FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

सरल आलंबित बीम में A पर पिन और B पर रोलर है। ऊर्ध्वाधर आलंब प्रतिक्रिया R_A ज्ञात कीजिए।

L = 5 mP₁ = 10 kN पर 1 mP₂ = 40 kN पर 3 m

R_A = kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

L = 8 mP = 50 kN पर 2 mw = 5 kN/m, 0 से 1 m तक

R_A = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

एक स्टील छड़ (व्यास 20 mm, E = 200 GPa) ताँबा की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 120 GPa) के भीतर है। दोनों 800 mm लंबे हैं और दृढ़ प्लेटों के बीच 100 kN से साथ-साथ संपीडित किए जाते हैं। संकुचन δ ज्ञात कीजिए।

P = 100 kNछड़: Ø20 mm, E = 200 GPaनलिका: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

एक स्टील छड़ (व्यास 40 mm, E = 200 GPa, अनुमेय प्रतिबल 120 MPa) पीतल की बनी नलिका (बाहरी व्यास 100 mm, भीतरी व्यास 50 mm, E = 100 GPa, अनुमेय प्रतिबल 50 MPa) के भीतर है। दोनों को दृढ़ प्लेटों के बीच साथ-साथ संपीडित किया जाता है। सबसे बड़ा भार P_max ज्ञात कीजिए।

छड़: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaनलिका: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक खोखले शाफ़्ट को 400 N·m का बलाघूर्ण वहन करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.8 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 75 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

T = 400 N·md_i/d_o = 0.8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 1500 rpm पर 30 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 60 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

बीम A पर पिन और B पर रोलर पर टिका है और B से आगे 2 m मुक्त सिरे C तक ओवरहैंग करता है। यह आलंबों के बीच बिंदु भार P₁ और C पर बिंदु भार P₂ वहन करता है। भार P₁ के नीचे बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। सैगिंग आघूर्णों को और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण को धनात्मक लें।

L = 6 mP₁ = 55 kN पर 1 mP₂ = 45 kN पर 6 mआलंब x = 0 और x = 4 m पर

M_x = kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने विस्तार के एक भाग पर समान वितरित भार वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 4 mw = 12 kN/m, 0 से 2 m तक

M_max = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa और τₓᵧ = 40 MPa है (तनन धनात्मक)। x-अक्ष से सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल की दिशा तक का कोण θ_p, −90° और 90° के बीच, ज्ञात कीजिए।

σ_x = 150 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 30 MPa, σᵧ = −20 MPa और τₓᵧ = 30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 60° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 30 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

लंबाई L का एक कैंटिलीवर A पर स्थिर है और A से a = 1.5 m की दूरी पर बिंदु भार P वहन करता है। भार के नीचे विक्षेप δ_P ज्ञात कीजिए।

P = 14 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (स्टील)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम समान वितरित भार w वहन करता है। उसका विक्षेप विस्तार/360 से अधिक नहीं हो सकता। यह सीमा पूरी करने वाला न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण I_req ज्ञात कीजिए।

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (स्टील)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 25 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

एल्युमिनियम से बना L लंबाई का एक स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। उसकी तनुता और ऑयलर सूत्र से क्रांतिक बकलिंग प्रतिबल σ_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2.5 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)d = 25 mm

σ_cr = MPa

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

एक गेंद समतल ज़मीन से क्षैतिज से 70° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक गेंद 10 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से क्षैतिज से 15° ऊपर फेंकी जाती है। वायु प्रतिरोध नगण्य मानें। गेंद के ज़मीन से टकराने से पहले तय की गई क्षैतिज दूरी x ज्ञात कीजिए।

v₀ = 16 m/sθ = 15°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

2.5 kg का एक गुटका क्षैतिज से 30° पर झुकी ढलान पर 7 m फिसलता है, गतिज घर्षण गुणांक 0.3 है। घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य W_f ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgθ = 30°μ = 0.3d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

2.5 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 4 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.25) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 5000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग का अधिकतम संपीडन x ज्ञात कीजिए।

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 4 mμ = 0.25k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 10 mm के विस्थापन शिखर के 2 चक्र बाद 6 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 10 mmx₂ = 6 mmn = 2

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 40 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 30 kN/m और निचला k₂ = 60 kN/m है। स्प्रिंग तंत्र की तुल्य दृढ़ता k_eq kN/m में ज्ञात कीजिए।

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 800 °C वाले स्रोत से ऊष्मा लेता है और 20 °C वाले परिवेश को ऊष्मा त्यागता है। इसकी वास्तविक तापीय दक्षता 47% है। इसकी द्वितीय-नियम दक्षता η_II, अर्थात वास्तविक दक्षता और कार्नो दक्षता का अनुपात, ज्ञात कीजिए।

T_H = 800 °CT_L = 20 °Cη = 47%

η_II = %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

दो कार्नो इंजन श्रेणी में काम करते हैं। इंजन A 1200 °C वाले भंडार से ऊष्मा लेता है और तापमान T_m वाले मध्यवर्ती भंडार को ऊष्मा त्यागता है। इंजन B वह सारी ऊष्मा लेता है और 40 °C वाले भंडार को ऊष्मा त्यागता है। दोनों इंजनों की तापीय दक्षता समान है। T_m को °C में ज्ञात कीजिए।

T_H = 1200 °CT_L = 40 °C

T_m = °C

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 17 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.8 है। संपीडन की शुरुआत में वायु 290 K पर है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। प्रति किलोग्राम वायु दी गई ऊष्मा q_in kJ/kg में ज्ञात कीजिए।

r = 17r_c = 1.8T₁ = 290 Kk = 1.4c_p = 1.005 kJ/(kg·K)

q_in = kJ/kg

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 16 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 16k = 1.4

η = %

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 75 mm से 25 mm तक संकरा होता है। चौड़े भाग में दाब 160 kPa और वेग 1.25 m/s है। हानियाँ नगण्य मानकर संकरे भाग में दाब p₂ ज्ञात कीजिए।

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 160 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 90 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 1.5 m नीचे 30 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: जेट वेग v। g = 9.81 m/s² लें।

p_air = 90 kPa (गेज)h = 1.5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल 100 mm आंतरिक व्यास वाले 150 m लंबे पाइप से 1 m/s के औसत वेग से बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 और g = 9.81 m/s² लें। घर्षण शीर्ष हानि h_f ज्ञात कीजिए।

V = 1 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

दो खुले जलाशय 150 m लंबे, 300 mm आंतरिक व्यास और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02 वाले पाइप से जुड़े हैं। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 2 मोड़ (हर एक K = 0.3), एक वाल्व (K = 0.2) और निचले जलाशय में निकास (K = 1.0)। g = 9.81 m/s² लें। जलाशयों के बीच जल स्तर का कितना अंतर Δz, 120 L/s की प्रवाह दर देता है?

Q = 120 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक पंप 76 m शीर्ष के विरुद्ध 60 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है। पंप दक्षता 85% है और उसे चलाने वाली विद्युत मोटर की दक्षता 92% है। g = 9.81 m/s² लें। मोटर द्वारा ली गई विद्युत शक्ति P_el kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 60 L/sH = 76 mη_pump = 85%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 25 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 7 m ऊँची है। पाइप 200 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 150 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.022 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता 82% है। शाफ़्ट शक्ति P_shaft kW में ज्ञात कीजिए।

Q = 25 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार काँच की 150 mm और जिप्सम बोर्ड की 50 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 12 m²। बाहरी फलक 16 °C और -12 °C पर हैं। दोनों परतों के अंतरापृष्ठ पर तापमान T_i ज्ञात कीजिए।

L₁ = 150 mm, k₁ = 0.96 W/(m·K)L₂ = 50 mm, k₂ = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²T₁ = 16 °CT₃ = -12 °C

T_i = °C

32.ऊष्मा चालनकठिन

250 mm ईंट और 75 mm खनिज ऊन की दीवार 20 °C वाले कमरे को -12 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 8 W/(m²·K) और बाहर 20 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 4 m² है। दीवार का समग्र ऊष्मा अंतरण गुणांक U ज्ञात कीजिए।

L₁ = 250 mm, k₁ = 0.72 W/(m·K)L₂ = 75 mm, k₂ = 0.04 W/(m·K)A = 4 m²h_i = 8 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 20 °CT_out = -12 °C

U = W/(m²·K)

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1500 rpm पर चल रही एक 0.75 kW मोटर 50 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 72 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। गियर युग्म की दक्षता 98% है। मोटर शाफ़्ट पर बलाघूर्ण T₁ ज्ञात कीजिए।

P = 0.75 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 50N₂ = 72η = 98%

T₁ = N·m

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक संयुक्त गियर ट्रेन में, 1500 rpm पर घूम रहे निवेश शाफ़्ट पर लगा गियर A (20 दाँत) गियर B (30 दाँत) को चलाता है। गियर C (16 दाँत) B वाले शाफ़्ट पर ही लगा है और निर्गत शाफ़्ट पर लगे गियर D (36 दाँत) को चलाता है। निर्गत चाल n_out ज्ञात कीजिए।

n_in = 1500 rpmA = 20B = 30C = 16D = 36

n_out = rpm

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

आंशिक भिन्नों से F(s) = 60/(s(s + 2)(s + 3)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.5) का मान निकालिए।

F(s) = 60/(s(s + 2)(s + 3))t = 0.5 s

f(0.5) =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

लाप्लास रूपांतर से y(0) = 6 और y′(0) = −15 के साथ y″ + 7y′ + 12y = 0 हल कीजिए, और y(0.1) ज्ञात कीजिए।

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 6y′(0) = −15t = 0.1 s

y(0.1) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 8(s + 2)/((s + 1)(s + 4)) है। संदर्भ पर आकार 5 का सोपान लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 8(s + 2)/((s + 1)(s + 4))R = 5

e_ss =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

G₁ = 10/(s + 4), G₂ = 10/(s + 6), G₂ के चारों ओर एक भीतरी ऋणात्मक पुनर्निवेश H₁ = 0.5 और एक बाहरी ऋणात्मक पुनर्निवेश H₂ = 1 वाले ब्लॉक आरेख को सरल करें। C(s)/R(s) की DC लब्धि T(0) ज्ञात कीजिए।

G₁ = 10/(s + 4)G₂ = 10/(s + 6)H₁ = 0.5H₂ = 1

T(0) =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 12/(s² + 2s + 24) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। ध्रुव s = σ ± jω_d हैं। वास्तविक भाग σ ज्ञात कीजिए।

G(s) = 12/(s² + 2s + 24)

σ =

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया 25 % अतिलंघन दिखाती है, और पहला शिखर t = 0.8 s पर आता है। प्राकृतिक आवृत्ति ω_n ज्ञात कीजिए।

%OS = 25 %t_p = 0.8 s

ω_n = rad/s

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

G(s) = K/(s(s + 4)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप को रैंप r(t) = 5t का अनुसरण 0.5 की स्थायी-अवस्था त्रुटि के साथ करना है। लब्धि K ज्ञात कीजिए।

G(s) = K/(s(s + 4))r(t) = 5te_ss = 0.5

K =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K = 40 संयंत्र G(s) = 1/(s(s + 10)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। सोपान अनुक्रिया का प्रतिशत अतिलंघन %OS ज्ञात कीजिए।

G(s) = 1/(s(s + 10))K = 40

%OS = %

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 24 kN

स्थैतिक संतुलन: स्थिर वस्तु के लिए किसी भी बिंदु के परितः ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और ΣM = 0। एक आलंब के परितः आघूर्ण लेने से उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाती है।

मुक्त-पिंड आरेख

आलंबों को प्रतिक्रिया बलों से बदलें। रोलर एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है; केवल ऊर्ध्वाधर भारों के साथ पिन भी एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया देता है।

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1 + 40·3

R_B = 130/5 = 26 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 26 = 24 kN

उत्तर

R_A = 24 kN

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_A = 42.19 kN

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

A के परितः आघूर्ण, वामावर्त धनात्मक। फिर ऊर्ध्वाधर बल संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, x̄ = 0.5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·2 + 5·1·0.5

R_B = 102.5/8 = 12.81 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 12.81 = 42.19 kN

उत्तर

R_A = 42.19 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 0.1039 mm

दो पदार्थ: श्रेणी में (एक के बाद एक) हर खंड समान बल वहन करता है और विस्तार जुड़ते हैं: δ = P·Σ L/(E·A)। समानांतर में (दृढ़ प्लेटों के बीच अगल-बगल) दोनों भाग समान मात्रा से छोटे होते हैं, इसलिए उनके विकृति समान हैं: अधिक कठोर भाग बड़ा हिस्सा लेता है, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, और σ_i = E_i·ε। दो दृढ़ दीवारों के बीच जकड़ी छड़, जिसके जोड़ पर भार लगा है, स्थैतिक रूप से अनिर्धार्य है: दोनों खंड भार को अपनी कठोरता k = EA/L के अनुपात में बाँटते हैं।

क्षेत्रफल

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·5890 = 7.697 × 10⁸ N

संकुचन

δ = 100000·800/7.697 × 10⁸ = 0.1039 mm

उत्तर

δ = 0.1039 mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: P_max = 420.2 kN

क्षेत्रफल

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

संयुक्त अक्षीय कठोरता

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8.404 × 10⁸ N

निर्धारक विकृति

ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (पीतल)

सबसे बड़ा भार

P_max = 0.0005·8.404 × 10⁸ = 420188 N = 420.2 kN

उत्तर

P_max = 420.2 kN

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 35.83 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 400 N·m = 400000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·75·0.5904)) = 35.83 mm

d_i = 0.8·35.83 = 28.67 mm

उत्तर

d_o = 35.83 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 30.06 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 25.31 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 30000/157.1 = 191 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·60)) = 25.31 mm

उत्तर

d = 25.31 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 18.75 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन। ओवरहैंग का भार भी A के परितः कार्य करता है।

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 45·6

R_B = 325/4 = 81.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 81.25 = 18.75 kN

P₁ के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

M_x = R_A·1 = 18.75·1 = 18.75 kN·m

उत्तर

M_x = 18.75 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 13.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, x̄ = 1 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·2·1

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 6 = 18 kN

शून्य अपरूपण

अपरूपण बल R_A से शुरू होता है, किसी भी भाररहित भाग पर स्थिर रहता है और भार के भीतर प्रवणता w से घटता है।

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 18/12 = 1.5 m

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 18·1.5 − 12·1.5²/2 = 13.5 kN·m

उत्तर

M_max = 13.5 kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: θ_p = 20.82 °

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

वृत्त पर कोण

मोर वृत्त पर बिंदु x, σ-अक्ष से 2θp कोण पर होता है; चतुर्थांश σₓ − σᵧ और τₓᵧ के चिह्नों से तय होता है।

2θ_p = atan2(2·40, 150 − 60) = 41.63°

अवयव पर कोण

θ_p = 20.82°

उत्तर

θ_p = 20.82°

धनात्मक कोण वामावर्त होते हैं।

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 18.48 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 5 + 25·−0.5 + 30·0.866 = 18.48 MPa

उत्तर

σ_θ = 18.48 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_P = 3.424 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 14000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

भार के नीचे विक्षेप

δ_P = Pa³/(3EI) = 14000·1500³/(3·4.6 × 10¹²) = 3.424 mm

उत्तर

δ_P = 3.424 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

विक्षेप सीमा

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·200000·5.556) = 2.813 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

उत्तर

I_req = 2.813 × 10⁶ mm⁴

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 13.25 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13.25 kN

उत्तर

P_cr = 13.25 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: σ_cr = 17.27 MPa

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/6.25 = 200

क्रांतिक प्रतिबल

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

उत्तर

σ_cr = 17.27 MPa

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 16.77 m

प्रक्षेप्य गति: वायु प्रतिरोध के बिना x = v_xt और y = h + v_yt − ½gt²। दोनों दिशाएँ स्वतंत्र हैं, सिवाय इसके कि उनका समय एक ही है।

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 70° = 5.472 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 70° = 15.04 m/s

उड़ान का समय

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और उसी ऊँचाई पर उतरना: t = 2v_y/g।

t = 2·15.04/9.81 = 3.065 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 5.472·3.065 = 16.77 m

उत्तर

x = 16.77 m

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: x = 29.54 m

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

क्षैतिज वेग स्थिर रहता है; ऊर्ध्वाधर गति का नीचे की ओर स्थिर त्वरण g = 9.81 m/s² है।

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 15° = 15.45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 15° = 4.141 m/s

उड़ान का समय

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 को धनात्मक मूल के लिए हल करें।

0 = 10 + 4.141·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.141 + √(17.15 + 196.2))/9.81 = 1.911 s

क्षैतिज दूरी

x = v_x·t = 15.45·1.911 = 29.54 m

उत्तर

x = 29.54 m

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: W_f = 44.6 J

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

घर्षण बल

N = mg·cos θ = 24.53·0.866 = 21.24 N

F = μN = 0.3·21.24 = 6.372 N

घर्षण के विरुद्ध कार्य

W_f = F·d = 6.372·7 = 44.6 J

उत्तर

W_f = 44.6 J

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: x = 18.53 cm

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.25·4) = 85.84 J

अधिकतम संपीडन

½kx² = 85.84 → x = √(2·85.84/5000) = 0.1853 m = 18.53 cm

उत्तर

x = 18.53 cm

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.04062

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/2)·ln(10/6) = 0.2554

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2554/√(39.48 + 0.06524) = 0.04062

उत्तर

ζ = 0.04062

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: k_eq = 20 kN/m

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/30 + 1/60 → k_eq = 30·60/(30 + 60) = 20 kN/m

उत्तर

k_eq = 20 kN/m

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: η_II = 64.66 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

परम तापमान

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

कार्नो दक्षता

η_Carnot = 1 − 293.1/1073 = 72.68 %

द्वितीय-नियम दक्षता

η_II = η/η_Carnot = 47/72.68 = 64.66 %

उत्तर

η_II = 64.66 %

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: T_m = 406.1 °C

परम तापमान

T_H = 1200 + 273.15 = 1473 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

समान दक्षताएँ

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m से T_m² = T_H·T_L मिलता है।

T_m = √(1473·313.1) = 679.2 K = 406.1 °C

उत्तर

T_m = 406.1 °C

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: q_in = 724.2 kJ/kg

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

तापमान

T₂ = 290·17^0.4 = 900.7 K

T₃ = 1.8·900.7 = 1621 K

नियत दाब पर दी गई ऊष्मा

q_in = 1.005·(1621 − 900.7) = 724.2 kJ/kg

उत्तर

q_in = 724.2 kJ/kg

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 54.71 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/16^0.2857 = 1 − 1/2.208 = 54.71%

उत्तर

η = 54.71%

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₂ = 97.5 kPa

सांतत्य और बर्नूली: असंपीड्य तरल के लिए हर खंड पर प्रवाह दर समान है, Q = A₁v₁ = A₂v₂। बिना हानि के धारारेखा के साथ p + ½ρv² + ρgz स्थिर रहता है, इसलिए जहाँ तरल तेज़ या ऊँचा हो वहाँ उसका दाब कम होता है।

सांतत्य और बर्नूली

Pa में काम करें, फिर kPa पाने के लिए 1000 से भाग दें।

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/25)² = 11.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 11.25²)/1000 = −62.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−62.5) = 97.5 kPa

उत्तर

p₂ = 97.5 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: v = 14.47 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

सतह से जेट तक बर्नूली

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·1.5)) = 14.47 m/s

उत्तर

v = 14.47 m/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: h_f = 1.147 m

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

वेग शीर्ष

V²/(2g) = 1²/(2·9.81) = 0.05097 m

डार्सी–वाइसबाख

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(150/0.1)·1²/(2·9.81) = 1.147 m

उत्तर

h_f = 1.147 m

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δz = 1.807 m

वेग

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s

V²/(2g) = 0.1469 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.02·150/0.3 = 10

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

कुल शीर्ष हानि

h_f = 10·0.1469 = 1.469 m

h_m = 2.3·0.1469 = 0.3379 m

Δz = h_f + h_m = 1.807 m

उत्तर

Δz = 1.807 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_el = 57.2 kW

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·76 = 44.73 kW

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = 44.73/0.85 = 52.63 kW

विद्युत शक्ति

P_el = 52.63/0.92 = 57.2 kW

उत्तर

P_el = 57.2 kW

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: P_shaft = 3.172 kW

वेग

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29.33 + 6)·0.102 = 3.604 m

पंप शीर्ष

H = Δz + h_L = 7 + 3.604 = 10.6 m

शाफ़्ट शक्ति

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.025·10.6/0.82 = 3.172 kW

उत्तर

P_shaft = 3.172 kW

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: T_i = 6.286 °C

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0.96·12) = 0.01302 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (50/1000)/(0.17·12) = 0.02451 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 28/0.03753 = 746.1 W

अंतरापृष्ठ तापमान

पहली परत में तापमान Q̇·R₁ घटता है।

T_i = T₁ − Q̇·R₁ = 16 − 746.1·0.01302 = 6.286 °C

उत्तर

T_i = 6.286 °C

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: U = 0.4171 W/(m²·K)

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(8·4) = 0.03125 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (250/1000)/(0.72·4) = 0.08681 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (75/1000)/(0.04·4) = 0.4688 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·4) = 0.0125 K/W

ΣR = 0.5993 K/W

समग्र गुणांक

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0.5993) = 0.4171 W/(m²·K)

उत्तर

U = 0.4171 W/(m²·K)

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₁ = 4.775 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m

उत्तर

T₁ = 4.775 N·m

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_out = 444.4 rpm

पहला चरण

n_B = 1500·20/30 = 1000 rpm = n_C

दूसरा चरण

n_out = 1000·16/36 = 444.4 rpm

उत्तर

n_out = 444.4 rpm

कुल अनुपात = 3.375 : 1

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.5) = 3.426

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

आंशिक भिन्न

F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)

A = 60/(2·3) = 10

B = 60/((−2)·1) = −30

C = 60/((−3)·(−1)) = 20

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = 10 − 30·e^−2t + 20·e^−3t

मान निकालें

f(0.5) = 10 − 30·e^−2·0.5 + 20·e^−3·0.5 = 3.426

उत्तर

f(0.5) = 3.426

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.1) = 4.656

समीकरण का रूपांतर करें

s²Y − 6s − (−15) + 7(sY − 6) + 12Y = 0

Y(s) = (6s + 27)/((s + 3)(s + 4))

आंशिक भिन्न

A = 9/1 = 9

B = 3/(−1) = −3

परिणाम

y(t) = 9·e^−3t − 3·e^−4t

y(0.1) = 4.656

उत्तर

y(0.1) = 4.656

जाँच: y(0) = A + B = 6।

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: e_ss = 1

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

स्थिति त्रुटि स्थिरांक

Kₚ = G(0) = 8·2/(1·4) = 4

स्थायी-अवस्था त्रुटि

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 5/(1 + 4) = 1

उत्तर

e_ss = 1

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: T(0) = 0.6944

भीतरी लूप

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 10/(s + 11)

बाहरी लूप

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 100/((s + 4)(s + 11) + 100)

DC लब्धि

T(0) = 100/(4·11 + 100) = 100/144 = 0.6944

उत्तर

T(0) = 0.6944

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: σ = −1

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 24 → ωₙ = 4.899 rad/s

2ζωₙ = 2 → ζ = 2/(2·4.899) = 0.2041

परिणाम

σ = −ζωₙ = −2/2 = −1

उत्तर

σ = −1

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ω_n = 4.292 rad/s

अवमंदन अनुपात

ζ = −ln(0.25)/√(π² + ln²(0.25)) = 1.386/√(9.87 + 1.922) = 0.4037

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_d = π/t_p = π/0.8 = 3.927 rad/s

ωₙ = ω_d/√(1 − ζ²) = 3.927/0.9149 = 4.292 rad/s

उत्तर

ω_n = 4.292 rad/s

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: K = 40

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

आवश्यक वेग स्थिरांक

K_v = A/e_ss = 5/0.5 = 10

लब्धि

K = 4·K_v = 40

उत्तर

K = 40

बड़ी लब्धि इस लूप को बहुत हल्का अवमंदित बना देती है: ζ = 0.3162। इसी विरोध के कारण क्षतिपूरक (कम्पेन्सेटर) उपयोग किए जाते हैं।

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: %OS = 1.732 %

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

अभिलाक्षणिक बहुपद

s(s + 10) + 40·1 = s² + 10s + 40

ωₙ और ζ

ωₙ = √40 = 6.325 rad/s

ζ = 10/(2·6.325) = 0.7906

अतिलंघन

%OS = 100·e^{−0.7906π/√(1 − 0.7906²)} = 1.732 %

उत्तर

%OS = 1.732 %

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FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

विधि

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

शाफ़्ट का मरोड़

विधि

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

विधि

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

विधि

बीम विक्षेप

स्तंभ बकलिंग

प्रक्षेप्य गति

विधि

कार्य और ऊर्जा

यांत्रिक कंपन

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

गैस शक्ति चक्र

सांतत्य और बर्नूली

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

पंप और पंप शक्ति

ऊष्मा चालन

गियर और गियर ट्रेन

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

विधि

2अभ्यास प्रश्न

3विलयन

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

उत्तर

मुक्त-पिंड आरेख

संतुलन

उत्तर

क्षेत्रफल

संयुक्त अक्षीय कठोरता

संकुचन

उत्तर

क्षेत्रफल

संयुक्त अक्षीय कठोरता

निर्धारक विकृति

सबसे बड़ा भार

उत्तर

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

उत्तर

बलाघूर्ण

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

उत्तर

आलंब प्रतिक्रियाएँ

P1 के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें

उत्तर

आलंब प्रतिक्रियाएँ

शून्य अपरूपण

अधिकतम आघूर्ण

उत्तर

वृत्त पर कोण

अवयव पर कोण

उत्तर

रूपांतरण समीकरण

उत्तर

एकरूप इकाइयाँ

भार के नीचे विक्षेप

उत्तर

विक्षेप सीमा

आवश्यक जड़त्व आघूर्ण

उत्तर

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

प्रभावी लंबाई

क्रांतिक भार

उत्तर

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

परिभ्रमण त्रिज्या और तनुता

क्रांतिक प्रतिबल

उत्तर

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

उड़ान का समय

क्षैतिज दूरी

उत्तर

प्रक्षेपण वेग को विभाजित करें

उड़ान का समय

P₁ के नीचे काटें और बायाँ भाग रखें