) = 0.4015

परिणाम

ζ = 0.4015

उत्तर

ζ = 0.4015

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ζ = 0.6901

अवमंदन अनुपात

ζ = −ln(0.05)/√(π² + ln²(0.05)) = 2.996/√(9.87 + 8.974) = 0.6901

उत्तर

ζ = 0.6901

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 0.03333

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

वेग स्थिरांक

K_v = lim s·G(s) = 15

रैंप त्रुटि

e_ss = 0.5/15 = 0.03333

उत्तर

e_ss = 0.03333

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K = 14.06

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

s(s + 6) + 4K = s² + 6s + 4K

प्राकृतिक आवृत्ति

2·0.4·ωₙ = 6 → ωₙ = 7.5 rad/s

लब्धि

4K = ωₙ² = 56.25 → K = 14.06

उत्तर

K = 14.06

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