FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP₁ = 10 kN पर 2 mP₂ = 15 kN पर 3.5 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

L = 5 mP = 35 kN पर 1.5 mw = 2 kN/m, 2 से 5 m तक

R_A = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक स्टील छड़ (व्यास 25 mm, E = 200 GPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 70 mm, E = 120 GPa) के भीतर है। दोनों 500 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 150 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 150 kNछड़: Ø25 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील खंड (व्यास 20 mm, लंबाई 400 mm, E = 200 GPa) और एल्युमिनियम का बना खंड (व्यास 30 mm, लंबाई 400 mm, E = 70 GPa) सिरे से सिरा जोड़कर दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़े हैं। जोड़ पर खंड 2 की ओर 80 kN का अक्षीय भार लगता है। खंड 2 में प्रतिबल σ₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

खंड 1: स्टील, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaखंड 2: एल्युमिनियम, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

0.5 m लंबा एक ठोस एल्युमिनियम शाफ़्ट 400 N·m का बलाघूर्ण वहन करता है। उसके सिरों के बीच मरोड़ कोण 1.5° से अधिक नहीं होना चाहिए। इस सीमा को पूरा करने वाला सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·mL = 0.5 mG = 26 GPaφ_allow = 1.5°

d = mm

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

50 mm व्यास वाला एक ठोस पीतल शाफ़्ट A पर स्थिर है। A से 2.5 m पर B पर 100 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है, और 2 m और आगे मुक्त सिरे C पर उसी दिशा में 100 N·m का बलाघूर्ण कार्य करता है। सिरे C के मरोड़ कोण φ_C का परिमाण डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 100 N·mAB = 2.5 mBC = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 1.5 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह आलंबों के बीच बिंदु भार P₁ और C पर बिंदु भार P₂ वहन करता है। भार P₁ के नीचे बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 5.5 mP₁ = 35 kN पर 1 mP₂ = 20 kN पर 5.5 mआलंब x = 0 और x = 4 m पर

M_x = kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 6 mP = 50 kN पर 5 mw = 8 kN/m, 0 से 6 m तक

M_max = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa और τₓᵧ = −10 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = −40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

20 mm व्यास वाला एक ठोस शाफ़्ट 500 N·m के बलाघूर्ण के साथ 200 N·m का बंकन आघूर्ण वहन करता है। ऊपरी सतह पर, जहाँ बंकन प्रतिबल तनन और सबसे बड़ा है, सबसे बड़ा मुख्य प्रतिबल σ₁ ज्ञात कीजिए।

d = 20 mmM = 200 N·mT = 500 N·m

σ₁ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और अपने मुक्त सिरे पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण का उपयोग करके मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

P = 5 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w और मध्य विस्तार पर बिंदु भार P वहन करता है। अध्यारोपण से मध्य विक्षेप δ_max ज्ञात कीजिए।

P = 24 kNw = 20 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर पिन किया हुआ है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 4 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 40 mm

σ_cr = MPa

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 60° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 28 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

ज़मीन के स्तर से एक गेंद 32 m/s से क्षैतिज से 50° ऊपर फेंकी जाती है। यह नीचे आते समय 3 m ऊँची इमारत की समतल छत पर गिरती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। प्रक्षेपण बिंदु से गिरने के स्थान तक क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 32 m/sθ = 50°h_roof = 3 mg = 9.81 m/s²

x = m

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

1 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 20 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.1 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 1 kgθ = 30°μ = 0.1d = 20 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

2 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 2.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.2) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 2 kgh = 2.5 mL = 3 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 25 mm के विस्थापन शिखर के 4 चक्र बाद 1.2 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 25 mmx₄ = 1.2 mmn = 4

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 5 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 25 kN/m और निचला k₂ = 50 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 5 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 500 °C पर गर्म भंडार और 10 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। अधिकतम संभव तापीय दक्षता η_max ज्ञात कीजिए।

T_H = 500 °CT_L = 10 °C

η_max = %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक ऊष्मा इंजन प्रति चक्र 400 °C वाले भंडार से 900 kJ ऊष्मा लेता है, 252 kJ कार्य उत्पन्न करता है और शेष को 20 °C वाले भंडार को त्यागता है। प्रति चक्र उत्पन्न कुल एन्ट्रॉपी S_gen ज्ञात कीजिए।

T_H = 400 °CT_L = 20 °CQ_H = 900 kJW = 252 kJ

S_gen = kJ/K

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 22 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 2.5 है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 22r_c = 2.5k = 1.4

η = %

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक गैस-टरबाइन संयंत्र 12 संपीडक दाब अनुपात वाले ब्रेटन चक्र पर चलता है। वायु 288 K पर संपीडक में और 1300 K पर टरबाइन में प्रवेश करती है। संपीडक की समएन्ट्रॉपिक दक्षता 80% और टरबाइन की 90% है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु शुद्ध कार्य निर्गत w_net kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r_p = 12T₁ = 288 KT₃ = 1300 Kη_c = 80%η_t = 90%k = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

w_net = kJ/kg

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी 34 L/s की दर से एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 200 mm से 100 mm तक संकरा होता है। संकरे भाग में दाब 70 kPa है। हानियों को नगण्य मानते हुए चौड़े भाग में दाब p₁ ज्ञात कीजिए।

Q = 34 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 70 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

पानी एक पाइप में ऊपर की ओर बहता है जो 200 mm से 100 mm तक संकरा होता है और 10 m ऊपर उठता है। खंड 1 पर दाब 360 kPa और वेग 1 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर खंड 2 पर दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 360 kPav₁ = 1 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 150 mm आंतरिक व्यास वाले 150 m लंबे पाइप से 15 L/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

Q = 15 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

250 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015) वाला 150 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 2)। g = 9.81 m/s² लें। 120 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2

H = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

70% दक्षता वाला एक पंप 20 m शीर्ष के विरुद्ध 150 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। g = 9.81 m/s² लें। आवश्यक शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 150 L/sH = 20 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 120 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 26 m ऊँची है। पाइप 200 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 250 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.025 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 80% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 120 L/sΔz = 26 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार लकड़ी की 150 mm और जिप्सम बोर्ड की 25 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 10 m²। बाहरी फलक 21 °C और 9 °C पर हैं। दोनों परतों के अंतरापृष्ठ पर तापमान T_i ज्ञात कीजिए।

L₁ = 150 mm, k₁ = 0.17 W/(m·K)L₂ = 25 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 10 m²T₁ = 21 °CT₃ = 9 °C

T_i = °C

32.ऊष्मा चालनकठिन

150 mm कंक्रीट और 50 mm विस्तारित पॉलीस्टाइरीन की दीवार 21 °C वाले कमरे को -9 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 8 W/(m²·K) और बाहर 25 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 15 m² है। दीवार से ऊष्मा हानि Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 150 mm, k₁ = 1.4 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0.035 W/(m·K)A = 15 m²h_i = 8 W/(m²·K)h_o = 25 W/(m²·K)T_room = 21 °CT_out = -9 °C

Q̇ = W

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

120 mm की घिरनी 1500 rpm पर पट्टे से 315 mm की घिरनी को 2 % फिसलन के साथ चलाती है। चालित घिरनी की गति n₂ ज्ञात कीजिए।

n₁ = 1500 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक खुला पट्टा 100 mm की घिरनी और 400 mm की घिरनी को जोड़ता है, जिनके केंद्र 600 mm दूर हैं। छोटी घिरनी पर लपेट कोण θ डिग्री में ज्ञात कीजिए।

d₁ = 100 mmd₂ = 400 mmC = 600 mm

θ = °

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

F(s) = 22/(s² + 8s + 12)। इसका प्रतिलोम रूपांतर f(t) = A·e^−2t + B·e^−6t के रूप का है। आंशिक भिन्नों से गुणांक A ज्ञात कीजिए।

F(s) = 22/(s² + 8s + 12)

A =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

लाप्लास रूपांतर से y(0) = 1 और y′(0) = −14 के साथ y″ + 3y′ + 2y = 0 हल कीजिए, और y(0.75) ज्ञात कीजिए।

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 1y′(0) = −14t = 0.75 s

y(0.75) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

संयंत्र G(s) = K/((s + 2)(s + 12)) एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जिसके लिए संवृत लूप क्रांतिक अवमंदित है (दो बराबर वास्तविक ध्रुव)।

G(s) = K/((s + 2)(s + 12))एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश

K =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

संयंत्र G(s) = 62/(s(s + 3)) सेंसर लब्धि H = 0.5 वाले ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में है। संवृत-लूप ध्रुव सम्मिश्र हैं। उनका काल्पनिक भाग ω_d (धनात्मक मान) rad/s में ज्ञात कीजिए।

G(s) = 62/(s(s + 3))H = 0.5

ω_d = rad/s

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 27/(s² + 8s + 54) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। सोपान अनुक्रिया का शिखर समय t_p ज्ञात कीजिए।

G(s) = 27/(s² + 8s + 54)

t_p = s

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = K/(s(s + 16)) है। वह लब्धि K ज्ञात कीजिए जो 15 % अतिलंघन वाली सोपान अनुक्रिया देती है।

G(s) = K/(s(s + 16))%OS = 15 %

K =

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

परवलयिक निवेश r(t) = 4·t²/2 को G(s) = 10(s + 5)/(s²(s + 5)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 10(s + 5)/(s²(s + 5))r(t) = 4·t²/2

e_ss =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक PI नियंत्रक C(s) = 2 + 2/s संयंत्र G(s) = 10/((s + 2)(s + 10)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। रैंप निवेश r(t) = 5t के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

C(s) = 2 + 2/sG(s) = 10/((s + 2)(s + 10))r(t) = 5t

e_ss =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 10.5 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2 + 15·3.5

R_B = 72.5/5 = 14.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 14.5 = 10.5 kN

उत्तर

R_A = 10.5 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 26.3 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, x̄ = 3.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·1.5 + 2·3·3.5

R_B = 73.5/5 = 14.7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 41 − 14.7 = 26.3 kN

उत्तर

R_A = 26.3 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.1296 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·4006 = 5.788 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 150000·500/5.788 × 10⁸ = 0.1296 mm

उत्तर

δ = 0.1296 mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ₂ = 49.86 MPa

कठोरताएँ

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·706.9/400 = 123700 N/mm

खंड 2 का हिस्सा

F₂ = 80000·123700/280780 = 35245 N

प्रतिबल

σ₂ = 35245/706.9 = 49.86 MPa (संपीडन)

उत्तर

σ₂ = 49.86 MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 41.59 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·500/(26000·0.02618) = 293825 mm⁴

व्यास

d = (32J/π)^1/4 = 41.59 mm

उत्तर

d = 41.59 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: φ_C = 1.676 °

आंतरिक बलाघूर्ण

T_C की दिशा धनात्मक ली गई है।

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 100 = 200 N·m

हर खंड का मरोड़

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·2500/(39000·613592) = 0.02089 rad

φ_BC = 100000·2000/(39000·613592) = 0.008358 rad

सिरे C का मरोड़

φ_C = 0.02089 + 0.008358 = 0.02925 rad → |φ_C| = 1.676°

उत्तर

φ_C = 1.676°

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 18.75 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन। ओवरहैंग का भार भी A के परितः कार्य करता है।

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 20·5.5

R_B = 145/4 = 36.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 36.25 = 18.75 kN

P₁ के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

M_x = R_A·1 = 18.75·1 = 18.75 kN·m

उत्तर

M_x = 18.75 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 65.34 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·5 + 8·6·3

R_B = 394/6 = 65.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 65.67 = 32.33 kN

V = 0 कहाँ है?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 32.33/8 = 4.042 m

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 32.33·4.042 − 8·4.042²/2 = 65.34 kN·m

उत्तर

M_max = 65.34 kN·m

यह A से x = 4.042 m पर होता है।

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = −79.1 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·−10, −40 − 10) = −158.2°

अवयव पर कोण

θ_p = −79.1°

उत्तर

θ_p = −79.1°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ₁ = 470.2 MPa

सतह पर प्रतिबल

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254.6 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·20³) = 318.3 MPa

मोर वृत्त

C = σ/2 = 127.3 MPa

R = √(127.3² + 318.3²) = 342.8 MPa

σ₁ = C + R = 470.2 MPa

σ₂ = C − R = −215.5 MPa

उत्तर

σ₁ = 470.2 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 10.86 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 5000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(3EI) = 5000·2000³/(3·3.99 × 10¹²) = 3.342 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 7.519 mm

जोड़ें

δ = 3.342 + 7.519 = 10.86 mm

उत्तर

δ = 10.86 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_max = 5.052 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 24000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

हर भार अलग से

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·1500³/(48·5.95 × 10¹¹) = 2.836 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 2.216 mm

जोड़ें

δ_max = 2.836 + 2.216 = 5.052 mm

उत्तर

δ_max = 5.052 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 38.86 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

आयत अपनी कमज़ोर अक्ष के परितः, छोटी विमा के घन के साथ मुड़ता है।

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2000² = 38862 N = 38.86 kN

उत्तर

P_cr = 38.86 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 8.812 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/10 = 280

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa

उत्तर

σ_cr = 8.812 MPa

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 69.21 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 60° = 14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 60° = 24.25 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·24.25/9.81 = 4.944 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 14·4.944 = 69.21 m

उत्तर

x = 69.21 m

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 100.2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

v_x = 20.57 m/s, v_y = 24.51 m/s

छत पर गिरने का समय

बड़ा मूल: गेंद नीचे आ रही है।

3 = 24.51·t − 4.905·t²

t = (24.51 + √(24.51² − 2·9.81·3))/9.81 = 4.872 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 20.57·4.872 = 100.2 m

उत्तर

x = 100.2 m

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 16.99 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 9.81·0.866 = 8.496 N

F = μN = 0.1·8.496 = 0.8496 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 0.8496·20 = 16.99 J

उत्तर

W_f = 16.99 J

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 6.106 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 19.62·(2.5 − 0.2·3) = 37.28 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.9) = 6.106 m/s

उत्तर

v = 6.106 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.1199

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/4)·ln(25/1.2) = 0.7591

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7591/√(39.48 + 0.5763) = 0.1199

उत्तर

ζ = 0.1199

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 16.67 kN/m

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/25 + 1/50 → k_eq = 25·50/(25 + 50) = 16.67 kN/m

उत्तर

k_eq = 16.67 kN/m

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_max = 63.38 %

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/773.1 = 63.38 %

उत्तर

η_max = 63.38 %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: S_gen = 0.8735 kJ/K

एन्ट्रॉपी उत्पादन: पूरे चक्र में कार्यकारी तरल का कोई नेट एन्ट्रॉपी परिवर्तन नहीं होता। गर्म भंडार Q_H/T_H खोता है और ठंडा भंडार Q_L/T_L पाता है। इनका योग उत्पन्न एन्ट्रॉपी है, जो उत्क्रमणीय चक्र के लिए शून्य और हर वास्तविक चक्र के लिए धनात्मक है।

त्यागी गई ऊष्मा

Q_L = Q_H − W = 900 − 252 = 648 kJ

परम तापमान

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

भंडारों के एन्ट्रॉपी परिवर्तन

ΔS_H = −900/673.1 = −1.337 kJ/K

ΔS_L = 648/293.1 = 2.21 kJ/K

S_gen = 2.21 − 1.337 = 0.8735 kJ/K

उत्तर

S_gen = 0.8735 kJ/K

S_gen > 0, इसलिए इंजन संभव है पर अनुत्क्रमणीय है।

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 63.95 %

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

कटऑफ़ पद

(2.5^1.4 − 1)/(1.4·(2.5 − 1)) = 1.241

तापीय दक्षता

η = 1 − 0.2904·1.241 = 63.95%

उत्तर

η = 63.95%

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: w_net = 223.7 kJ/kg

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

समएन्ट्रॉपिक तापमान

T_2s = 288·12^0.2857 = 585.8 K

T_4s = 1300/12^0.2857 = 639.2 K

संपीडक और टरबाइन कार्य

w_c = 1.005·(585.8 − 288)/0.8 = 374.1 kJ/kg

w_t = 0.9·1.005·(1300 − 639.2) = 597.7 kJ/kg

शुद्ध कार्य

w_net = 597.7 − 374.1 = 223.7 kJ/kg

उत्तर

w_net = 223.7 kJ/kg

बैक-वर्क अनुपात: w_c/w_t = 62.58%।

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₁ = 78.78 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

वेग

v₁ = Q/A₁ = 0.034/0.03142 = 1.082 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.034/0.007854 = 4.329 m/s

बर्नूली

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 70 + ½·1000·(4.329² − 1.082²)/1000 = 70 + 8.785 = 78.78 kPa

उत्तर

p₁ = 78.78 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 254.4 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/100)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−7.5) − 98.1 = 254.4 kPa

उत्तर

p₂ = 254.4 kPa

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 0.8079 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

औसत वेग

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.015/0.01767 = 0.8488 m/s

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 0.8488²/(2·9.81) = 0.03672 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(150/0.15)·0.8488²/(2·9.81) = 0.8079 m

उत्तर

h_f = 0.8079 m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 3.99 m

वेग

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.015·150/0.25 = 9

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 9 + 3.1)·0.3046 = 3.99 m

उत्तर

H = 3.99 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 42.04 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·20 = 29.43 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = P_h/η = 29.43/0.7 = 42.04 kW

उत्तर

P_shaft = 42.04 kW

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 49.91 kW

वेग

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0.3046 = 7.919 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 26 + 7.919 = 33.92 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·33.92/0.8 = 49.91 kW

उत्तर

P_shaft = 49.91 kW

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: T_i = 10.71 °C

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0.17·10) = 0.08824 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (25/1000)/(0.17·10) = 0.01471 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 12/0.1029 = 116.6 W

अंतरापृष्ठ तापमान

पहली परत में तापमान Q̇·R₁ घटता है।

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 21 − 116.6·0.08824 = 10.71 °C

उत्तर

T_i = 10.71 °C

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 264.6 W

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(8·15) = 0.008333 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(1.4·15) = 0.007143 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0.035·15) = 0.09524 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(25·15) = 0.002667 K/W

ΣR = 0.1134 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (21 − (-9))/0.1134 = 264.6 W

उत्तर

Q̇ = 264.6 W

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n₂ = 560 rpm

पट्टा चालन: फिसलन के बिना दोनों घिरनियों की कोर की चाल समान होती है v = π·d·n/60, इसलिए n₁·d₁ = n₂·d₂ और गति अनुपात d₂/d₁ है। फिसलन s चालित घिरनी को थोड़ा धीमा कर देती है: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s)। संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)·v है, जहाँ T₁ कसी हुई ओर का तनाव और T₂ ढीली ओर का। घर्षण तनावों के अनुपात को सीमित करता है: T₁/T₂ = e^μθ, जहाँ θ छोटी घिरनी पर लपेट कोण रेडियन में है; खुले पट्टे के लिए θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), जहाँ C केंद्र दूरी है।

फिसलन के बिना गति

1500·120/315 = 571.4 rpm

फिसलन सहित

n₂ = 571.4·0.98 = 560 rpm

उत्तर

n₂ = 560 rpm

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: θ = 151 °

पट्टे का कोण

asin(0.25) = 14.48°

लपेट कोण

θ = 180 − 2·14.48 = 151°

उत्तर

θ = 151°

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: A = 5.5

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

हर का गुणनखंड करें

s² + 8s + 12 = (s + 2)(s + 6)

F(s) = A/(s + 2) + B/(s + 6)

कवर-अप नियम

(s + 2) से गुणा करें और s = −2 रखें: B-पद लुप्त हो जाता है।

A = 22/(s + 6) |_{s = −2} = 22/4 = 5.5

उत्तर

A = 5.5

(B = −5.5, इसलिए f(t) = 5.5·e^−2t − 5.5·e^−6t)

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.75) = −2.768

समीकरण का रूपांतर करें

s²Y − 1s − (−14) + 3(sY − 1) + 2Y = 0

Y(s) = (s − 11)/((s + 1)(s + 2))

आंशिक भिन्न

A = −12/1 = −12

B = −13/(−1) = 13

परिणाम

y(t) = −12·e^−t + 13·e^−2t

y(0.75) = −2.768

उत्तर

y(0.75) = −2.768

जाँच: y(0) = A + B = 1।

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: K = 25

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

अभिलाक्षणिक समीकरण

1 + K/((s + 2)(s + 12)) = 0 → s² + 14s + 24 + K = 0

दोहराया गया मूल

द्विघात s² + βs + γ का द्विक मूल तब होता है जब β² = 4γ।

14² = 4(24 + K) → K = 196/4 − 24 = 25

उत्तर

K = 25

तब दोनों संवृत-लूप ध्रुव s = −7 पर हैं।

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: ω_d = 5.362 rad/s

अभिलाक्षणिक समीकरण

s(s + 3) + 62·0.5 = 0 → s² + 3s + 31 = 0

मूल

s = −1.5 ± j·√(31 − 2.25) = −1.5 ± j5.362

ω_d = 5.362 rad/s

उत्तर

ω_d = 5.362 rad/s

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: t_p = 0.5096 s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 54 → ωₙ = 7.348 rad/s

2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·7.348) = 0.5443

परिणाम

ω_d = 7.348·√(1 − 0.5443²) = 6.164 rad/s → t_p = π/ω_d = 0.5096 s

उत्तर

t_p = 0.5096 s

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: K = 239.5

संवृत-लूप अंतरण फलन

T(s) = K/(s² + 16s + K)

अतिलंघन से अवमंदन अनुपात

ζ = −ln(0.15)/√(π² + ln²(0.15)) = 0.5169

लब्धि

ωₙ = 16/(2ζ) = 15.48 rad/s

K = ωₙ² = 239.5

उत्तर

K = 239.5

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 0.4

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

त्वरण स्थिरांक

K_a = 10·5/5 = 10

परवलय त्रुटि

e_ss = 4/10 = 0.4

उत्तर

e_ss = 0.4

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 5

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

वेग स्थिरांक

s·C(s) = 2s + 2 → s → 0 पर 2।

K_v = 2·10/20 = 1

रैंप त्रुटि

e_ss = 5/1 = 5

उत्तर

e_ss = 5

PI नियंत्रक सोपान त्रुटि को पूरी तरह हटा देता है; रैंप का अनुसरण एक अचर विलंब के साथ होता है।

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FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

विधि

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

शाफ़्ट का मरोड़

विधि

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

विधि

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

विधि

बीम विक्षेप

स्तंभ बकलिंग

प्रक्षेप्य गति

विधि

कार्य और ऊर्जा

यांत्रिक कंपन

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

गैस शक्ति चक्र

सांतत्य और बर्नूली

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

पंप और पंप शक्ति

ऊष्मा चालन

गियर और गियर ट्रेन

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

उत्तर

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

उत्तर

क्षेत्रफल

संयुक्त अक्षीय कठोरता

संकुचन

उत्तर

कठोरताएँ

खंड 2 का हिस्सा

प्रतिबल

उत्तर

आवश्यक ध्रुवीय आघूर्ण

व्यास

उत्तर

आंतरिक बलाघूर्ण

हर खंड का मरोड़

सिरे C का मरोड़

उत्तर

आलंब प्रतिक्रियाएँ

P1 के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

उत्तर

आलंब प्रतिक्रियाएँ

V = 0 कहाँ है?

अधिकतम आघूर्ण

उत्तर

वृत्त पर कोण

अवयव पर कोण

उत्तर

सतह पर प्रतिबल

मोर वृत्त

उत्तर

एकरूप इकाइयाँ

हर भार अलग से

जोड़ें

उत्तर

एकरूप इकाइयाँ

हर भार अलग से

जोड़ें

उत्तर

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

प्रभावी लंबाई

क्रांतिक भार

उत्तर

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

क्रांतिक प्रतिबल

उत्तर

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

उड़ान का समय

P₁ के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें