FE Mechanical परीक्षा अभ्यास: क्रैम पैक

सूत्र-पत्रक, हर विषय के मुख्य विधि-चरण और 42 अभ्यास प्रश्न, पूरे हल पीछे दिए गए हैं।

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1सूत्र और विधियाँ

बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

संतुलन: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
एकसमान भार: परिणामी w·L भार के मध्य में
आघूर्ण: M = F·d

विधि

मुक्त-पिंड आरेख बनाएँ और हर आलंब को उसकी प्रतिक्रियाओं से बदलें।
हर वितरित भार को उसके केंद्रक पर एक अकेले बल से बदलें।
एक आलंब के परितः आघूर्ण लेकर दूसरे की प्रतिक्रिया ज्ञात करें।
शेष प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए ΣF_y = 0 का उपयोग करें, और दूसरे आघूर्ण समीकरण से जाँचें।

अक्षीय प्रतिबल और विकृति

अभिलंब प्रतिबल: σ = F/A
विकृति: ε = ΔL/L
हुक का नियम: σ = E·ε
दीर्घीकरण: ΔL = FL/(EA)
तापीय विकृति: ε_T = α·ΔT

शाफ़्ट का मरोड़

अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J
ठोस शाफ़्ट: J = πd⁴/32
खोखला शाफ़्ट: J = π(D⁴ − d⁴)/32
मरोड़ कोण: φ = TL/(GJ)
शक्ति: P = T·ω = 2πnT/60

विधि

ध्रुवीय क्षेत्र आघूर्ण ज्ञात करें: ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32।
सतह पर अपरूपण प्रतिबल: τ = T·r/J, जहाँ r बाहरी त्रिज्या है।
ऐंठन कोण: रेडियन में φ = TL/(GJ)।
यदि शक्ति दी गई है, तो पहले P = T·ω, ω = 2πn/60 से बलाघूर्ण ज्ञात करें।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

अपरूपण बल और आघूर्ण: V = एक ओर का ΣF, M = एक ओर का ΣF·d
बंकन प्रतिबल: σ = M·y/I
आयत: I = bh³/12
खंड मापांक: W = I/y_max
सरल आधारित, एकसमान भार: M_max = wL²/8

विधि

पूरे बीम के संतुलन से आलंब प्रतिक्रियाएँ ज्ञात करें।
बीम को आवश्यक खंड पर काटें और एक भाग रखें।
अपरूपण बल: उस भाग पर ऊर्ध्वाधर बलों का योग। बंकन आघूर्ण: कट के परितः उनके आघूर्णों का योग।
अधिकतम आघूर्ण के लिए वह स्थान ज्ञात करें जहाँ अपरूपण बल शून्य है।

मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

केंद्र: C = (σ_x + σ_y)/2
त्रिज्या: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
मुख्य प्रतिबल: σ_1,2 = C ± R
मुख्य दिशा: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
झुका हुआ तल: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

विधि

मोर वृत्त का केंद्र निकालें: C = (σx + σy)/2।
त्रिज्या निकालें: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)।
मुख्य प्रतिबल C ± R हैं और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।
वृत्त पर कोण अवयव पर कोणों के दोगुने होते हैं: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)।

बीम विक्षेप

मध्य-विस्तार पर बिंदु भार: δ = PL³/(48EI)
एकसमान भार, सरल आधारित: δ = 5wL⁴/(384EI)
कैंटिलीवर, सिरे पर भार: δ = PL³/(3EI)
कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI)
अध्यारोपण: δ = δ₁ + δ₂

स्तंभ बकलिंग

ऑयलर भार: P_cr = π²EI/(KL)²
प्रभावी लंबाई गुणांक: K = 1 पिन–पिन, 0.5 स्थिर–स्थिर, 0.7 स्थिर–पिन, 2 स्थिर–मुक्त
क्रांतिक प्रतिबल: σ_cr = P_cr/A
पतलापन अनुपात: λ = KL/r, r = √(I/A)

प्रक्षेप्य गति

घटक: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
स्थिति: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
अधिकतम ऊँचाई: H = h + v_y²/(2g)
परास (समतल भूमि): R = v₀²·sin 2θ/g

विधि

प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें: v_x = v₀·cos θ और v_y = v₀·sin θ।
क्षैतिज गति की चाल नियत होती है; ऊर्ध्वाधर गति का त्वरण −g होता है।
ऊर्ध्वाधर गति से उड़ान का समय ज्ञात करें।
परास ज्ञात करने के लिए उस समय का क्षैतिज गति में उपयोग करें।

कार्य और ऊर्जा

गतिज ऊर्जा: E_k = ½mv²
स्थितिज ऊर्जा: E_p = mgh
ऊर्जा संतुलन: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
घर्षण का कार्य: W = μ·N·d
शक्ति: P = W/t

यांत्रिक कंपन

प्राकृतिक आवृत्ति: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
स्थैतिक विक्षेप से: ω_n = √(g/δ_st)
क्रांतिक अवमंदन: c_c = 2√(km) = 2mω_n
अवमंदन अनुपात: ζ = c/c_c
अवमंदित आवृत्ति: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
लघुगणकीय ह्रास: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
समांतर में स्प्रिंग: k = k₁ + k₂
श्रेणी में स्प्रिंग: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

दक्षता: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
कार्नो दक्षता: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
रेफ्रिजरेटर का COP: COP_R = Q_C/W
हीट पंप का COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
ऊर्जा संतुलन: Q_H = W + Q_C

गैस शक्ति चक्र

समएन्ट्रॉपिक, आयतन अनुपात: T₂/T₁ = r^k−1
समएन्ट्रॉपिक, दाब अनुपात: T₂/T₁ = r_p^(k−1)/k
ऑटो दक्षता: η = 1 − 1/r^k−1
डीज़ल दक्षता: η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k(r_c − 1))
ब्रेटन दक्षता: η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k
दी गई ऊष्मा: ऑटो: c_v(T₃ − T₂) डीज़ल, ब्रेटन: c_p(T₃ − T₂)
ब्रेटन शुद्ध कार्य: w = c_p[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]
समएन्ट्रॉपिक दक्षताएँ: w_c = w_c,s/η_c, w_t = η_t·w_t,s
ठंडी वायु: k = 1.4, c_p = 1.005, c_v = 0.718 kJ/(kg·K)

सांतत्य और बर्नूली

सांतत्य: A₁v₁ = A₂v₂
बर्नूली: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
प्रवाह दर: Q = A·v
वृत्त का क्षेत्रफल: A = πd²/4

पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

रेनॉल्ड्स संख्या: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
प्रवाह व्यवस्था: Re ≈ 2000 से नीचे स्तरीय, Re ≈ 4000 से ऊपर विक्षुब्ध
औसत वेग: V = Q/A, A = π·D²/4
डार्सी–वाइसबाख: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
लघु हानियाँ: h_m = ΣK·V²/(2g)
K के सामान्य मान: प्रवेश 0.5, निकास 1.0, 90° मोड़ ≈ 0.3
दाब पात: Δp = ρ·g·h_f
दो खुले जलाशय: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
मुक्त निकास: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

पंप और पंप शक्ति

द्रवीय शक्ति: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
शाफ़्ट शक्ति: P_shaft = P_h/η_pump
विद्युत शक्ति: P_el = P_shaft/η_motor
पंप शीर्ष: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
तंत्र हानियाँ: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ऊष्मा चालन

फ़ूरिये नियम: Q̇ = kAΔT/L
चालन प्रतिरोध: R = L/(kA)
संवहन प्रतिरोध: R = 1/(hA)
श्रेणी प्रतिरोध: Q̇ = ΔT_total/ΣR
U-मान: U = 1/(ΣR·A)

गियर और गियर ट्रेन

परस्पर जुड़े गियर: n₁·N₁ = n₂·N₂
बलाघूर्ण: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
शक्ति: P = T·ω, ω = 2π·n/60
संयुक्त गियर ट्रेन: कुल अनुपात = चरण अनुपातों का गुणनफल

स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

तंत्र प्रकार: G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या
त्रुटि स्थिरांक: K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s), K_a = lim s²·G(s) (s → 0)
सोपान A: e_ss = A/(1 + K_p)
रैंप A·t: e_ss = A/K_v
परवलय A·t²/2: e_ss = A/K_a
PID नियंत्रक: C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s
द्वितीय-कोटि लक्ष्य: s² + 2ζω_ns + ω_n²
अतिलंघन और समय: %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, t_s ≈ 4/(ζω_n)

विधि

विवृत-लूप C(s)·G(s) के s = 0 पर ध्रुव गिनिए: वही तंत्र का प्रकार है।
निवेश से मेल खाने वाला त्रुटि स्थिरांक निकालिए: सोपान के लिए K_p, रैंप के लिए K_v, परवलय के लिए K_a।
e_ss = A/(1 + K_p), A/K_v या A/K_a लगाइए, या जिस लब्धि की आपको ज़रूरत है उसके लिए इसे हल कीजिए।
अवमंदन या चाल के विनिर्देश के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसे s² + 2ζω_n·s + ω_n² से मिलाइए।

2अभ्यास प्रश्न

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँमध्यम

कैंटिलीवर बीम A पर दीवार में स्थिर है। यह अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w और दीवार से 5 m पर बिंदु भार P वहन करता है। दीवार पर प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A का परिमाण ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP = 75 kN पर 5 mw = 8 kN/m, 0 से 8 m तक

M_A = kN·m

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँकठिन

एक संयुक्त बीम A पर दीवार में स्थिर है, C पर (A से 5 m) एक आंतरिक कब्ज़ा (हिंज) है और D पर (A से 10 m) रोलर पर टिका है। यह A से 6 m पर बिंदु भार P और A से 2 m पर बिंदु भार Q वहन करता है। रोलर पर प्रतिक्रिया R_D ज्ञात कीजिए।

AC = 5 mAD = 10 mP = 80 kN पर 6 mQ = 80 kN पर 2 m

R_D = kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिमध्यम

अक्षीय भार के अंतर्गत पीतल छड़ का दीर्घीकरण δ ज्ञात कीजिए।

P = 110 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

δ = mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृतिकठिन

सोपानी छड़ दीवार में जड़ित है और अपने मुक्त सिरे पर भारित है। छड़ में सबसे बड़ा अभिलंब प्रतिबल σ_max ज्ञात कीजिए।

P = 70 kNखंड 1: Ø25 mm, 0.5 m, स्टील (E = 200 GPa)खंड 2: Ø16 mm, 1.5 m, ताँबा (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़मध्यम

एक खोखले शाफ़्ट को 1500 N·m का बलाघूर्ण वहन करना है। इसका भीतरी व्यास इसके बाहरी व्यास का 0.6 गुना होना है, और अपरूपण प्रतिबल 60 MPa से अधिक नहीं होना चाहिए। सबसे छोटा बाहरी व्यास d_o ज्ञात कीजिए।

T = 1500 N·md_i/d_o = 0.6τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

6.शाफ़्ट का मरोड़कठिन

एक ठोस शाफ़्ट को 3000 rpm पर 75 kW संचारित करना है, बिना अपरूपण प्रतिबल के 60 MPa से अधिक हुए। उपयुक्त सबसे छोटा व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 75 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णमध्यम

आलंब A से x = 7 m पर खंड में बंकन आघूर्ण M_x ज्ञात कीजिए। नीचे के रेशों को खींचने वाले आघूर्ण और बाएँ फलक पर ऊपर की ओर अपरूपण बल को धनात्मक लें।

L = 10 mw = 5 kN/m, 0 से 10 m तकx = 7 m

M_x = kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्णकठिन

सरल आलंबित बीम अपने पूरे विस्तार पर समान वितरित भार w और एक बिंदु भार P वहन करता है। बीम में अधिकतम बंकन आघूर्ण M_max ज्ञात कीजिए।

L = 8 mP = 35 kN पर 4 mw = 8 kN/m, 0 से 8 m तक

M_max = kN·m

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणमध्यम

एक बिंदु पर σₓ = 20 MPa और σᵧ = 10 MPa है। सबसे बड़े मुख्य प्रतिबल के 50 MPa तक पहुँचने से पहले अपरूपण प्रतिबल τ_xy (परिमाण) कितना बड़ा हो सकता है?

σ_x = 20 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 50 MPa

τ_xy = MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरणकठिन

किसी भारित पुर्ज़े के एक बिंदु पर σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa और τₓᵧ = −30 MPa है (तनन धनात्मक)। उस तल पर अभिलंब प्रतिबल σ_θ ज्ञात कीजिए जिसका अभिलंब x-अक्ष से 40° वामावर्त घुमाया गया है।

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.बीम विक्षेपमध्यम

एक कैंटिलीवर अपनी पूरी लंबाई पर समान वितरित भार w वहन करता है। मुक्त सिरे पर विक्षेप δ ज्ञात कीजिए।

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (स्टील)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.बीम विक्षेपकठिन

एक सरल आलंबित बीम आलंब B से b = 2 m पर बिंदु भार P वहन करता है। मध्य-विस्तार पर विक्षेप δ_mid ज्ञात कीजिए।

P = 17 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (एल्युमिनियम)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.स्तंभ बकलिंगमध्यम

स्टील से बना L लंबाई का एक स्तंभ आधार पर जड़ित और शीर्ष पर मुक्त है। ऑयलर सूत्र से उसका क्रांतिक बकलिंग भार P_cr ज्ञात कीजिए।

L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)d = 40 mm

P_cr = kN

14.स्तंभ बकलिंगकठिन

स्टील से बना L लंबाई का एक ठोस गोल स्तंभ दोनों सिरों पर जड़ित है। इसे बकलिंग के विरुद्ध 3 के सुरक्षा गुणक के साथ 85 kN वहन करना है। न्यूनतम व्यास d ज्ञात कीजिए।

P = 85 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (स्टील)

d = mm

15.प्रक्षेप्य गतिमध्यम

समतल ज़मीन से एक गेंद 40 m/s से प्रक्षेपित की जाती है और उसे 55 m दूर गिरना है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। दो संभव प्रक्षेपण कोणों में से छोटा θ ज्ञात कीजिए।

v₀ = 40 m/sR = 55 mg = 9.81 m/s²

θ = °

16.प्रक्षेप्य गतिकठिन

एक 20 m ऊँची चट्टान के शीर्ष से एक गेंद 21 m/s से क्षैतिज से 45° ऊपर प्रक्षेपित की जाती है। वायु प्रतिरोध को नगण्य मानें और g = 9.81 m/s² लें। चट्टान के आधार पर ज़मीन से अधिकतम ऊँचाई H ज्ञात कीजिए।

v₀ = 21 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9.81 m/s²

H = m

17.कार्य और ऊर्जामध्यम

एक खिलौना प्रक्षेपक में 1500 N/m कठोरता वाला ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग है। उस पर 0.05 kg गेंद रखी जाती है और स्प्रिंग को 2 cm संपीडित करके छोड़ा जाता है। वायु प्रतिरोध और स्प्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मानते हुए वह ऊँचाई h ज्ञात कीजिए जिस तक गेंद उठती है, स्प्रिंग संपीडित होने पर उसकी स्थिति से मापकर।

m = 0.05 kgk = 1500 N/mx = 2 cmg = 9.81 m/s²

h = m

18.कार्य और ऊर्जाकठिन

10 kg का एक गुटका चिकने रैम्प पर 4.5 m ऊँचाई से विराम से छोड़ा जाता है। नीचे वह 3.5 m लंबी खुरदरी क्षैतिज पट्टी (μ = 0.3) पार करता है और फिर चिकनी सतह पर एक स्प्रिंग (k = 1000 N/m) से टकराता है। स्प्रिंग तक पहुँचने पर गुटके की चाल v ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgh = 4.5 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

19.यांत्रिक कंपनमध्यम

एक अवमंदित द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र के मुक्त-कंपन परीक्षण में 12 mm के विस्थापन शिखर के 4 चक्र बाद 1.6 mm का शिखर आता है। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

x₀ = 12 mmx₄ = 1.6 mmn = 4

ζ =

20.यांत्रिक कंपनकठिन

एक 10 kg द्रव्यमान सिरे-से-सिरे जुड़े (श्रेणी में) दो स्प्रिंगों से लटका है: ऊपरी स्प्रिंग k₁ = 15 kN/m और निचला k₂ = 40 kN/m है। अवमंदन और स्प्रिंगों के द्रव्यमान की उपेक्षा करें। ऊर्ध्वाधर कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति f_n Hz में ज्ञात कीजिए।

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरमध्यम

एक ऊष्मा इंजन 275 °C पर गर्म भंडार और 30 °C पर ठंडे भंडार के बीच काम करता है। यह 4100 kJ ऊष्मा लेता है। यह अधिकतम कितना कार्य W_max उत्पन्न कर सकता है, ज्ञात कीजिए।

T_H = 275 °CT_L = 30 °CQ_H = 4100 kJ

W_max = kJ

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटरकठिन

एक रेफ़्रिजरेटर 35 °C वाली रसोई में अपने ठंडे भाग को -25 °C पर रखता है, ठंडे भाग से 4 kW ऊष्मा निकालते हुए। न्यूनतम शक्ति निवेश Ẇ_min ज्ञात कीजिए।

T_H = 35 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 4 kW

Ẇ_min = kW

23.गैस शक्ति चक्रमध्यम

एक आदर्श डीज़ल चक्र का संपीडन अनुपात r = 17 और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ = 1.8 है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r = 17r_c = 1.8k = 1.4

η = %

24.गैस शक्ति चक्रकठिन

एक आदर्श ब्रेटन चक्र 15 के संपीडक दाब अनुपात पर चलता है। ठंडी-वायु-मानक मान्यताओं का उपयोग करें: वायु नियत विशिष्ट ऊष्माओं वाली आदर्श गैस है, k = 1.4, c_p = 1.005 kJ/(kg·K) और c_v = 0.718 kJ/(kg·K)। इसकी ऊष्मीय दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

r_p = 15k = 1.4

η = %

25.सांतत्य और बर्नूलीमध्यम

पानी 15 L/s की दर से एक क्षैतिज पाइप में बहता है जो 150 mm से 75 mm तक संकरा होता है। संकरे भाग में दाब 290 kPa है। हानियों को नगण्य मानते हुए चौड़े भाग में दाब p₁ ज्ञात कीजिए।

Q = 15 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 290 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

26.सांतत्य और बर्नूलीकठिन

एक बंद पानी की टंकी में पानी के ऊपर 190 kPa गेज दाब पर संपीडित वायु है। पानी सतह से 2.5 m नीचे 30 mm व्यास वाले छिद्र से खुली हवा में निकलता है। हानियों को नगण्य मानते हुए ज्ञात कीजिए: जेट वेग v। g = 9.81 m/s² लें।

p_air = 190 kPa (गेज)h = 2.5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिमध्यम

जल (ρ = 1000 kg/m³) 300 mm आंतरिक व्यास वाले 400 m लंबे क्षैतिज पाइप से 1.3 m/s पर बहता है। डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.028 और g = 9.81 m/s² लें। पाइप पर दाब पात Δp kPa में ज्ञात कीजिए।

V = 1.3 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानिकठिन

200 mm आंतरिक व्यास (डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.02) वाला 200 m लंबा पाइप एक खुले जलाशय से निकलता है और वायु में मुक्त जेट के रूप में निकास करता है। लघु हानियाँ हैं: एक तीखे किनारे वाला प्रवेश (K = 0.5), 3 मोड़ (हर एक K = 0.3) और एक वाल्व (K = 10)। g = 9.81 m/s² लें। 50 L/s की प्रवाह दर के लिए जलाशय की सतह पाइप निकास से कितनी H ऊपर होनी चाहिए?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10

H = m

29.पंप और पंप शक्तिमध्यम

एक परीक्षण में पंप 28 m शीर्ष के विरुद्ध 40 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) देता है जबकि उसका शाफ़्ट 14.6 kW लेता है। g = 9.81 m/s² लें। पंप दक्षता η प्रतिशत में ज्ञात कीजिए।

Q = 40 L/sH = 28 mP_shaft = 14.6 kWg = 9.81 m/s²

η = %

30.पंप और पंप शक्तिकठिन

एक पंप 120 L/s जल (ρ = 1000 kg/m³) को एक खुले निचले जलाशय से एक ऊपरी टैंक तक ले जाता है, जिसकी जल सतह 25 m ऊँची है। पाइप 200 m लंबा है, उसका आंतरिक व्यास 250 mm और डार्सी घर्षण गुणांक f = 0.015 है; लघु-हानि गुणांकों का योग ΣK = 6 है (प्रवेश और निकास सहित)। g = 9.81 m/s² लें। ऊपरी टैंक बंद है और उसके जल के ऊपर की वायु 100 kPa के गेज दाब पर है। पंप द्वारा जोड़ा जाने वाला शीर्ष H ज्ञात कीजिए।

Q = 120 L/sΔz = 25 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

31.ऊष्मा चालनमध्यम

एक दीवार काँच की 200 mm और कंक्रीट की 150 mm परत से बनी है, क्षेत्रफल 6 m²। बाहरी फलक 23 °C और 0 °C पर हैं। दीवार से ऊष्मा प्रवाह Q̇ ज्ञात कीजिए।

L₁ = 200 mm, k₁ = 0.96 W/(m·K)L₂ = 150 mm, k₂ = 1.4 W/(m·K)A = 6 m²T₁ = 23 °CT₃ = 0 °C

Q̇ = W

32.ऊष्मा चालनकठिन

150 mm लकड़ी और 150 mm विस्तारित पॉलीस्टाइरीन की दीवार 20 °C वाले कमरे को -8 °C वाली बाहरी हवा से अलग करती है। संवहन गुणांक अंदर 6 W/(m²·K) और बाहर 20 W/(m²·K) हैं, और दीवार का क्षेत्रफल 8 m² है। दीवार की भीतरी सतह का तापमान T_s ज्ञात कीजिए।

L₁ = 150 mm, k₁ = 0.17 W/(m·K)L₂ = 150 mm, k₂ = 0.035 W/(m·K)A = 8 m²h_i = 6 W/(m²·K)h_o = 20 W/(m²·K)T_room = 20 °CT_out = -8 °C

T_s = °C

33.गियर और गियर ट्रेनमध्यम

1450 rpm पर चल रही एक 2.2 kW मोटर 32 दाँतों वाले पिनियन को चलाती है, जो 60 दाँतों वाले गियर से जुड़ा है। हानियों को नगण्य मानें। गियर शाफ़्ट पर निर्गत बलाघूर्ण T₂ ज्ञात कीजिए।

P = 2.2 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 32N₂ = 60η = 100%

T₂ = N·m

34.गियर और गियर ट्रेनकठिन

एक ग्रहीय गियर सेट में सन गियर के 12 दाँत हैं और हर प्लैनेट गियर के 24 दाँत हैं। प्लैनेट कैरियर स्थिर रखा गया है और सन को 900 rpm पर चलाया जाता है। रिंग गियर की चाल n_r (परिमाण) ज्ञात कीजिए।

N_s = 12N_p = 24n_s = 900 rpm

n_r = rpm

35.लाप्लास रूपांतरमध्यम

आंशिक भिन्नों से F(s) = 10/(s(s + 2)(s + 5)) के लिए f(t) ज्ञात कीजिए, और f(0.3) का मान निकालिए।

F(s) = 10/(s(s + 2)(s + 5))t = 0.3 s

f(0.3) =

36.लाप्लास रूपांतरकठिन

एक तंत्र y″ + 3y′ + 2y = 8·u(t) का पालन करता है, जहाँ y(0) = 3 और y′(0) = 0। t = 0 पर एक सोपान इनपुट u(t) = 2 लगाया जाता है। लाप्लास रूपांतर से y(0.75) ज्ञात कीजिए।

y″ + 3y′ + 2y = 8·u(t)y(0) = 3y′(0) = 0u(t) = 2t = 0.75 s

y(0.75) =

37.ब्लॉक आरेखमध्यम

एक एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में G(s) = 44/(s(s + 2)) है। संदर्भ एक रैंप r(t) = 1·t है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 44/(s(s + 2))r(t) = 1·t

e_ss =

38.ब्लॉक आरेखकठिन

एक आनुपातिक नियंत्रक K = 12 एकांक ऋणात्मक पुनर्निवेश लूप में संयंत्र G(s) = 10/(s + 1) को चलाता है। एक विक्षोभ D संयंत्र इनपुट पर प्रवेश करता है (यह नियंत्रक आउटपुट में जोड़ा जाता है)। आकार 5 का संदर्भ सोपान और आकार 0.5 का विक्षोभ सोपान एक साथ लगाए जाते हैं। स्थायी-अवस्था आउटपुट c_ss ज्ञात कीजिए।

K = 12G(s) = 10/(s + 1)D = 0.5R = 5

c_ss =

39.सोपान अनुक्रियामध्यम

एक तंत्र का अंतरण फलन G(s) = 61/(s² + 6s + 61) है और इसे एकांक सोपान इनपुट मिलता है। प्राकृतिक आवृत्ति ω_n rad/s में ज्ञात कीजिए।

G(s) = 61/(s² + 6s + 61)

ω_n = rad/s

40.सोपान अनुक्रियाकठिन

शून्यों के बिना एक द्वितीय-कोटि तंत्र की सोपान अनुक्रिया में 15 % अतिलंघन होना चाहिए। अवमंदन अनुपात ζ ज्ञात कीजिए।

%OS = 15 %

ζ =

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणमध्यम

परवलयिक निवेश r(t) = 4·t²/2 को G(s) = 20(s + 2)/(s²(s + 1)) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप पर लगाया जाता है। स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

G(s) = 20(s + 2)/(s²(s + 1))r(t) = 4·t²/2

e_ss =

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रणकठिन

एक PI नियंत्रक C(s) = 2 + 1/s संयंत्र G(s) = 20/((s + 2)(s + 5)) को एकांक पुनर्निवेश लूप में चलाता है। रैंप निवेश r(t) = 2t के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि e_ss ज्ञात कीजिए।

C(s) = 2 + 1/sG(s) = 20/((s + 2)(s + 5))r(t) = 2t

e_ss =

3विलयन

1.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: M_A = 631 kN·m

कैंटिलीवर संतुलन: स्थिर आलंब ऊपर धकेल सकता है और घूर्णन का प्रतिरोध भी कर सकता है, इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर प्रतिक्रिया R_A और एक प्रतिक्रिया आघूर्ण M_A देता है। ΣF_y = 0 से R_A मिलता है, और दीवार के परितः आघूर्णों से M_A = Σ(भार × दीवार से दूरी)। वितरित भार भार आरेख के केंद्रक पर अपने परिणामी के रूप में कार्य करता है।

वितरित भार का परिणामी

W = 8·8 = 64 kN, x̄ = 4 m

दीवार के परितः आघूर्ण

M_A = P·a + W·x̄ = 75·5 + 64·4 = 631 kN·m

उत्तर

M_A = 631 kN·m

2.बीम आलंब प्रतिक्रियाएँ

उत्तर: R_D = 16 kN

स्थैतिक संतुलन: विराम में पिंड के लिए ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 और किसी भी बिंदु के परितः ΣM = 0। हर वितरित भार को उसके परिणामी (उसका क्षेत्रफल) से बदलें जो भार आरेख के केंद्रक पर कार्य करता है, और किसी आलंब के परितः आघूर्ण लें ताकि उस आलंब की प्रतिक्रिया समीकरण से हट जाए। आंतरिक कब्ज़ा बंकन आघूर्ण वहन नहीं कर सकता, जिससे एक अतिरिक्त समीकरण मिलता है: किसी भी ओर के बलों का कब्ज़े के परितः आघूर्ण शून्य है।

भाग CD

कब्ज़े पर कोई आघूर्ण नहीं है, इसलिए केवल CD पर C के परितः आघूर्ण संतुलित होने चाहिए।

ΣM_C = 0: R_D·5 = 80·1

R_D = 16 kN

V_C = 80 − 16 = 64 kN

उत्तर

R_D = 16 kN

3.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: δ = 14.59 mm

हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा में σ = E·ε। σ = P/A और ε = δ/L के साथ मिलाने पर δ = PL/(AE) मिलता है।

प्रतिबल

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 110·1000/113.1 = 972.6 MPa

विकृति (हुक का नियम)

E for पीतल = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 972.6/100000 = 0.009726 = 9726 µε

दीर्घीकरण

δ = ε·L = 0.009726·1500 mm = 14.59 mm

उत्तर

δ = 14.59 mm

4.अक्षीय प्रतिबल और विकृति

उत्तर: σ_max = 348.2 MPa

अक्षीय भारित अवयव: हर प्रिज़्मीय खंड δ = PL/(AE) का पालन करता है। श्रेणी में अवयवों के दीर्घीकरण जुड़ते हैं।

दोनों खंडों में समान बल

मुक्त सिरा P वहन करता है, इसलिए छड़ का हर खंड वही अक्षीय बल P वहन करता है। केवल क्षेत्रफल और पदार्थ बदलते हैं।

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 142.6 MPa

σ₂ = 348.2 MPa

सबसे बड़ा प्रतिबल

पतले खंड का क्षेत्रफल छोटा है, इसलिए उसमें प्रतिबल अधिक है।

σ_max = 348.2 MPa

उत्तर

σ_max = 348.2 MPa

5.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d_o = 52.69 mm

वृत्ताकार शाफ़्ट का मरोड़: अपरूपण प्रतिबल केंद्र पर शून्य से सतह पर τ_max = T·r/J तक रैखिक रूप से बढ़ता है, ठोस शाफ़्ट के लिए J = πd⁴/32 और खोखले के लिए J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32। मरोड़ कोण रेडियन में φ = TL/(GJ) है। शक्ति और बलाघूर्ण P = T·ω से जुड़े हैं।

स्वीकार्य प्रतिबल से बाहरी व्यास

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·60·0.8704)) = 52.69 mm

d_i = 0.6·52.69 = 31.61 mm

उत्तर

d_o = 52.69 mm

ठोस शाफ़्ट को d = 50.31 mm चाहिए होता; खोखला थोड़ा बड़ा है पर बहुत हल्का है।

6.शाफ़्ट का मरोड़

उत्तर: d = 27.26 mm

बलाघूर्ण

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 75000/314.2 = 238.7 N·m

अनुमेय प्रतिबल से व्यास

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·238732/(π·60)) = 27.26 mm

उत्तर

d = 27.26 mm

व्यवहार में आप अगले मानक आकार तक पूर्णांकित करेंगे।

7.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_x = 52.5 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

x = 7 m पर काटें और बायाँ भाग रखें

केवल कट के बाईं ओर के बल आते हैं। वितरित भार का एक हिस्सा उस हिस्से के मध्य में एक बल की तरह कार्य करता है।

M = R_A·x − (कट के बाईं ओर हर भार × कट से उसकी दूरी)

M_x = 25·7 − 5·7·3.5 = 52.5 kN·m

उत्तर

M_x = 52.5 kN·m

8.अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण

उत्तर: M_max = 134 kN·m

खंड विधि: जहाँ आंतरिक बल चाहिए वहाँ बीम काटें और एक भाग रखें। अपरूपण बल V उस भाग के ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करता है, और बंकन आघूर्ण M कट के परितः उनके आघूर्णों को। अधिकतम आघूर्ण: चूँकि dM/dx = V, बंकन आघूर्ण वहाँ शिखर पर होता है जहाँ अपरूपण बल शून्य से होकर गुज़रता है, या तो किसी बिंदु भार पर या किसी वितरित भार के भीतर।

आलंब प्रतिक्रियाएँ

पूरे बीम का संतुलन।

वितरित भार का परिणामी: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, x̄ = 4 m पर कार्य करता है

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 8·8·4

R_B = 396/8 = 49.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 99 − 49.5 = 49.5 kN

V = 0 कहाँ है?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 17.5 kN

V(4⁺) = 17.5 − 35 = −17.5 kN

भार पर अपरूपण का चिह्न बदलता है, इसलिए अधिकतम भार के नीचे है।

अधिकतम आघूर्ण

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 49.5·4 − 8·4²/2 = 134 kN·m

उत्तर

M_max = 134 kN·m

यह A से x = 4 m पर होता है।

9.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: τ_xy = 34.64 MPa

समतल प्रतिबल रूपांतरण: θ से घुमाए गए तल पर σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ। मोर वृत्त सभी तलों को एक साथ दिखाता है: उसका केंद्र C = (σₓ + σᵧ)/2 पर और त्रिज्या R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) है। मुख्य प्रतिबल C ± R हैं, और तल में सबसे बड़ा अपरूपण प्रतिबल R है।

आवश्यक त्रिज्या

C = (20 + 10)/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 50 − 15 = 35 MPa

अपरूपण प्रतिबल

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 5²) = 34.64 MPa

उत्तर

τ_xy = 34.64 MPa

10.मोर वृत्त और प्रतिबल रूपांतरण

उत्तर: σ_θ = 50.46 MPa

रूपांतरण समीकरण

σ_θ = 80 + 0·0.1736 + −30·0.9848 = 50.46 MPa

उत्तर

σ_θ = 50.46 MPa

11.बीम विक्षेप

उत्तर: δ = 42.11 mm

बीम विक्षेप: विक्षेप वक्रता M/(EI) को दो बार समाकलित करके मिलते हैं। मानक स्थितियाँ सारणीबद्ध हैं, जैसे सिरे पर भार वाले कैंटिलीवर के लिए PL³/(3EI) और पूरे विस्तार पर समान भार वाले सरल आलंबित बीम के लिए 5wL⁴/(384EI)। अलग-अलग भारों के विक्षेप जुड़ते हैं (अध्यारोपण)।

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

विक्षेप

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 42.11 mm

उत्तर

δ = 42.11 mm

12.बीम विक्षेप

उत्तर: δ_mid = 77.58 mm

एकरूप इकाइयाँ

N और mm में काम करें: P N में, w N/mm में (kN/m = N/mm), L mm में, E N/mm² में (GPa × 1000), I mm⁴ में।

P = 17000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

मध्य विक्षेप

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 17000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·8.4 × 10¹¹) = 77.58 mm

उत्तर

δ_mid = 77.58 mm

13.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: P_cr = 15.5 kN

ऑयलर बकलिंग: पतला स्तंभ P_cr = π²EI/(KL)² पर अस्थिर हो जाता है, जहाँ KL प्रभावी लंबाई है: पिन–पिन के लिए K = 1, जड़ित–मुक्त के लिए 2, जड़ित–पिन के लिए 0.7 और जड़ित–जड़ित के लिए 0.5। यह सबसे छोटे I वाली अक्ष के परितः मुड़ता है। सूत्र उन पतले स्तंभों के लिए मान्य है जिनका क्रांतिक प्रतिबल पराभव प्रतिबल से कम रहता है।

न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण

गोल खंड का I हर अक्ष के परितः समान होता है।

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

प्रभावी लंबाई

KL = 2·2000 = 4000 mm

क्रांतिक भार

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15.5 kN

उत्तर

P_cr = 15.5 kN

14.स्तंभ बकलिंग

उत्तर: d = 40.28 mm

आवश्यक क्रांतिक भार

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

व्यास के लिए हल करें

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 40.28 mm

उत्तर

d = 40.28 mm

जाँच: तनुता KL/r = 99.31 है, इसलिए स्तंभ पतला है और ऑयलर लागू होता है।

15.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: θ = 9.854 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

परास सूत्र

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·55/40² = 0.3372

कोण

2θ = 19.71° → θ = 9.854°

उत्तर

θ = 9.854°

दूसरा हल 90° − θ = 80.15° है।

16.प्रक्षेप्य गति

उत्तर: H = 31.24 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण चाल

v_y = 21·sin 45° = 14.85 m/s

चट्टान से ऊपर उठान

Δh = v_y²/(2g) = 14.85²/(2·9.81) = 11.24 m

ज़मीन से ऊँचाई

H = 20 + 11.24 = 31.24 m

उत्तर

H = 31.24 m

17.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: h = 0.6116 m

कार्य–ऊर्जा सिद्धांत: गतिज ऊर्जा में परिवर्तन सभी बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है। गुरुत्व और स्प्रिंग को स्थितिज ऊर्जा (mgh और ½kx²) के रूप में लिखने से यह एक संतुलन बन जाता है: प्रारंभिक ऊर्जा = अंतिम ऊर्जा + घर्षण में खोई ऊर्जा (μN·d)।

स्प्रिंग ऊर्जा

x = 2 cm = 0.02 m

½kx² = ½·1500·0.02² = 0.3 J

ऊँचाई

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.3/0.4905 = 0.6116 m

उत्तर

h = 0.6116 m

18.कार्य और ऊर्जा

उत्तर: v = 8.227 m/s

खुरदरी पट्टी के बाद शेष ऊर्जा

रैम्प चिकना है, इसलिए केवल पट्टी ऊर्जा हटाती है।

mgh − μmgL = 98.1·(4.5 − 0.3·3.5) = 338.4 J

स्प्रिंग पर चाल

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.45) = 8.227 m/s

उत्तर

v = 8.227 m/s

19.यांत्रिक कंपन

उत्तर: ζ = 0.07991

द्रव्यमान–स्प्रिंग तंत्र का मुक्त कंपन: अनवमंदित प्राकृतिक आवृत्ति rad/s में ω_n = √(k/m) है, और Hz में f_n = ω_n/(2π)। एक श्यान अवमंदक c अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c देता है, जहाँ क्रांतिक अवमंदन c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n। अल्प-अवमंदित तंत्र (ζ < 1) ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) पर दोलन करता है। समांतर में स्प्रिंग जुड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी में स्प्रिंग व्युत्क्रम के रूप में जुड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

लघुगणकीय ह्रास

δ = (1/4)·ln(12/1.6) = 0.5037

अवमंदन अनुपात

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.5037/√(39.48 + 0.2537) = 0.07991

उत्तर

ζ = 0.07991

20.यांत्रिक कंपन

उत्तर: f_n = 5.257 Hz

तुल्य दृढ़ता

श्रेणी में स्प्रिंग समान बल साझा करते हैं और उनके विक्षेप जुड़ते हैं, इसलिए वे व्युत्क्रम के रूप में मिलते हैं: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂।

1/k_eq = 1/15 + 1/40 → k_eq = 15·40/(15 + 40) = 10.91 kN/m

प्राकृतिक आवृत्ति

ω_n = √(10909/10) = 33.03 rad/s

f_n = 33.03/(2π) = 5.257 Hz

उत्तर

f_n = 5.257 Hz

21.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: W_max = 1833 kJ

द्वितीय नियम की सीमाएँ: परम तापमान T_H और T_L वाले भंडारों के बीच कोई भी चक्र उत्क्रमणीय (कार्नो) चक्र से बेहतर नहीं हो सकता: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) और COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)। ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है: Q_H = W + Q_L।

परम तापमान

T_H = 275 + 273.15 = 548.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

कार्नो दक्षता

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/548.1 = 44.7 %

अधिकतम कार्य

W_max = η_max·Q_H = 0.447·4100 = 1833 kJ

उत्तर

W_max = 1833 kJ

22.ऊष्मा इंजन और रेफ़्रिजरेटर

उत्तर: Ẇ_min = 0.9672 kW

परम तापमान

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

सर्वोत्तम संभव COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(308.1 − 248.1) = 4.136

न्यूनतम शक्ति

सबसे कम कार्य उत्क्रमणीय मशीन को चाहिए, जिसका COP सबसे अधिक है।

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4/4.136 = 0.9672 kW

उत्तर

Ẇ_min = 0.9672 kW

23.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 63.29 %

डीज़ल चक्र (संपीडन-इग्निशन इंजन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत आयतन पर ऊष्मा का निष्कासन। संपीडन अनुपात r = v₁/v₂ और कटऑफ़ अनुपात r_c = v₃/v₂ के साथ: T₂ = T₁·r^k−1, T₃ = r_c·T₂, q_in = c_p·(T₃ − T₂) और η = 1 − (1/r^k−1)·(r_c^k − 1)/(k·(r_c − 1))।

कटऑफ़ पद

(1.8^1.4 − 1)/(1.4·(1.8 − 1)) = 1.14

तापीय दक्षता

η = 1 − 0.322·1.14 = 63.29%

उत्तर

η = 63.29%

24.गैस शक्ति चक्र

उत्तर: η = 53.87 %

ब्रेटन चक्र (गैस टरबाइन): 1→2 समएन्ट्रॉपिक संपीडन, 2→3 नियत दाब पर ऊष्मा का योग, 3→4 टरबाइन में समएन्ट्रॉपिक प्रसार, 4→1 नियत दाब पर ऊष्मा का निष्कासन। दाब अनुपात r_p = P₂/P₁ के साथ: T₂ = T₁·r_p^(k−1)/k, T₄ = T₃/r_p^(k−1)/k और η = 1 − 1/r_p^(k−1)/k। शुद्ध कार्य w = c_p·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]। समएन्ट्रॉपिक दक्षताओं के साथ संपीडक को w_s/η_c चाहिए और टरबाइन η_t·w_s देती है।

तापीय दक्षता

η = 1 − 1/15^0.2857 = 1 − 1/2.168 = 53.87%

उत्तर

η = 53.87%

25.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: p₁ = 295.4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

वेग

v₁ = Q/A₁ = 0.015/0.01767 = 0.8488 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.015/0.004418 = 3.395 m/s

बर्नूली

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 290 + ½·1000·(3.395² − 0.8488²)/1000 = 290 + 5.404 = 295.4 kPa

उत्तर

p₁ = 295.4 kPa

26.सांतत्य और बर्नूली

उत्तर: v = 20.71 m/s

सतह से जेट तक बर्नूली

v = √(2·(190000/1000 + 9.81·2.5)) = 20.71 m/s

उत्तर

v = 20.71 m/s

27.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: Δp = 31.55 kPa

पाइप प्रवाह: रेनॉल्ड्स संख्या Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ स्तरीय प्रवाह (Re लगभग 2000 से कम) को विक्षुब्ध प्रवाह (लगभग 4000 से अधिक) से अलग करती है। पाइप के अनुदिश घर्षण से डार्सी–वाइसबाख शीर्ष हानि h_f = f·(L/D)·V²/(2g) होती है। फ़िटिंग, वाल्व, प्रवेश और निकास लघु हानियाँ h_m = ΣK·V²/(2g) जोड़ते हैं। दो खुले जलाशय सतहों के बीच ऊर्जा समीकरण Δz = h_f + h_m देता है, जिसमें निकास हानि K = 1 शामिल है।

शीर्ष हानि

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(400/0.3)·1.3²/(2·9.81) = 3.216 m

दाब पात

पाइप क्षैतिज है और वेग नहीं बदलता, इसलिए ऊर्जा समीकरण Δp = ρ·g·h_f बन जाता है।

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·3.216 = 31547 Pa = 31.55 kPa

उत्तर

Δp = 31.55 kPa

28.पाइप घर्षण और शीर्ष हानि

उत्तर: H = 4.183 m

वेग

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

हानि गुणांक

f·L/D = 0.02·200/0.2 = 20

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

ऊर्जा समीकरण

निकास जेट अभी भी अपना वेग शीर्ष वहन करता है; यह हानि नहीं है, पर इसे देना पड़ता है।

H = (1 + 20 + 11.4)·0.1291 = 4.183 m

उत्तर

H = 4.183 m

29.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: η = 75.25 %

पंप शक्ति: जल को दी गई शक्ति द्रवीय शक्ति P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp है। शाफ़्ट को अधिक देना पड़ता है क्योंकि पंप में कुछ हानि होती है: P_shaft = P_h/η_pump, और मोटर P_el = P_shaft/η_motor लेती है। पंप शीर्ष H ऊर्जा समीकरण से मिलता है: स्थैतिक उठान + दाब शीर्ष + सभी घर्षण और लघु हानियाँ।

द्रवीय शक्ति

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·28 = 10.99 kW

दक्षता

η = P_h/P_shaft = 10.99/14.6 = 75.25%

उत्तर

η = 75.25%

30.पंप और पंप शक्ति

उत्तर: H = 40.68 m

वेग

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

शीर्ष हानियाँ

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 6)·0.3046 = 5.483 m

दाब शीर्ष

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

पंप शीर्ष

दोनों सतहें लगभग विराम में हैं, इसलिए कोई वेग शीर्ष पद नहीं है।

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 25 + 10.19 + 5.483 = 40.68 m

उत्तर

H = 40.68 m

31.ऊष्मा चालन

उत्तर: Q̇ = 437.4 W

तापीय प्रतिरोध: श्रेणी परतों से स्थिर ऊष्मा प्रवाह श्रेणी प्रतिरोधकों में धारा जैसा व्यवहार करता है: Q̇ = ΔT/ΣR, चालक परत के लिए R = L/(kA) और संवहन सतह के लिए R = 1/(hA)। हर परत पर तापमान पात उसके प्रतिरोध के अनुपात में होता है।

परत प्रतिरोध

R₁ = L₁/(k₁A) = (200/1000)/(0.96·6) = 0.03472 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (150/1000)/(1.4·6) = 0.01786 K/W

ऊष्मा प्रवाह

Q̇ = (T₁ − T₃)/(R₁ + R₂) = 23/0.05258 = 437.4 W

उत्तर

Q̇ = 437.4 W

32.ऊष्मा चालन

उत्तर: T_s = 19.13 °C

श्रेणी प्रतिरोध

R_i = 1/(h_iA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W

R₁ = L₁/(k₁A) = (150/1000)/(0.17·8) = 0.1103 K/W

R₂ = L₂/(k₂A) = (150/1000)/(0.035·8) = 0.5357 K/W

R_o = 1/(h_oA) = 1/(20·8) = 0.00625 K/W

ΣR = 0.6731 K/W

ऊष्मा हानि

Q̇ = (20 − (-8))/0.6731 = 41.6 W

T_s = T_room − Q̇·R_i = 20 − 41.6·0.02083 = 19.13 °C

उत्तर

T_s = 19.13 °C

33.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: T₂ = 27.17 N·m

गियर ट्रेन: परस्पर जुड़े गियरों के दाँतों पर चाल समान होती है, इसलिए n₁·N₁ = n₂·N₂: कम दाँतों वाला गियर तेज़ घूमता है। एक ही शाफ़्ट पर लगे गियर समान चाल से घूमते हैं। शक्ति आगे पहुँचती है (हानियों को घटाकर), इसलिए चाल घटने पर बलाघूर्ण बढ़ता है: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, और P = T·ω, जहाँ ω = 2π·n/60।

मोटर बलाघूर्ण

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/151.8 = 14.49 N·m

निर्गत बलाघूर्ण

T₂ = 14.49·60/32·1 = 27.17 N·m

उत्तर

T₂ = 27.17 N·m

34.गियर और गियर ट्रेन

उत्तर: n_r = 180 rpm

ग्रहीय गियर सेट: सन, रिंग और कैरियर की चालें विलिस समीकरण (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s से जुड़ी हैं: कैरियर से देखने पर सेट एक साधारण गियर ट्रेन है जिसमें प्लैनेट आइडलर हैं। एक सदस्य को स्थिर रखने से सेट एकल-अनुपात अपचायक बन जाता है।

रिंग गियर के दाँत

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·24 = 60

कैरियर स्थिर होने पर विलिस समीकरण

n_c = 0 होने पर सन प्लैनेटों के माध्यम से रिंग को चलाता है, जो आइडलर की तरह कार्य करते हैं।

n_r = −n_s·N_s/N_r = −900·12/60 = −180 rpm

|n_r| = 180 rpm

उत्तर

n_r = 180 rpm

रिंग सन की विपरीत दिशा में घूमता है।

35.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: f(0.3) = 0.2341

लाप्लास रूपांतर: F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt अवकलजों को s से गुणा में बदल देता है: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)। मानक युग्म: 1 ↔ 1/s, e^−at ↔ 1/(s + a), t·e^−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), और विस्थापन s → s + σ समय फलन को e^−σt से गुणा करता है। परिमेय F(s) का प्रतिलोम लेने के लिए उसे आंशिक भिन्नों में बाँटें: सरल ध्रुव p का अवशेष A = [(s − p)·F(s)], s = p पर है। अंतिम मान प्रमेय: f(∞) = lim_s→0 s·F(s), केवल तभी मान्य जब s·F(s) के सभी ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में हों। प्रारंभिक मान प्रमेय: f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)।

आंशिक भिन्न

F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 5)

A = 10/(2·5) = 1

B = 10/((−2)·3) = −1.667

C = 10/((−5)·(−3)) = 0.6667

प्रतिलोम रूपांतर

f(t) = 1 − 1.667·e^−2t + 0.6667·e^−5t

मान निकालें

f(0.3) = 1 − 1.667·e^−2·0.3 + 0.6667·e^−5·0.3 = 0.2341

उत्तर

f(0.3) = 0.2341

36.लाप्लास रूपांतर

उत्तर: y(0.75) = 4.392

समीकरण का रूपांतर करें

(s² + 3s + 2)·Y(s) = 3s + 9 + 16/s

Y(s) = (3s² + 9s + 16)/(s(s + 1)(s + 2))

आंशिक भिन्न

A = 16/(1·2) = 8

B = 10/((−1)·1) = −10

C = 10/((−2)·(−1)) = 5

परिणाम

y(t) = 8 − 10·e^−t + 5·e^−2t

y(0.75) = 4.392

उत्तर

y(0.75) = 4.392

जाँच: y(0) = A + B + C = 3।

37.ब्लॉक आरेख

उत्तर: e_ss = 0.04545

ब्लॉक-आरेख बीजगणित: श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं (G₁·G₂), समांतर में ब्लॉक जुड़ते हैं (G₁ + G₂), और अग्र पथ G तथा पुनर्निवेश पथ H वाला लूप ऋणात्मक पुनर्निवेश के लिए T = G/(1 + G·H) और धनात्मक पुनर्निवेश के लिए G/(1 − G·H) में सरल होता है। पहले भीतरी लूप सरल करें, फिर बाहर की ओर बढ़ें। संवृत-लूप ध्रुव अभिलाक्षणिक समीकरण 1 + G(s)H(s) = 0 के मूल हैं। स्थायी लूप के लिए आकार A का सोपान इनपुट स्थायी-अवस्था आउटपुट A·T(0) देता है; एकांक पुनर्निवेश के साथ सोपान के लिए स्थायी-अवस्था त्रुटि A/(1 + K_p) है, जहाँ K_p = G(0)।

वेग त्रुटि स्थिरांक

Kᵥ = lim_s→0 s·G(s) = 44/2 = 22

स्थायी-अवस्था त्रुटि

e_ss = A/Kᵥ = 1/22 = 0.04545

उत्तर

e_ss = 0.04545

38.ब्लॉक आरेख

उत्तर: c_ss = 5

अंतरण फलन

C/D = G/(1 + K·G) = 10/(s + 1 + 120)

C/R = K·G/(1 + K·G) = 120/(s + 1 + 120)

स्थायी अवस्था

c_ss = 5·120/121 + 0.5·10/121 = 5

उत्तर

c_ss = 5

बड़ा K विक्षोभ का प्रभाव घटाता है, पर आनुपातिक नियंत्रक के साथ कभी शून्य नहीं करता।

39.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ω_n = 7.81 rad/s

सोपान अनुक्रिया: एक प्रथम-कोटि तंत्र G(s) = K/(τs + 1) आकार U के सोपान का उत्तर y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ) से देता है: यह एक समय स्थिरांक τ के बाद अंतिम मान K·U के 63.2 % और 4τ के बाद 98 % तक पहुँचता है। एक द्वितीय-कोटि तंत्र G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) के ध्रुव s = −ζωₙ ± jω_d हैं, जहाँ ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)। 0 < ζ < 1 के लिए सोपान अनुक्रिया अतिलंघन करती है: प्रतिशत अतिलंघन %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, शिखर समय t_p = π/ω_d, और 2 % स्थिरीकरण समय t_s ≈ 4/(ζωₙ)। ωₙ और ζ पढ़ने के लिए हर की तुलना s² + 2ζωₙs + ωₙ² से करें। द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक के लिए ωₙ = √(k/m) और ζ = c/(2√(km)); श्रेणी RLC परिपथ के लिए ωₙ = 1/√(LC) और ζ = (R/2)·√(C/L)।

मानक रूप से तुलना करें

हर s² + 2ζωₙs + ωₙ² से मेल खाना चाहिए।

ωₙ² = 61 → ωₙ = 7.81 rad/s

2ζωₙ = 6 → ζ = 6/(2·7.81) = 0.3841

परिणाम

ωₙ = 7.81 rad/s

उत्तर

ω_n = 7.81 rad/s

40.सोपान अनुक्रिया

उत्तर: ζ = 0.5169

अवमंदन अनुपात

ζ = −ln(0.15)/√(π² + ln²(0.15)) = 1.897/√(9.87 + 3.599) = 0.5169

उत्तर

ζ = 0.5169

41.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 0.1

स्थायी-अवस्था त्रुटि: विवृत-लूप अंतरण फलन G(s) वाले एकांक पुनर्निवेश लूप में त्रुटि E(s) = R(s)/(1 + G(s)) होती है, और अंतिम मान प्रमेय से e_ss = lim_s→0 s·E(s)। तंत्र का प्रकार G(s) के s = 0 पर ध्रुवों की संख्या है। त्रुटि स्थिरांक K_p = lim G(s), K_v = lim s·G(s) और K_a = lim s²·G(s) हैं, सभी s → 0 के लिए। आकार A का सोपान e_ss = A/(1 + K_p) देता है, रैंप A·t से A/K_v और परवलय A·t²/2 से A/K_a मिलता है। प्रकार-0 लूप सोपान का अनुसरण परिमित त्रुटि के साथ करता है, जबकि प्रकार-1 लूप उसका अनुसरण पूरी तरह करता है और रैंप का परिमित त्रुटि के साथ।

त्वरण स्थिरांक

K_a = 20·2/1 = 40

परवलय त्रुटि

e_ss = 4/40 = 0.1

उत्तर

e_ss = 0.1

42.स्थायी-अवस्था त्रुटि और PID नियंत्रण

उत्तर: e_ss = 1

P, PI और PID नियंत्रण: नियंत्रक C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s त्रुटि पर कार्य करता है। आनुपातिक लब्धि लूप को तेज़ बनाती है और प्रकार-0 संयंत्र की त्रुटि घटाती है, पर उसे कभी समाप्त नहीं करती। समाकल पद s = 0 पर एक ध्रुव जोड़ता है: तंत्र का प्रकार एक बढ़ जाता है, और सोपान का अनुसरण बिना त्रुटि के होता है। अवकल पद अवमंदन जोड़ता है। लब्धियाँ चुनने के लिए संवृत-लूप अभिलाक्षणिक बहुपद लिखिए और उसकी तुलना s² + 2ζω_ns + ω_n² से कीजिए। तब %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}, t_p = π/ω_d, जहाँ ω_d = ω_n√(1 − ζ²), और t_s ≈ 4/(ζω_n)।

वेग स्थिरांक

s·C(s) = 2s + 1 → s → 0 पर 1।

K_v = 1·20/10 = 2

रैंप त्रुटि

e_ss = 2/2 = 1

उत्तर

e_ss = 1

PI नियंत्रक सोपान त्रुटि को पूरी तरह हटा देता है; रैंप का अनुसरण एक अचर विलंब के साथ होता है।

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